Элементы релятивистской динамики

С новыми пространственно-временными представлениями не согласуются при больших скоростях движения и законы механики Ньютона. Лишь при малых скоростях движения, когда справедливы классические представления о пространстве и времени, второй закон Ньютона (уравнение движения)

не меняет своей формы при переходе от одной инерциальной системы отсчета к другой (выполняется принцип относительности).

Но при больших скоростях движения этот закон в своей обычной (классической) форме несправедлив. Однако введенные в динамике основные понятия: энергия, импульс — имеют тот же физический смысл, лишь понятие массы в классической механике отличается от понятия массы в релятивистской динамике.

В природе существуют частицы, скорость которых равна скорости света. Это фотоны и различного типа нейтрино. Масса этих частиц равна нулю. Они не могут быть замедлены или ускорены. Поэтому во всех инерциальных системах отсчета их импульс и энергия не равны нулю. Такие частицы называются безмассовыми.

Энергия и импульс таких частиц связаны соотношениями

Е = рс и Е² -р²с² = 0. (9.5)

Эти соотношения экспериментально подтверждены.

Однако для большинства частиц масса является одной из важнейших характеристик. Эти частицы называются массовыми. Скорость таких частиц < с.

Массовая частица обладает собственной энергией:

Е = mс².

Согласно этой формуле тело обладает энергией и при скорости, равной нулю — энергией покоя.

Это замечательный результат. Любое тело уже только благодаря факту своего существования обладает энергией, которая пропорциональна его массе m.

При превращениях элементарных частиц, обладающих массой покоя , в частицы, у которых m = 0, их энергия покоя E₀ целиком превращается в кинетическую энергию вновь образовавшихся частиц. Этот факт является наиболее очевидным экспериментальным доказательством существования энергии покоя.

Во всех инерциальных системах отсчета импульс частицы и ее энергия связаны соотношением:

Е² - р²с² = m²с⁴ (9.7)

Так как величины m и с не меняются при переходе от одной системы отсчета к другой, то, следовательно, не меняется и значение Е² - р²с².

Выражение (9.7) преобразуется в уравнение (9.5) при m = 0, следовательно, оно справедливо также и для безмассовых частиц. Формула (9.7) является фундаментальным соотношением релятивистской механики.

Энергия частицы выражается через ее импульс следующим образом:

Используя формулу (9.8), а также учитывая, что импульс частицы пропорционален ее скорости и энергии, получаем выражения для импульса и энергии частицы:

Последнее слагаемое — это выражение для кинетической энергии в классической механике.

Первое слагаемое в формуле (9.11) — это собственная энергия частицы.

Релятивистская энергия есть сумма собственной энергии частицы и релятивистской кинетической энергии Е_к:

Е = mс² + Е_к. (9.12)

Из уравнений (9.10) и (9.12) получим выражение для релятивистской кинетической энергии массовой частицы

Обратим внимание на то, что так как подкоренное выражение в формуле (9.14) не зависит от выбора системы отсчета, то масса частицы не зависит от ее движения и остается одной и той же величиной во всех инерциальных системах отсчета.

Принцип соответствия. Законы динамики Ньютона и классические представления о пространстве и времени можно рассматривать как частный случай релятивистских законов при скоростях движения, много меньших скорости света.

Это проявление так называемого принципа соответствия, согласно которому любая теория, претендующая на более глубокое описание явлений и на более широкую сферу применимости, чем старая, должна включать последнюю как предельный случай.

Принцип соответствия впервые был сформулирован Нильсом Бором применительно к связи квантовой и классической теорий.

Импульс частицы и ее энергия зависят от выбора систе мы отсчета, масса же всегда остается постоянной. При скоростях много меньших скорости света релятивистские выражения для импульса и энергии переходят в выражснгия классической механики (принцип соответствия).

 

Термодинамические системы. Параметры состояния
Термодинамическая система – часть пространства, выделенная для рассмотрения и отделенная от окружающей среды реальной (межфазовой) или условной границей. Системы могут быть изолированными, закрытыми (замкнутыми) и открытыми. Изолированная система характеризуется постоянством массы m, объема V, энергии U (m=соnst, V= соnst, U= соnst) она не обменивается с окружающей средой ни веществом, ни энергией. Закрытая система обменивается с окружающей средой только энергией и не обменивается веществом (m= соnst, V не соnst, Uне соnst). В открытой системе осуществляются оба указанных вида обмена с окружающей средой (m не const, V не соnst, U не соnst).
Состояние системы определяется ее физическими и химическими свойствами (объем, давление, температура, химический состав, внутренняя энергия, энтальпия, энтропия и др.), которые подразделяются на параметры состояния и функции состояния. Параметры состояния – свойства системы, выбранные в качестве независимых переменных. Функция состояния – величина, определяемая этими параметрами, однозначно характеризует систему и не зависит от пути ее перехода из одного состояния в другое. (если для 1 моля идеального газа параметрами состояния выбрать давление и температуру, то функцию состояния объем можно рассчитать по ура нению состояния Менделеева-Клапейрона РV=RТ).

Состояние термодинамического равновесия описывается набором параметров термодинамической системы, которые однозначно соответствуют этому состоянию. Такой набор может быть избыточным. В этом случае часть параметров системы полностью определяет другие её параметры, и при проведении термодинамического описания их можно исключить.

Зависимость между параметрами состояния термодинамической системы выражается уравнением состояния, которое позволяет определять одни параметры состояния через другие.

Параметры состояния термодинамической системы обладают свойствами термодинамических потенциалов, - то есть их значения не зависят от того, каким образом система пришла в данное состояние, а определяются только самим термодинамическим состоянием. Примерами параметров состояния являются: давление, объем, температура и количество вещества.

Уравнения состояния в термодинамике позволяют классифицировать термодинамические системы по их термодинамическим свойствам. Поскольку термодинамика не рассматривает микроскопических процессов в термодинамической системе, то эта классификация является единственно возможной. Примерами классов термодинамических систем являются: идеальный газ, газ Ван-дер-Ваальса, фотонный газ. Каждому из этих классов соответствует свое уравнение состояния.

Различия между классами термодинамических систем определяются свойствами составляющих их микрообъектов и особенностями взаимодействий между ними. По этой причине для более углубленного изучения и описания свойств этих систем возникает необходимость, помимо термодинамического рассмотрения, применять также и элементы молекулярно-кинетической теории, содержащей в своей основе атомистические представления о структуре вещества.

Уравнения для равновесных состояний термодинамической системы позволяют получить уравнения обратимых термодинамических процессов. Последние описывают связь между параметрами различных термодинамических состояний, реализующихся при протекании процесса. Для получения этой связи необходимо учитывать физические условия, при которых данный процесс протекает. Уравнения термодинамических процессов могут быть получены при совместном рассмотрении уравнения состояния термодинамической системы и условий их протекания, которые задаются внешними воздействиями на систему.

Рассмотрим подробнее, что представляет собой один из основных параметров состояния – давление P. Ещё в XVIII веке Даниил Бернулли предположил, что давление газа есть следствие столкновения газовых молекул со стенками сосуда. Именно давление чаще всего является единственным сигналом присутствия газа.

Итак, находящиеся под давлением газ или жидкость действуют с некоторой силой на любую поверхность, ограничивающую их объем. В этом случае сила действует по нормали к ограничивающей объем поверхности. Давление на поверхность равно:

,

где Δ F – сила, действующая на поверхность площадью Δ S.

Можно также говорить о давлении внутри газа или жидкости. Его можно измерить, помещая в газ или жидкость небольшой куб с тонкими стенками, наполненный той же средой (рис. 1.1).

Рис. 1.1

Поскольку среда покоится, на каждую грань куба со стороны среды действует одна и та же сила Δ F. В окрестности куба давление равно Δ F /Δ S, где Δ S – площадь грани куба. Из этого следует, что внутреннее давление является одним и тем же во всех направлениях и во всем объеме независимо от формы сосуда. Этот результат называется законом Паскаля: если к некоторой части поверхности, ограничивающей газ или жидкость, приложено давление P₀, то оно одинаково передается любой части этой поверхности.

Допустим, автомобиль поднимается гидравлическим домкратом, состоящим, как показано на рисунке 1.2, из двух соединенных трубкой цилиндров с поршнями. Диаметр большого цилиндра равен 1 м, а диаметр малого – 10 см. Автомобиль имеет вес F₂. Найдем силу давления на поршень малого цилиндра, необходимую для подъема автомобиля.

Рис. 1.2

Поскольку оба поршня являются стенками одного и того же сосуда, то в соответствии с законом Паскаля они испытывают одинаковое давление. Пусть – давление на малый поршень, а – давление на большой поршень. Тогда, т.к. P₁ = P₂, имеем:

,

Отсюда F₁=F₂(S₁/S₂)=0,01F₂

Таким образом, для подъема автомобиля достаточно давить на малый поршень с силой, составляющей лишь 1 % веса автомобиля.

Вычислим давление, оказываемое газом на одну из стенок сосуда (рис. 1.3).

Рис. 1.3

Обозначим: n – концентрация молекул в сосуде; m₀ – масса одной молекулы. Движение молекул по всем осям равновероятно, поэтому к одной из стенок сосуда площадью S, подлетает в единицу времени (1/6) nv_x молекул, где v_x – проекция вектора скорости на направление, перпендикулярное стенке.

Каждая молекула обладает импульсом m ₀υ_x, но стенка получает импульс 2 m ₀υ_x(при абсолютно-упругом ударе m ₀υ_x- (- m ₀υ_x)=2 m ₀υ_x). За время d t о стенку площадью S успеет удариться число молекул, которое заключено в объёме V:

,

Общий импульс, который получит стенка S:

,

Разделив обе части равенства на S и d t, получим выражение для давления:

,

(1.2.1)

Таким образом, мы определили давление как силу, действующую в единицу времени на единицу площади:

,

(1.2.2)

Наивно полагать, что все молекулы подлетают к стенке S с одной и той же скоростью v_x (рис. 1.3). На самом деле молекулы имеют разные скорости, направленные в разные стороны, то есть скорости газовых молекул – случайные величины.

Более точно случайную величину характеризует среднеквадратичная величина. Поэтому под скоростью v_x² понимаем среднеквадратичную скорость < v_x² >. Вектор скорости, направленный произвольно в пространстве, можно разделить на три составляющих:

,

Ни одной из этих проекций нельзя отдать предпочтение из-за хаотичного теплового движения молекул, то есть в среднем . Следовательно, на другие стенки будет точно такое же давление. Тогда можно записать в общем случае:

или

(1.2.3)

где < E_k >– средняя энергия одной молекулы. Это и есть основное уравнение молекулярно-кинетической теории газов.

Итак, давление газов определяется средней кинетической энергией поступательного движения молекул.

Уравнение (1.2.3) называют основным уравнением, потому что давление Р – макроскопический параметр системы здесь связан с основными характеристиками – массой и скоростью молекул.

Иногда за основное уравнение принимают выражение

Рассмотрим единицы измерения давления.

По определению, , поэтому размерность давления Н/м².

1 Н/м² = 1 Па; 1 атм. = 9,8 Н/см² = 98066 Па ≈10⁵ Па,

1 мм рт.ст. = 1 тор = 1/760 атм. = 133,3 Па,

1 бар = 105 Па; 1 атм. = 0,98 бар.

Температура, при которой частицы вещества имеют минимальное количество движения, сохраняющееся только благодаря квантовомеханическому движению, — это температура абсолютного нуля. Температуры абсолютного нуля достичь невозможно. При температуре абсолютного нуля тепловое движение прекращается. Это утверждение, однако, отнюдь не означает, что прекращается всякое вообще движение частиц внутри тела.
Абсолютная температура пропорциональна средней кинетической энергии поступательного движения молекул вещества. В этом заключается физический смысл абсолютной температуры.

При этой температуре перестают двигатся атомы и молекулы в веществе