Метод математичного моделювання електростатичного поля

Вивчення Електростатичного Поля

Виконав(ла)___________________

Група________________________

Факультет ___________________

Мета роботи: ознайомитися з одним із способів вивчення характеристик електростатичних полів, що ґрунтуються на математичному моделюванні на прикладі поля з осьовою симетрією.

Прилади та пристрої: планшет з електродами, мікроампер типу М 906, джерело живлення УИП-2, зонд (електрод).

 

Загальні теоретичні відомості

Конструюючи електронні лампи, електронні лінзи та інші прилади, потрібно знати розподіл електричного поля в просторі між електродами довільної форми. Теоретичний розрахунок таких полів можливий тільки для найпростіших конфігурацій поля, в загальному випадку такого розрахунку виконати не можна. Тому електричні поля складної конфігурації досліджуються експериментально, за допомогою методу моделювання.

Основними характеристиками електростатичного поля є напруженість і потенціал. Напруженість Е – цесилова характеристика поля, що чисельно дорівнює силі, з якою поледіє на одиничний точковий додатній заряд σ0, який перебуває в даній точці поля:

E=F/σ0,

Електростатичні поля створюються зарядженими тілами, зарядами. Якщо поле створено точковим зарядом σ, напруженість на відстані r від заряду визначається формулою:

E=σ/4πεε0(r^2).

Енергетичною характеристикою поля є потенціал. Для деяких видів полів, зокрема поля точкового заряду, потенціал чисельно дорівнює роботі, яку виконують сили поля, переміщуючи одиничний точковий додатній заряд із даної точки поля в нескінченність:

φ=A/σ0,

Де σ0 – заряд, що переміщується.

Потенціал φ поля точкового заряду залежить від відстані r між точкою, у якій визначається потенціал, і зарядом σ, що створює поле:

R.

Сукупність точок поля, що мають однаковий потенціал, утворює еквіпотенціальну поверхню. Силові лінії поля завжди перпендикулярні поверхні однакового потенціалу. Силова лінія поля – це лінія, дотична до якої співпадає з напрямом сили, що діє на додатній пробний заряд, вміщений у дану точку поля.

 

Метод математичного моделювання електростатичного поля

 

Для математичного моделювання електростатичного поля використовується той факт, що електричне поле стаціонарного струму в середовищі зі слабкою провідністю завжди є потенціальним. Це дає можливість використати електричне поле стаціонарного стуму в середовищі зі слабкою провідністю для моделювання електростатичного поля заряджених тіл у вакуумі.

Роль заряджених тіл у моделюванні виконують електроди, форма яких відповідає натуральним тілам, що виконані у певному масштабі (найчастіше збільшеному). Взаємне розміщення електродів має бути таким самим, як і в приладі, що моделюється. На електроди подається напруга, що дорівнює або пропорційна напрузі на електродах приладу, що моделюється. За виконання цих умов електричне поле між електродами матиме таку саму конфігурацію, як і те поле, що моделюється, відрізняючись від нього тільки чисельним значенням напруженості.

Якщо між електродами розмістити середовище зі слабкою провідністю, то конфігурація електричного поля зміниться. Проте за певних умов подібних змін можна уникнути. Які ж ці умови?

Розподіл поля у просторі задається рівнянням Максвелла для електричного поля. Розв’язок цих рівнянь, який визначає закон розподілу напруженості поля, залежить як від вигляду самих рівнянь, так і від граничних умов. Покажемо, що вигляд рівнянь Максвелла не зміниться, якщо замінити непровідне середовище та провідне.

Як відомо, густина електричного струму j всередині провідника задовольняє рівняння неперервності:

div j = 0.

Використовуючи закон ома в диференціальній формі і враховуючи, що питома електропровідність середовища є величиною сталою (σ=const), одержимо:

div j = div (σ E) = σdiv j = 0,

Звідки

div j = 0. (5.1)

За відсутності змінного у часі магнітного поля виконується умова

rot E = 0. (5.2)

Таким чином, електричне поле сталого струму задовольняє рівняння (5.1) і (5.2). ці самі рівняння задовольняє й електричне поле у вакуумі.

Рівняння (5.1) і (5.2), що описують поля у провідному середовищі й вакуумі, мають розв’язки, залежні від граничних умов. Розглянемо граничні умови на електродах та інших поверхнях розділу середовищ. Якщо електропровідність середовища мала, то малий і струм, який протікає через це середовище. Електропровідність електродів, з іншого боку, велика, тому можна знехтувати падінням напруги в їх об’ємі та вважати, що поверхні електродів є еквіпотенціальними. Тому лінії струму і силові лінії у мало провідному середовищі перпендикулярні до межі розділу електрод – мало провідне середовище.

Аналогічний хід силових ліній в діелектричному середовищі, наприклад, у вакуумі. Проте граничні умови повинні виконуватися не тільки на поверхні розділу електрод – середовище, але й на інших поверхнях, що його обмежують.

Як мало провідне середовище використовується електропровідний папір, а межують з ним повітря та ізолююча підкладка. Оскільки на межах між електропровідним папером, повітрям і підкладкою електричний струм не може проходити перпендикулярно до поверхні розділу (з непровідного середовища у провідне), то у провідному середовищі встановлюється такий розподіл потенціалу, за якого вектор Е не матиме складових, перпендикулярних до поверхні розділу. Тому в провідному середовищі лінії струму й силові лінії йдуть вздовж межі розділу з непровідним середовищем. Межа розділу не вносить викривлень у форму ліній струму і, отже, ліній напруженості, якщо контур цієї межі відповідає контуру ліній струму.

У разі виконання всіх цих умов можна створити модель поля електростатичних зарядів, використовуючи поле в мало провідному середовищі. У такому моделюванні силовим лініям електростатичного поля відповідають лінії струму, а поверхням однакового потенціалу – поверхні однакових напруг. Перевагою такого моделювання є те, що виміряти поля у провідному середовищі набагато простіше, нуж у непровідному. Ця простота зумовлена тим, що в провідному середовищі вимірюється електричний потенціал, замість напруженості поля. Для таких вимірювань використовують зонди (електроди), які вводять у поле.

Зонд – це добре ізольований вздовж усієї довжини, крім кінця, провідник. Для вимірювання різниці потенціалів між двома точками поля в провідному середовищі потрібно доторкнутися до цих точок зондами, під’єднаними до вольтметра. Таким методом на електропровідному папері можна намітити лінії однакового потенціалу. Лінії струму на папері ортогональні до лінії однакового потенціалу і відповідають лініям напруженості електростатичного поля всередині циліндричного конденсатора. Такий самий характер має розподіл потенціалу електростатичного поля безмежної, рівномірно зарядженої нитки.

Поле модулюється за допомогою електропровідного паперу, до якого щільно притиснуті два коаксіальних циліндричних електроди. Для такої моделі залежність напруженості та потенціалу поля від відстані r до осі системи можна розрахувати таким чином. Густину струму на відстані r від осі системи j (r) знаходимо з умови неперервності

j (r) = I/2πrd,

де І – повний стум, що проходить через папір; d – товщина паперу.

Тоді напруженість поля на відстані r

E (r) = j (r)/σ, або E (r) = I/2πrdσ,

Де σ –електрична провідність паперу.

Експериментальна установка у роботі зібрана так, що в досліді вимірюються різниця потенціалів між зовнішнім електродом, потенціал якого приймається таким, що дорівнює нулю, і даною точкою поля. Розрахуємо теоретично цю різницю потенціалів, використавши зв’язок між напруженістю поля та його потенціалом:

E = -grad φ,

У полярній системі координат ця рівність перепишеться так:

E (r) = -dφ (r)/dr = -dU (r)/dr,

звідки

U (r) = -∫ E (r)dr = (I/2 πσd) * (ln rз/r),

Де rз – радіус зовнішнього електрода.

Одержані вирази для U (r) і E (r) можна переписати у вигляді, зручному для дослідження, якщо замість σ, І, d ввести величини rз, rвн, U0, що легко вимірюються експериментально (rвн – радіус внутрішнього електрода, U0 - різниця потенціалів між зовнішнім і внутрішнім електродами):

U0 = U (rвн) = (I/2 πσd) * ln (rз/rвн); (5.3)

U (r) = (U0/(ln rз/вн)) * (ln rз/r); (5.4)

E (r) = (U0/(ln rз/rвн)) * (1/r). (5.5)

Зміст даної роботи полягає у визначенні залежностей U = U (r) і E = E (r) дослідним шляхом та порівнянні отриманих результатів з залежностями, отриманими теоретично за формулами (5.4) і (5.5).