Отримання математичного опису об’єкту управління

Зміст

1 Отримання математичного опису об’єкту управління 4

 

2 Аналіз стійкості САУ без наявності регулятора (корегуючого пристрою) 6

 

3 Розрахунок настроювань по показнику коливання (методом В.Я. Ротача) 9

 

4 Розрахунок параметрів настроювання стандартного регулятора 13

 

Література 17

 

Отримання математичного опису об’єкту управління

Отримання передаточної функції об’єкту управління на основі апроксимації “кривої розгону” з використанням методу Сімою.

Рисунок 1 – Крива розгону об’єкту управління

 

1.1 Нормування кривої розгону:

 

Із ординат кривої розгону формуємо вектор-строку вихідних даних:

y (0.3 0.31 0.325 0.357 0.39 0.42 0.455 0.48 0.5 0.52 0.54 0.545 0.553 0.56 0.563 0.567 0.57 0.572 0.576 0.578 0.58).

Тепер отримаємо криву розгону без впливу на неї вхідної дії. Для цього вектор-рядок початкових даних ділимо на зовнішній вплив , і отримуємо вектор – рядок .

Y1(t) = (15 15.5 16.25 19.5 21 22.75 24 25 26 27 27.25 27.65 28 28.15 28.35 28.5 28.6 28.8 29.9 29)

Від отриманих значень віднімемо 15 і в результаті отримуємо нормований вектор-рядок Y(t):

 

Y (t)= (0 0.5 1.25 2.85 4.5 6 7.75 9 10 11 12 12.25 12.65 13 13.15 13.35 13.5 13.6 13.8 13.9 14)

 

Транспонуємо вектор-строку в вектор-стовпець, нормуємо криву розгону (ділимо все значення на y_уст = 14) і визначаємо розмірність вектора N:

 

N = 20

 

1.2 Задаємось видом передатної функції. По зовнішньому вигляду кривої розгону бачимо, що при t = 0 y = 0 і , а отже, n – m = 2.

 

1.3 Задаємо крок розрахунку по часу Δt = 1,25с та встановлюємо значення коефіцієнта для забезпечення можливості автоматизації розрахунків. Записуємо функцію в MathCad, яка описує підінтегральний вираз рівняння для знаходження коефіцієнтів S_K в загальному вигляді в дискретній формі:

де k – номер обчислюваного коефіцієнта S_k;

і – номер кроку розрахунку за часом.

 

1.4 За допомогою пакета MathCad проводимо розрахунок перших 5-ти коефіцієнтів S.

 

Згідно розрахунків, отримали 5-ть перших коефіцієнти:

 

S₁= 7.942;

S₂= 19.286;

S₃= 8.963;

S₄= 12.891;

S₅= 61.328.

 

Згідно п. 1.2 приймаємо, що перехідна функція має другий порядок.

А так як прийнято, що різність між степенями знаменника і чисельника дорівнює одиниці, то, очевидно, що порядок чисельника m в нашому випадку повинен дорівнювати 0(тобто, в чисельнику константа), а коефіцієнти будуть співвідноситись як:

 

Опираючись на попереднє пояснення буде дорівнювати:

 

 

Таким чином, передатна функція об’єкта може буде представлена в вигляді:

 

Знайдемо передаточну функцію h(t):

 

 

 

 

Побудуємо передаточну характеристику передатної функції h(t) та криву розгону нормованого вектора-рядокя Y(t):

Рисунок 2 – Перехідна та розгінна характеристики

 

2 Аналіз стійкості САУ без наявності регулятора (корегуючого пристрою)

 

Дослідження замкненої системи на стійкість за критерієм Михайлова.

Передатна функція розімкненої системи:

2.1 Замикаємо об’єкт управління від’ємним зворотнім зв’язком та знаходимо передатну функцію отриманої системи:

 

 

2.2 Характеристичний поліном системи (вираз в знаменнику):

2.3 Виконуємо заміну s=jω, в результаті отримаємо функцію Михайлова:

2.4 Розділивши коефіцієнти, які містять уявну одиницю, і які її не містять, отримуємо вираз для реальної та уявної частин функції Михайлова

2.5 Для отримання годографів Михайлова використовуємо математичний пакет MathCad:

 

Рисунок 3 – Годограф Михайлова для системи 2-го порядку

 

Висновок: Дана замкнена система стійка, оскільки кількість пройдених квадрантів годографом відповідає порядку системи. Годограф починається в 1-ому квадранті і, закінчившись в 2-му, уходить в нескінченність.

 

2.6 Побудова перехідної характеристики замкненої системи та визначення основних показників якості.

 

2.6.1 Задаємо передатну функцію замкненої системи:

 

.

2.6.2 Виконуємо перетворення Лапласа передатної функції замкненої системи під дією одиничного ступінчатого сигналу:

2.6.3 Отримуємо перехідну функцію:

.

2.6.4 Будуємо перехідну характеристику за допомогою MathCad для t = 50c:

 

Рисунок 4 – Перехідна характеристика замкненої системи

Перерегулювання σ, %, знаходимо за формулою:

Час перехідного процесу , c, визначаємо із умови:

h(t)-

Знайдемо 5% коридор від встановленого значення :

h(t)= 0.93-0.047 = 0.886

t_p = 14.88c

Таблиця 1 – Прямі показники якості замкненої системи

№	Показник якості	Одиниця виміру	Чисельне значення
	Перерегулювання	σ, %
	Час перехідного процесу	, c	14.88c