Корреляционно-регрессионный анализ

Группа: 41-51

Группа: 51-61

Группа: 61-71

Группа: 71-81

Группа: 81-91

Группа: 91 и более

Следовательно, макет таблицы будет иметь следующий вид:

Удельный вес нового оборудования в составе активной части основных фондов, %	Количество предприятий	Средняя производительность 1 станка, тыс.руб.	Средний интегральный коэффициент использования оборудования, %	Средняя выработка на 1 работника, тыс.руб.
41 - 51
51 - 61
61 - 71
71 - 81
81 – 91
91 и более
Итого

Составляем разработочную таблицу:

Таблица 2

№ п/п	Удельный вес нового оборудования в составе активной части основных фондов, %	Средняя выработка продукции на 1 рабочего, тыс. руб.	Удельный вес активной части основных фондов, %	Средняя производительность 1 станка, тыс. руб.
1-ая группа: 41 - 51
			66,6
			69,9
			44,4
Среднее значение (3)	47,00	63,33	60,30	257,67
2-ая группа: 51 - 61
			70,3
			62,1
			70,4
			61,4
			71,4
			57,7
			57,8
			79,4
			59,3
			84,3
Среднее значение (10)	55,90	50,00	67,41	181,00
3-ья группа: 61 - 71
			78,4
			52,2
			60,4
			68,1
			41,2
			80,1
			49,7
Среднее значение (7)	65,57	49,86	61,44	173,29
4-ая группа: 71 - 81
			59,2
			76,5
			50,3
			69,9
Среднее значение (6)	77,00	37,80	68,81	152,16
5-ая группа: 81 – 91
			66,2
			51,5
			44,8
			61,1
Среднее значение (4)	85,00	39,00	55,90	234,75
6-ая группа: 91 и более
			55,2
			62,1
			70,2
			49,2
			69,4
			73,9
			64,5
			68,2
			86,6
			47,4
Среднее значение (10)	95,30	40,30	64,67	161,80
Итого Среднее (40)	70,96	46,30	63,08	193,44

Группировка предприятий по удельному весу нового оборудования, %

Таблица 3

№ п/п	Удельный вес нового оборудования в составе активной части основных фондов, %	Количество предприятий	Средняя производительность 1 станка, тыс. руб.	Средний интегральный коэффициент использования оборудования, %	Средняя выработка на 1 работника, тыс. руб.
А
	41-51		257,67	60,30	63,33
	51 - 61		181,00	67,41	50,00
	61 - 71		173,29	61,44	49,86
	71 - 81		152,16	68,81	37,80
	81 - 91		234,75	55,90	39,00
	91 и более		161,80	64,67	40,30
	Итого		193,44	63,08	193,44

 

Рисунок 1. Структура предприятий по удельному весу нового оборудования составе активной части фондов

 

 

Вывод: по данной диаграмме видно, что наибольшее значение удельного веса нового оборудования в составе активной части фондов во второй группе (с диапазоном от 51 до 61) и шестой группах (с диапазоном от 91 и более), которые насчитывают по 10 предприятий; наименьшее значение в первой группе (с диапазоном от 41 до 51), в которой насчитывается 3 предприятия.

 

Далее проследим зависимость производительности труда от удельного веса нового оборудования на графике (Рисунок 2).

Рисунок 2. График зависимости производительности труда от удельного веса нового оборудования

 

 

Вывод. Из данных, представленных в таблице 3 следует, что с увеличением удельного веса нового оборудования производительность труда снижается, как и средняя производительность. На рисунке 2 мы также можем отметить, что производительность труда увеличивается в пределах от 81% до 91% (5 группа), в остальных же группах можно отметить её понижение.

№1.2. Представим данные для расчета коэффициента корреляции рангов Кендалла в таблице 4.

Таблица 4

№п/п	Удельный вес нового оборудования в составе активной части основных фондов (х)	Rx	Интегральный коэффициент использования оборудования (у)	Ry	P	Q	P+Q
			66,6			-18
			69,9			-12
			44,4			-36	-35
			70,3			-10
			62,1			-18	-2
			70,4			-9
			61,4			-18	-3
			71,4			-8
			57,7			-22	-13
			57,8			-21	-12
			79,4			-4
			59,3			-18	-8
			84,3			-2
			78,4			-3
			52,2			-18	-11
			60,4			-15	-6
			68,1			-9
			41,2			-22	-22
			80,1			-2
			49,7			-17	-14
			59,2			-12	-6
			76,5			-1
						-6
			50,3			-12	-9
			69,9			-3
			66,2			-5
			51,5			-9	-6
			44,8			-11	-11
			61,1			-7	-4
			55,2			-7	-5
			62,1			-6	-4
			70,2			-2
			49,2			-5	-4
			69,4			-2
			73,9			-1	-1
			64,5			-2	-1
			68,2			-1
			86,6
			47,4
Итого						-374

Вычислим коэффициент Кендалла по формуле:

 

τ	=	2S
n*(n-1)

 

 

S = P + Q = 374-401 = -27

 

 

τ	=	2*(27)	=		=	0,0346
40*39

Вывод. Следовательно, связь между интегральным коэффициентом использования оборудования и удельным весом нового оборудования очень слабая и прямая.

 

Далее, проверим значимость коэффициента Кендалла по t критерию Стъюдента:

tp	=	τ*√	n-2	=	-0,0346 *	√	40-2	=	-0,214
1- τ2	1-(-0,0346)2

Вывод. Найденная связь значима, так как расчетное значение меньше теоретического (t_T=2,02).

Корреляционно-регрессионный анализ

 

Произведём необходимые расчеты в таблице 5:

Таблица 5

 

№ п/п	Удельный вес нового оборудования в составе активной части основных фондов, % (х)	Потенциальная электровооруженность труда, квт. (у)	ху	х2	у2
		9,1	828,1	8 281	82,81	5,97
		4,1	328,0	6 400	16,81	5,70
		5,8	371,2	4 096	33,64	5,30
		6,1	451,4	5 476	37,21	5,55
		6,8	598,4	7 744	46,24	5,90
		6,2	502,2	6 561	38,44	5,72
		8,9	881,1	9 801	79,21	6,17
		8,2	697,0	7 225	67,24	5,82
		9,9	960,3	9 409	98,01	6,12
		5,9	507,4	7 396	34,81	5,85
			312,0	2 704	36,00	5,01
		7,4	392,2	2 809	54,76	5,03
		8,7	870,0	10 000	75,69	6,19
		6,4	460,8	5 184	40,96	5,50
		5,3	503,5	9 025	28,09	6,07
			546,0	6 084	49,00	5,65
		4,3	283,8	4 356	18,49	5,35
		6,6	356,4	2 916	43,56	5,06
		6,9	676,2	9 604	47,61	6,14
		3,4	312,8	8 464	11,56	5,99
		2,9	229,1	6 241	8,41	5,67
		1,2	115,2	9 216	1,44	6,09
		3,1	207,7	4 489	9,61	5,38
		3,2	176,0	3 025	10,24	5,08
		4,1	233,7	3 249	16,81	5,13
		4,5	265,5	3 481	20,25	5,18
		4,7	300,8	4 096	22,09	5,30
			63,0	3 969	1,00	5,28
		0,9	84,6	8 836	0,81	6,04
		2,4	132,0	3 025	5,76	5,08
		2,9	145,0	2 500	8,41	4,96
		7,1	475,7	4 489	50,41	5,38
		5,8	394,4	4 624	33,64	5,40
		5,6	442,4	6 241	31,36	5,67
		5,4	491,4	8 281	29,16	5,97
		5,7	233,7	1 681	32,49	4,74
		6,2	310,0	2 500	38,44	4,96
		6,5	364,0	3 136	42,25	5,11
		6,7	388,6	3 364	44,89	5,16
			480,0	3 600	64,00	5,20
Сумма		220,9	16 371,6	223 578	1 411,61	220,88

 

Далее определим уравнение регрессии (связи) между удельным весом нового оборудования и электровооруженности труда, показав зависимость на графике (Рисунок 3) и определив форму связи (т.е. тип уравнения):

 

Рисунок 3. Регрессионная модель

 

То есть очевидно, что связь предполагается линейная и уравнение прямой будет иметь вид: ух = а₀ + а₁х.

 

Далее решаем систему уравнений, используя метод наименьших квадратов:

 

{	nа0 + а1∑х = ∑у	{	40а0 + 2914а1 = 220,9
а0∑х+ а1∑ х2 = ∑ ху.	2914а0 + 223578а1 = 16371,6.

 

=> а ₀ = 3,72

а₁ = 0,025

у_х = 3,75+0,025х.

Вывод. Коэффициент регрессии а₁ свидетельствует о том, что при увеличении удельного веса нового оборудования на 1 % электровооруженность труда увеличится на 0,025 кВт.

 

Рассчитаем линейный коэффициент корреляции по формуле:

r	=	ху – х*у	=	ху – х*у
σх * σy	√х2 – (х)2*√ y2 – (y)2

 

r	=	16 371,6 – 2914*220,9	=	6,97	= 0,1896
√(223 578 – 8 491 396)* √(1 411,61 – 48797)	36,78

 

Вывод. Данное значение коэффициента корреляции говорит о том, что связь между удельным весом нового оборудования и электровооруженности труда прямая и слабая.

 

Далее вычисляем коэффициент детерминации:

 

r² = 0,036

 

Вывод. Данное значение коэффициента детерминации говорит о том, что вариация электровооруженности труда на 3,6 % зависит от удельного веса нового оборудования и на 96,4 % от других факторов.

 

Расчёт коэффициента эластичности:

 

Эх	=	а1*	х	=	0,025 *		=	0,3258
у	220,9

Вывод. Данное значение коэффициента эластичности показывает, что при увеличении удельного веса нового оборудования на 1%, электровооруженность труда в среднем увеличивается на 0,3258%.

 

Значимость линейного коэффициента корреляции проверяем по критерию Стьюдента:

tp	=	r*√	n-2	=	0,1896*	√	40-2	=	1,19
1- r2	1-0,036

Вывод. Табличное значение критерия Стьюдента при уровне значимости 0,05 равно 2,02, т.е. больше t_p.Следовательно, найденная теснота связи не является значимой.

 

№2.2 Проиллюстрируем зависимость электровооруженности труда от удельного веса нового оборудования с помощью следующего графика:

Рисунок 4. График зависимости

Вывод. По данным графикам видно, что теоретическая линия регрессии сохраняет тенденцию эмпирической линии, однако при этом эмпирическая линия имеет достаточно большой разброс в значениях. Этим и объясняются незначительные коэффициенты корреляции и детерминации.

 

№3.1.

Приведем таблицу с данными о рождаемости и смертности в Республике Татарстан и Российской Федерации с 2010 по 2015 года (Таблица 6):

 

Таблица 6

Субъект	Год
Рождаемость
Российская Федерация	10,2	10,4	10,2	10,4	11,3	12,1
Республика Татарстан	10,2	10,3	9,8	9,9	10,9	11,8
Смертность
Российская Федерация	16,4		16,1	15,2	14,6	14,6
Республика Татарстан	13,8	13,6	13,8	13,1

 

Далее, используя вышеуказанные данные, построим столбиковую диаграмму, сопоставляющую рождаемость и смертность в РФ и РТ в 2010-2015 гг.:

 

Рисунок 5. Столбиковая диаграмма рождаемости и смертности в РФ и РТ в 2010-2015 гг.

№3.2

 

Расчёт показателей динамики по рождаемости в РТ в 2010-2015 гг.:

 

Год
Республика Татарстан	12,9	13,4	14,5	14,7	14,7	14,7
Абсолютный прирост
Базисный		0,5	1,6	1,8	1,8	1,8
Цепной		0,5	1,1	0,2
Темп роста
Базисный		1,04	1,12	1,14	1,14	1,14
Цепной		1,04	1,08	1,01	1,00	1,00
Темп прироста
Базисный		0,04	0,12	0,14	0,14	0,14
Цепной		0,04	0,08	0,01	0,00	0,00
Значение одного процента прироста
1% прирост		0,129	0,134	0,145	0,147	0,147
В целом за весь период
Средний уровень ряда	14,15
Среднегодовой абсолютный прирост	0,36
Средний темп роста	102,6
Средний темп прироста	2,6

 

Произведём расчёт цепных и базисных абсолютных приростов численности населения РТ:

 

Δy_ц = у_n - у_n-1

Δy_б = у_n – у₁

 

Δy_{ц, 2011} = 13,4 – 12,9 = 0,5

Δy_{ц, 2012 =} 14,5-13,4 = 1,6

 

Δy_{б, 2011} = 13,4 – 12,9 = 0,5

Δy_{б, 2012 =} 14,5 – 12,9 = 1,6

 

 

 

Рассчитаем цепные и базисные темпы роста численности населения РТ:

Т_{р, ц} = у_n/у_n-1

Т_р.,б = у_n/у₁

Т_{р, ц, 2011} = Т_{р.,б, 2011 =} 13,4/12,9 = 1,04

 

Рассчитаем цепные и базисные темпы прироста населения РТ:

Т_{пр, ц} = (у_n - у_n-1)/у_{n-1 =} Т_{р, ц}- 1;

Т_пр.,б = (у_n - у₁)/у_{1 =} Т_р.,б - 1

Т_{пр, ц, 2011} = Т_{пр.,б, 2011} = 1,04 – 1 = 0,04

 

 

Рассчитаем для каждого года абсолютное значение 1% прироста населения РТ:

А1% = у_n-1/100%

А1%₂₀₁₁ = 12,9/100 = 0,129

 

Средний уровень ряда рассчитываем по формуле для интервального ряда с равным интервалом:

 

= у/n =(12,9+13,4+14,5+14,7+14,7+14,7)/6 = 10418,7/6 = 14,15 (тыс.чел.).

 

Среднегодовой абсолютный прирост: = (у_n – у₁)/n-1 = 14,7-12,9/5 = 0,36

Далее рассчитаем средний темп роста: = 102,6 %.

 

Тогда средний темп прироста равен:

 

- 100% = 102,6% - 100% = 2.6%.

 

Вывод: исходя из проведённых подсчётов видим, что рождаемость в Татарстане в период с 2011 года по 2015 год увеличилась в абсолютном показателе на 1,6 человек на 1000 человек; это увеличение составило 12,25% (в 1,139 раз), при этом цепные показатели иллюстрируют тот факт, что в этот период ежегодно происходило увеличение рождаемости кроме 2014 и 2015 годов, когда рождаемость держалась на уровне 14,7 человека на 1000. Среднегодовые показатели иллюстрируют ежегодный прирост на 2,6%.

 

№4.

Дополним исходные данные необходимыми расчётами базисной урожайности базисного периода (), сумм валового сбора в отчётном и базисном периодах ( и соответственно), валовым сбором с площади отчётного периода при базисной урожайности () и также сумме всех его значений ().

 

№	Базисный период	Отчетный период	Урожайность базисного периода ()	Валовой сбор c площади отчётного периода при базисной урожайности ()
Валовой сбор ()	Посевная площадь, га ()	Валовой сбор ()	Посевная площадь, га ()
					26,45	4 232,26
					31,62	7 935,66
					34,29	7 852,92
					26,44	9 067,43
					17,47	6 377,01
Итого					x	35 465,27

 

 

= / = 4100/155 = 26,45

 

= 4100+6260+7510+8010+6080 = 31960

 

= 4300+6350+7800+8220+6050 = 32720

 

= 4232,26 + 7935,66+7852,92+9067,43+6377,01 = 35465,27

 

Рассчитаем индекс переменного состава:

= 24,27:26,13 = 0,9288 или 92,88 %.

Вывод: Таким образом, в среднем по предприятиям с 3 по 7 средняя урожайность снизилась на 7,12 %.

 

Вычислим индекс фиксированного состава:

= 24,27 / 26,31 = 0,9225 или 92,25%

Вывод: из-за изменений урожайности на каждом предприятии средняя урожайность снизилась на 7,75%.

Определим индекс структурных сдвигов:

= 26,31: 26,13 = 1,0068 или 100,68%.

 

Вывод: ввиду изменения посевной площади на каждом из предприятий (3-7) средняя урожайность увеличилась на 0,68 %

Далее определим систему взаимосвязанных индексов при анализе динамики средних величин:

= * = 0,9225 * 1,0068 = 0,9288