Автокорреляция остатков ВР 2 страница

Решение:

Анализ коэффициентов автокорреляции и попытка построения линейного и различных нелинейных трендов не дали положительного результата.

Попытаемся выбрать в качестве модели модель авторегрессии первого порядка AR(1).

Ŷ_t = a+bY_t- ₁ или Y_t = a+bY_t- ₁ +ε_t, где

b = ,

a = - b ,

по значениям, рассчитанным в табл. 4, получим а = 2,8398, b = 0,7504

Ŷ = 2,8398 + 0,7504 Y_t_- ₁.

Оценим модель:

= = 0,7514.

Коэффициент = 0,751 достаточно высок,

F_расч. = = ×19 = 27,227,

F_крит. (α = 0,05; ₁= 1; ₂= 19) = 4,38 (см. прил. 2).

F_расч. > F_крит., уравнение статистически значимо в целом. Рассчитываем значение критерия Дарбина-Уотсона d

d = = 1,4862, d_H = 1,22, d_B = 1,42,

d_B < d < 4- d_B,

1,42 < d < 2,58,

следовательно, гипотеза об отсутствии автокорреляции принимается.

По результатам расчетов , F_расч., d можно судить об адекватности модели Y_t = 2,8398 + 0,7504 Y_t_- ₁+ и, следовательно,

Ŷ_{прогнозное} = Ŷ ₂₃= 2,8398 + 0,7504 Y ₂₂= 2,8398 + 0,7504×12,13 = 11,9422

_t _{прогнозное} = 11,9422.

Пример 3

Имеются данные о полугодовых объемах потребления (Y_t) электроэнергии в районе Ж города Х.

Таблица 5

Год
Полугодие (t)
Y_t	2,1	1,7	2,9	3,1	3,2	3,6	3,5	3,6	3,4	3,7

Задание: используя значения, полученные в табл. 6, осуществить прогноз потребления электроэнергии на первое полугодие 2008 г. и на весь 2008 год.

Таблица 6

t	Y_t	Y_t	Y_t+ ₁	Y_tY_t+ ₁			t²
	2,1000	2,1000	1,7000	3,5700	4,4100	2,8900	1,0000
	1,7000	1,7000	2,9000	4,9300	2,8900	8,4100	4,0000
	2,9000	2,9000	3,1000	8,9900	8,4100	9,6100	9,0000
	3,1000	3,1000	3,2000	9,9200	9,6100	10,2400	16,0000
	3,2000	3,2000	3,6000	11,5200	10,2400	12,9600	25,0000
	3,6000	3,6000	3,5000	12,6000	12,9600	12,2500	36,0000
	3,5000	3,5000	3,6000	12,6000	12,2500	12,9600	49,0000
	3,6000	3,6000	3,4000	12,2400	12,9600	11,5600	64,0000
	3,4000	3,4000	3,7000	12,5800	11,5600	13,6900	81,0000
	3,7000	—	—	—	—	—	100,0000
å		27,1000	28,7000	88,9500	85,2900	94,5700	385,0000
å /n							38,5000

Продолжение табл.6

t	Y_t	Y_t	Y_t+ ₂	Y_tY_t+ ₂
	2,1000	2,1000	2,9000	6,0900	4,4100	8,4100
	1,7000	1,7000	3,1000	5,2700	2,8900	9,6100
	2,9000	2,9000	3,2000	9,2800	8,4100	10,2400
	3,1000	3,1000	3,6000	11,1600	9,6100	12,9600
	3,2000	3,2000	3,5000	11,2000	10,2400	12,2500
	3,6000	3,6000	3,6000	12,9600	12,9600	12,9600
	3,5000	3,5000	3,4000	11,9000	12,2500	11,5600
	3,6000	3,6000	3,7000	13,3200	12,9600	13,6900
	3,4000	—	—	—	—	—
	3,7000	—	—	—	—	—
å		23,7000	27,0000	81,1800	73,7300	91,6800
å /n

Окончание табл. 6

t	Y_t	Y_t	Y_t+ ₃	Y_tY_t+ ₃
	2,1000	2,1000	3,1000	6,5100	4,4100	9,6100
	1,7000	1,7000	3,2000	5,4400	2,8900	10,2400
	2,9000	2,9000	3,6000	10,4400	8,4100	12,9600
	3,1000	3,1000	3,5000	10,8500	9,6100	12,2500
	3,2000	3,2000	3,6000	11,5200	10,2400	12,9600
	3,6000	3,6000	3,4000	12,2400	12,9600	11,5600
	3,5000	3,5000	3,7000	12,9500	12,2500	13,6900
	3,6000	—	—	—	—	—
	3,4000	—	—	—	—	—
	3,7000	—	—	—	—	—
å		20,1000	24,1000	69,9500	60,7700	83,2700
å /n

Таблица 7

Полугодие
Год
	−	−
	0,8000	0,4500
	0,1250	0,1250
	-0,0500	0,0750
	-0,1250	0,1750
å	0,7500	0,8250
å /n	0,1875	0,2063
Кор.коэф.= (0,1875+0,2063)/2		0,1969
Сккор.коэф.=	-0,0094	0,0094

Таблица 8

	t			Оц.	S_t	Y - S_t = T_t	tT_t
		−	−	−	-0,0094	2,1094	2,1094	4,4496
		1,9000	−	−	0,0094	1,6906	3,3812	2,8581
		2,3000	2,1000	0,8000	-0,0094	2,9094	8,7282	8,4646
		3,0000	2,6500	0,4500	0,0094	3,0906	12,3624	9,5518
		3,1500	3,0750	0,1250	-0,0094	3,2094	16,0470	10,3002
		3,4000	3,2750	0,1250	0,0094	3,5906	21,5436	12,8924
		3,5500	3,4750	-0,0500	-0,0094	3,5094	24,5658	12,3159
		3,5500	3,5500	0,0750	0,0094	3,5906	28,7248	12,8924
		3,5000	3,5250	-0,1250	-0,0094	3,4094	30,6846	11,6240
		3,5500	3,5250	0,1750	0,0094	3,6906	36,9060	13,6205
å						30,8000	185,0530	98,9696
å /n	5,5					3,0800	18,5053	9,8970

Окончание табл.8

t		ε			( - )²
	2,2262	0,1168	−	−	−	0,0136
	2,4159	0,7253	-0,7253	-0,1168	0,3703	0,5261
	2,6056	-0,3038	0,3038	-0,7253	1,0590	0,0923
	2,7953	-0,2953	0,2953	0,3038	0,0001	0,0872
	2,9850	-0,2244	0,2244	0,2953	0,0050	0,0504
	3,1747	-0,4159	0,4159	0,2244	0,0367	0,1730
	3,3644	-0,1450	0,1450	0,4159	0,0734	0,0210
	3,5541	-0,0365	0,0365	0,1450	0,0118	0,0013
	3,7438	0,3344	-0,3344	0,0365	0,1376	0,1118
	3,9335	0,2429	-0,2429	-0,3344	0,0084	0,0590
å	30,7985	-0,0015			1,7022	1,1357
å /n	3,0800	-0,0002

Решение:

Графическое изображение уровней ВР позволяет выбрать для построения аддитивную модель (1)

Y_t = T_t + S_t + E_t, t = 1,2,… n

Рассчитаем коэффициенты автокорреляции r (1), r (2), r (3), используя значения, рассчитанные в табл. 6 и формулу (3).

r₁= 0,756, r₂= 0,853, r₃= 0,786

Анализ коэффициентов позволяет сделать вывод, что данный ВР содержит сезонную составляющую с периодом (лагом) в один год ( = 2) и линейную тенденцию.

Построение аддитивной модели

1. Проведем выравнивание уровней ВР 2-х точечной скользящей средней, т.е. находим полусумму соседних уровней ВР со сдвигом на один момент времени, например,

= = 1,9; = = 2,3; = = 3.

И т. д., тем самым получим выровненные уровни ряда, уже не содержащие сезонной составляющей.

2. Рассчитаем значения центрированных скользящих средних для приведения предыдущих значений с фактическими значениями времени, например,

_центр. = = = 2,1; _центр _.= = 2,65 и т. д. (табл. 6).

3. Найдем оценки сезонной составляющей. Оценка как разность между У_t и центрированными скользящими средними (Оц – табл. 6).

4. Рассчитаем значения сезонной составляющей S_t, для чего проведем расчеты в табл. 7.

5. Расчет выровненных значений составляющей T_t приведен в табл. 8.

Построим модель тренда

T_t = а+bt+ε

а = 2,0365; b = 0,1897

T_t = 2,0365 + 0,1897 t + ε или

= 2,0365 + 0,1897 t.

Оценим модель по значениям, рассчитанным в табл. 8

r = 0,851

F_расч. = 20,920

F_крит. (α = 0,05, ₁= 1; ₂= 8) = 5,32

F_расч. > F_крит.

d = 1,499

d_H (n = 10, p = 1) = 0,88; d_B (n = 10, p = 1) = 1,32

d_B < d < 4- d_B.

Гипотеза об отсутствии автокорреляции принимается. Рассчитаем прогнозное значение на первое полугодие 2008 г.

(t = 11) = 2,0365 + 0,1897×11 = 4,1232

S_t (t = 11) = -0,0094

Ŷ_t_{прогноз}_. = 4,1232-0,0094 = 4,1138

4,1138 прогноз на первое полугодие.

(t = 12) = 2,0365 + 0,1897×12 = 4,3129

S_t (t = 12) = 0,0094

Ŷ_t_{прогноз}_. = 4,3129 + 0,0094 = 4,3223

Прогноз на 2008 год: 4,1138 + 4,3223 = 8,4361

Пример 4

Известны значения (Y_t) курса ценной бумаги В, наблюдаемые в моменты времени t.

Таблица 9

t
Y_t	2,7	2,6	2,9	3,1	3,2	3,6	3,5	3,4	3,0	3,4

Задание: используя значения, полученные в табл. 10, обосновать выбранную модель, осуществить прогноз, если это возможно.

Таблица 10

t	Y_t	Y_t	Y_t+ ₁	Y_tY_t+ ₁			t²	t
	2,700	2,700	2,600	7,020	7,290	6,760
	2,600	2,600	2,900	7,540	6,760	8,410
	2,900	2,900	3,100	8,990	8,410	9,610
	3,100	3,100	3,200	9,920	9,610	10,240
	3,200	3,200	3,600	11,520	10,240	12,960
	3,600	3,600	3,500	12,600	12,960	12,250
	3,500	3,500	3,400	11,900	12,250	11,560
	3,400	3,400	3,000	10,200	11,560	9,000
	3,000	3,000	3,400	10,200	9,000	11,560
	3,400	−−	−−	−−	−−	−−
å	31,400	28,000	28,700	89,890	88,080	92,350
å /n							38,500	5,500

Продолжение табл. 10

t	Y_t	Y_t	Y_t₊ ₂	Y_tY_t₊ ₂				z=
	2,700	2,700	2,900	7,830	7,290	8,410	7,290	1,000
	2,600	2,600	3,100	8,060	6,760	9,610	6,760	1,414
	2,900	2,900	3,200	9,280	8,410	10,240	8,410	1,732
	3,100	3,100	3,600	11,160	9,610	12,960	9,610	2,000
	3,200	3,200	3,500	11,200	10,240	12,250	10,240	2,236
	3,600	3,600	3,400	12,240	12,960	11,560	12,960	2,449
	3,500	3,500	3,000	10,500	12,250	9,000	12,250	2,646
	3,400	3,400	3,400	11,560	11,560	11,560	11,560	2,828
	3,000	−−	−−	−−	−−	−−	9,000	3,000
	3,400	−−	−−	−−	−−	−−	11,560	3,162
å	31,400	25,000	26,100	81,830	79,080	85,590	99,640	22,467
å /n	3,140						9,964	2,247

Продолжение табл. 10

t	Yt	tYt	Ŷ	ε	εt	εt-1	ε ²	(εt-εt-1) ²
	2,700	2,700	2,780	-0,080	−	−	0,006	−
	2,600	5,200	2,860	-0,260	-0,260	-0,080	0,068	0,032
	2,900	8,700	2,940	-0,040	-0,040	-0,260	0,002	0,048
	3,100	12,400	3,020	0,080	0,080	-0,040	0,006	0,014
	3,200	16,000	3,100	0,100	0,100	0,080	0,010	0,000
	3,600	21,600	3,180	0,420	0,420	0,100	0,176	0,102
	3,500	24,500	3,260	0,240	0,240	0,420	0,058	0,032
	3,400	27,200	3,340	0,060	0,060	0,240	0,004	0,032
	3,000	27,000	3,420	-0,420	-0,420	0,060	0,176	0,230
	3,400	34,000	3,500	-0,100	-0,100	-0,420	0,010	0,102
å		179,300		0,000			0,516	0,596
å /n		17,930