. (1.18)
В цьому випадку, система регулювання, що показана на рис.1.19, характеризується системою диференціальних рівнянь
(1.19)
де F (t)- функція, що визначає зв'язок між вхідним та вихідним сигналами ОР.
Розв'язавши систему (1.19) відносно сигнала похибки, одержуємо
. (1.20)
Із (1.20) витікає, що зміна К викликають зміну величини похибки. Рівняння показує, що в даній системі регулююче діяння пропорційне похибці – пропорційний закон регулювання. Корегуюча ланка, що реалізує даний закон називається пропорційним регулятором (П-регулятором). Так як рівняння для сканченної величини К не дорівнює нулю, то система регулювання із пропорційним регулятором є статичною.
Якщо в якості регулятора в системі застосувати інтегратор, то зв'язок між похибкою і регулюючим діянням прийме наступний вигляд
, (1.21)
де Т - стала часу інтегратора.
Тоді система диференційних рівнянь, що описує систему регулювання має вигляд
(1.22)
Із (1.22) витікає, що в даному випадку похибка регулювання визначається транцендентним рівнянням
(1.23)
В усталеному режимі, тобто коли t ®¥, умовою збіжності рівняння (1.23) є 
.
Даний закон регулювання називають інтегральним. Регулятор, що реалізує даний закон регулювання – інтегральний регулятор (І-регулятор). Застосування даного регулятора надає системі астатизму першого порядку.
Поведінка системи автоматичного регулювання із І-регулятором в перехідному режимі гірша ніж із П-регулятором. Пояснюється це інтегральним зв'язком в (1.22) між вихідним сигналом об'єкта регулювання y (t) і похибкою х (t). Зазначений недолік виправляється застосуванням пропорційно-інтегрального закону регулювання для якого
. (1.24)
Даний закон регулювання поєднує в собі позитивні властивості інтегрального закону в усталеному режимі із позитивними властивостями пропорційного закону в перехідному режимі. Регулятор, що реалізує залежність (1.24) пазивається пропорційно-інтегральним (ПІ-регулятор). Система регулювання із ПІ-регулятором в усталеному режимі має D е (t)=0. Поліпшення поведінки системи в перехідному режимі досягається за рахунок пропорційної складової D е (t)× К.
Подальше поліпшення динамічних властивостей системи автоматичного регулювання досягається введенням в регулююче діяння похідної від сигнала похибки. Введення похідної є потужним засобом поліпшення поведінки системи регулювання. Такий прийом застосовують в совокупності як із пропорційним, так із інтегрально-пропорційним законами. В першому випадку одержують пропорційно-диференційний закон регулювання для якого
, (1.25)
що реалізується пропорційно-диференційним регулятором (ПД-регулятором). Даний регулятор реагує не тільки на саму похибку, а і на тенденцію її зміни. Такий регулятор демпфує коливання в системі, що виникають із-за наявностей в ній інерційних елементів. Компенсація статичної похибки системи із ПД-регулятором досягається застосуванням пропорціно-діференційно-інтегрального (ПІД) регулятора регулююче діяння якого описується рівнянням
. (1.26)
Введення в систему інтегральної складової від похибки надає системі регулювання астатизму першого порядку поряд із високими динамічними властивостями.
