Сложные суждения. Логика высказываний

Сложными называют суждения, состоящие из нескольких простых суждений, соединенных логическими связками. Простые суждения рассматриваются здесь без учета их внутренней структуры, как некие неделимые атомы, образующие более сложные структуры. Единственное свойство простых суждений, которое здесь учитывается, это их истинностная характеристика – каждое простое суждение либо истинно, либо ложно. «Высказывание» - это иное название для суждения, принятое в логике высказываний. Специфика логической связи между простыми высказываниями, входящих в состав сложных высказываний и составляет предмет исследования логики высказываний.

Высказывания записываются в виде формул, включающих в себя переменные и логические связки. Переменные, или простые суждения, обозначаются латинскими буквами p, q, r, s… Основные логические связки – конъюнкция (союз «и»), дизъюнкция (союз «или»), импликация (союз «если...то»), эквивалентность (союз «если, и только если.. то» и отрицание («неверно, что»). В соответствии с функциями логических связок основными видами сложных суждений являются: (1) соединительные, (2) разделительные, (3) условные и (4) эквивалентные суждения.

Соединительным (конъюнктивным) суждением называют суждение, включающее в качестве составных частей другие суждения (конъюнкты), объединяемые связкой «и». Например: «корысть и властолюбие есть признаки невежества». Если одно из составляющих суждений – «корысть есть признак невежества» – обозначить символом р, другое суждение – «властолюбие есть признак невежества» – символом q, а связь между ними знаком «&», то в целом соединительное суждение можно символически выразить как р & q. Конъюнктивная связка грамматически выражается союзами «и», «а», «но», «также», «как», «так и», «хотя», «однако» и др.

Разделительным (дизъюнктивным) называют суждение, включающее в качестве составных частей суждения-дизъюнкты, объединяемые связкой «Ú» (или). Например, «многие недоверчивые люди или глупы (р), или скаредны (q)». Схематично это высказывание записывается так: р Ú q. Бывает две разновидности дизъюнкции: слабая и сильная (или нестрогая и строгая). Слабая дизъюнкция истинна в тех случаях, когда истинно, по крайней мере, одно из составляющих ее суждений, и ложна, когда оба суждения ложны. Сильная дизъюнкция истинна лишь тогда, когда одно из составляющих ее суждений истинно, а другое ложно. Основные языковые средства выражения дизъюнкции – грамматические союзы «или», «либо».

Условным (импликативным) называют суждение, включающее в качестве составных два суждения – антецедент(p) и консеквент(q), объединяемые связкой «если..., то...». Схематично это выглядит так: p®q. Например: “Если прекратить подачу кислорода (p), то пламя погаснет (q)» В естественном языке условные суждения выражаются союзами «если..., то...», «тогда...», «поскольку...», «ибо...» и др.

Эквивалентным (двойная импликация) называют суждение, включающее в свой состав два суждения, связанные двойной (прямой и обратной) условной зависимостью, выражаемой связкой «если и только если..., то...». Например: «Если и только если растение имеет ствол (p) – оно является деревом (q)». В данном случае суждение p является необходимым условием q. Это означает, что р имеет место тогда и только тогда, когда имеет место q. В таком случае, импликация выполняется «в обе стороны», т.е., из наличия p следует наличие q, а из наличия q следует наличие р: (если растение имеет ствол, то оно является деревом, и если растение является деревом, то оно имеет ствол).Эта обусловленность выражается схемой:р «q. Эквивалентность выражают также знаком «º», т. е. р º q.

Если истинность простых суждений может устанавливаться независимо от его связи с другими суждениями, то истинность сложных суждений всегда зависит от истинности входящих в него простых и от логической связки, их объединяющей. Эта зависимость определяется правилами, которые представлены в следующей таблице:

Как видим, коньюнкция истинна, если истинны оба составляющих ее суждения, и ложна во всех остальных случаях. Слабая дизъюнкция – ложна, если ложны оба дизъюнкта, и истинна во всех остальных случаях. Сильная дизъюнкция истинна, если один из дизъюнктов истинный, а другой – ложный. В остальных случаях она ложна. Импликация ложна, если ее условие (антецедент) истинный, а следствие (консеквент) – ложно. Эквивалентность будет истинной, если оба составляющих ее суждения – истинны, или оба – ложны. В противном случае она будет ложной. Отрицание обращает истинное суждение в ложное, а ложное – в истинное.

Не следует думать, что эти правила искусственны, они соответствуют реальной практике нашего мышления, но уточняют ее условия.

Учитывая правила и возможные значения переменных, мы получим три вида формул:

1. Формула может оказаться истинной при одних значениях переменных, и ложной – при других. Тогда она называется выполнимой. Соответствующее высказывание называют логически недетерминированным.

2. При всех значениях переменных формула остается истинной. Тогда она называется тождественно-истинной, или законом. Сооответствующее высказывание называется логически истинным.

3. При всех значениях переменных формула оказывается ложной. Такая формула называется тождественно-ложной, а соответствующее высказывание — логически ложным.

Таким образом, мы получаем бесконечное множество законов логики, то есть тождественно-истинных высказываний. Некоторые из них называются основными законами, которые наиболее явно регулируют рассудочную деятельность, делают ее логически последовательной и непротиворечивой. В частности: закон непротиворечия (высказывание и его отрицание не могут быть вместе истинными), закон исключенного третьего (любое высказывание в определенном контексте является либо истинным, либо ложным), и закон тождества (любая мысль должна быть тождественна сама себе). Основные законы записываются так:

Закон непротиворечия: ~(А /\ ~А), или: неверно, что А и не-А. Например: неверно, что трава зеленая и трава не зеленая.

Закон исключенного третьего А \/ ~А, или: А или не-А. Например: сегодня четверг, или неверно, что сегодня четверг.

Закон тождества А º А, или: если и только если А, то А. Например, если и только если трава зеленая, то она зеленая.

Если мы проверим эти три высказывания по таблице, то убедимся, что все они – тождественно истинные.

Точно так же возможно проверять по таблице любые другие сложные высказывания, убеждаясь, что наши мысли являются логически корректными.