Рассмотрим микрочастицу с импульсом p, движущуюся вдоль оси Y. Попробуем измерить ее координату x с точностью (неопределенностью) D x. Для этого на пути частицы поставим экран с щелью шириной D x (рис.5). Тогда в момент прохождения щели нам будет известна координата x с неопределенностью D x. Слева от щели микрочастица движется свободно. Ее импульс точно известен: py = p, px= pz = 0. Такой частице 
соответствует плоская волна де Бройля (4а,б). Из оптики известно, что за щелью волна уже будет не плоской, а расходящейся, и если поставить экран, то на нем можно будет наблюдать дифракционную картину. Это справедливо не только для световых волн, но и волн любой природы, в том числе и для волны 
.
Рис.5
Вследствие дифракции плотность вероятности обнаружения частицы отлична от нуля почти всюду на экране, а не только в полосе шириной D x. Но попасть за пределы этой полосы частица может, лишь изменив направление своего движения. Следовательно, пролетев сквозь щель, частица приобретает компоненту импульса px ¹ 0. Поскольку частица может быть обнаружена в любой точке экрана, то значение px может быть любым. Но не все эти значения равновероятны, и большие px соответствуют лишь незначительному количеству частиц. Распределение частиц по значениям компоненты импульса px можно характеризовать неопределенностью D px, численно равной значению компоненты импульса px, при котором частица попадает в окрестность первого дифракционного минимума (см. рис.5). Такой выбор D px диктуется аналогией с оптикой: в область центрального максимума при дифракции на щели попадает около 90% энергии световой волны (и такая же доля фотонов).
Условие первого дифракционного минимума имеет вид
D x× sina = l.
Подставив сюда формулу де-Бройля l =h/p и воспользовавшись очевидным равенством D px = p× sina, получим
D x× sin a = h/p Þ p D x× sin a = h Þ D x ×D px = h.
В эксперименте неопределенности D x, D p x всегда больше, чем их теоретические оценки, поэтому равенство следует заменить неравенством
D x ×D px ³ h.
Таким образом, при измерении координаты частицы ее импульс меняется неконтролируемым образом, поэтому одновременное сколь угодно точное измерение координаты и одноименного с ней импульса невозможно. В лучшем случае точность этих одновременных измерений может быть доведена до уровня, допускаемого соотношением
D x ×D px ³ h. (9)
Сформулированное выше утверждение называют принципом неопределенности Гейзенберга.
Неравенство (9) означает, что при попытке уменьшить неопределенность координаты D x сразу возрастает неопределенность импульса D px. Также при более точном измерении импульса (то есть при уменьшении D px) немедленно возрастает D x.
Соотношение (9) можно дополнить аналогичными соотношениями для остальных координат и импульсов:
D x ×D px ³ h, D y ×D py ³ h, D z ×D pz ³ h. (10)
Эти неравенства называют соотношениями неопределенности Гейзенберга.
Из принципа неопределенности следует, что движение микрочастиц не может быть описано законами классической механики. Действительно, классическая механика позволяет предсказывать значения координат и импульсов частиц в любой момент времени, если известны действующие силы и значения координат x(0), y(0), z(0) и импульсов px(0), py(0), pz(0) в начальный момент времени (t=0).
Но поскольку точное определение координат и импульсов в один и тот же момент времени невозможно, то нельзя применить и весь аппарат классической механики.
Понятие траектории тоже оказывается неприменимым по отношению к движению микрочастиц: если известна траектория, то одновременно известны и точка на траектории и касательная к ней. То есть одновременно известны координаты частицы и направление ее импульса. Согласно принципу неопределенности Гейзенберга, это невозможно.
Классическая механика может в некоторых случаях приближенно описывать движение микрочастиц. Степень ее применимости может быть выяснена при помощи соотношений неопределенности (10). Рассмотрим два примера.
1. Для определения вида микрочастицы часто используется камера Вильсона, в которой заряженные частицы, пролетая, оставляют следы - треки. Камеру обычно помещают в магнитное поле. Спрашивается: можно ли рассчитать форму трека по законам классической механики?
Пусть ширина трека D x = 10-5 м = 10 мкм, частица – электрон (его масса m= 9,1×10-31 кг). Тогда из (10) получаем
.
Таким образом, при наблюдении трека возникает неопределенность в скорости электрона Dv > 70 м/с. Но это ничтожно малая величина по сравнению со скоростью самого электрона: при энергии103 эВ его скорость 1,8×107м/с. Следовательно, применима классическая механика.
2. Рассмотрим теперь электрон в атоме водорода. Неопределенность координаты D x=2r (r - радиус первой боровской орбиты, r = 0,5×10-10м), следовательно, неопределенность скорости
.
При этом скорость движения электрона на первой орбите (по теории Бора)
.
Значит неопределенность скорости в p раз больше самой скорости: Dv/v>p. Ясно, что классическое описание здесь неприменимо.
Дадим еще одну трактовку принципа неопределенности.
При измерении координаты частицы ее импульс случайным образом меняется. Средний импульс, полученный частицей в результате взаимодействия с прибором, не меньше h/Dx.
Таким образом, принцип неопределенности говорит о невозможности измерения, не меняющего состояние квантовой частицы. В квантовой механике измерение всегда рассматривается как акт взаимодействия частицы и прибора, и невозможность одновременного сколь угодно точного измерения некоторых величин связана с неконтролируемым изменением состояния частицы при измерении. Заметим, что классическая механика всегда предполагает возможность проведения измерения, которое не меняет состояние частицы.
Соотношение неопределенностей для энергии и времени. Проанализируем эксперимент по определению кинетической энергии частицы. Для этого, по-видимому, требуется: а)определить значения координаты частицы в два близкие момента времени: x1=x(t), x2=x(t+Dt); б)по этим данным найти скорость частицы или ее импульс:
; (11)
в) вычислить кинетическую энергию 
.
Результаты такого эксперимента позволяют также утверждать, что в интервале времени (t, t +D t) частица находится в пространственном интервале (x1,x2). Следовательно, импульс и скорость частицы не могут быть определены со сколь угодно высокой точностью. Но тогда и энергия частицы тоже будет иметь некоторую неопределенность. Определим ее.
Дифференцируя формулу для энергии частицы, выразим неопределенность энергии через неопределенность импульса:
(12)
Неопределенность импульса, согласно (17), обратно пропорциональна длине пространственного интервала 
. Подставив это неравенство в (12) и использовав определение скорости (11), приходим к результату:
.
Полученное неравенство называется соотношением неопределенностей для энергии и времени. Ему может быть дана следующая интерпретация.
Сколь угодно точное измерение энергии за конечный интервал времени невозможно. Чем меньше время наблюдения системы, тем выше неопределенность ее энергии.
В микромире очень часто приходится сталкиваться с ситуацией, когда квантовая система существует лишь в течение очень небольшого интервала времени. Например, среднее время жизни возбужденного состояния атома порядка 10–8с, время жизни нестабильных частиц – мюонов – 2×10–6с. Так как время наблюдения системы не может быть больше времени ее существования, то такие короткоживущие системы не могут иметь точно определенной энергии.
Заключение
Соотношение неопределенности дало повод различным далеко идущим выводам об ограниченности человеческого познания и применимости принципа причинности к явлениям в микромире.
В современной физике соотношение В. Гейзенберга совсем не означает границы познаваемости явлений природы, а указывает лишь границы применимости моделей и законов классической механики к микромиру. Соотношение неопределенностей является следствием двойственной корпускулярно-волновой природы микрочастиц.
Соотношение неопределенности показывает, с какой степенью точности можно говорить о траекториях микрочастиц, и, следовательно, о применимости законов классической механики.
Разработал ст. преподаватель кафедры
кандидат физ.-мат. наук Долматова О.А.
Рецензировал доцент кафедры
кандидат физ.-мат. наук Исмагилов Р.Г.
