Экономико-математическая модель межотраслевого баланса.

Основу информационного обеспечения модели межотраслевого баланса составляет технологическая матрица, содержащая коэффициенты прямых материальных затрат на производство единицы продукции. Эта матрица является также основой экономико-математической модели межотраслевого баланса. Предполагается, что для производства единицы продукции в j-й отрасли требуется определенное количество затрат промежуточной продукции i-й отрасли, равное a_ij. Оно не зависит от объема производства ву j-й отрасли и является довольно стабильной величиной во времени.

Величины a_ij называются коэффициентами прямых материальных затрат и рассчитываются следующим образом:

a_ij₌ i,j = 1,2,…, n (3.4)

Определение 1. Коэффициент прямых материальных затрат а_ij - показывает, какое количество продукции i-й отрасли необходимо, учитывая только прямые затраты, для производства единицы продукции j-й отрасли.

С учетом формулы (3.4) систему уравнений баланса (3.2) можно переписать в виде i=1,2,…,n

Если ввести в рассмотрение матрицу коэффициентов прямых материальных затрат

A = (a_ij),

вектор-столбец валовой продукции X и вектор-столбец конечной продукции Y:

то система уравнений (3.5) в матричной форме примет вид:

X= AX+Y (3.6)

Система уравнений (3.5), или в матричной форме (3.6) называется экономико-математической моделью межотраслевого баланса (моделью В.Леонтьева) или моделью «затраты - выпуск».

С помощью этой модели можно выполнять три варианта расчетов:

1) задав в модели величины валовой продукции каждой отрасли (X_i), можно определить объем конечной продукции каждой отрасли (Y_j):

Y = (E-A)X (3.7)

2) задав величины конечной продукции всех отраслей (Y_i), можно определить величины валовой продукции каждой отрасли (X_i)

X = (E-A)^-1Y (3.8)

3) задав для ряда отраслей величины валовой продукции, а для всех остальных отраслей задав объемы конечной продукции, можно найти величины конечной продукции первых отраслей и объемы валовой продукции вторых; в этом варианте расчета удобнее пользоваться не матричной формой модели (3.6), а системой линейных уравнений (3.5).

В формулах (3.7) и (3.8) E обозначает единичную матрицу n-го порядка, а (Е - А)^-1 обозначает матрицу, обратную к матрице (Е - А). Если определитель матрицы (Е - А) не равен нулю, т. е. эта матрица невырожденная, то обратная к ней матрица существует. Обозначим эту обратную матрицу через:

B = (E-A)^-1

тогда систему уравнений в матричной форме (3.8) можно записать в виде:

X=BY (3.8')

Элементы матрицы В будем обозначать через b_ij, тогда из матричного уравнения (3.8') для любой i-й отрасли можно получить следующее соотношение:

i =1, 2,…,n (3.9)

Из соотношений (3.9) следует, что валовая продукция выступает как взвешенная сумма величин конечной продукции, причем весами являются коэффициенты b_ij, которые показывают, сколько всего нужно произвести продукции i-й отрасли для выпуска в сферу конечного использования единицы продукции j-й отрасли. В отличие от коэффициентов прямых затрат а_ij коэффициенты b_ij_| называются коэффициентами полных материальных затрат и включают в себя как прямые, так и косвенные затраты всех порядков. Если прямые затраты отражают количество средств - производства, израсходованных непосредственно при изготовлении данного продукта, то косвенные относятся к предшествующим стадиям производства и входят в производство продукта не прямо, а через другие (промежуточные) средства производства.

Определение 2. Определение коэффициента полных затрат - коэффициент полных материальных затрат b_ij показывает, какое количество продукции i-й отрасли нужно произвести, чтобы с учетом прямых и косвенных затрат этой продукции получить единицу конечной продукции j-й отрасли.

Коэффициентами полных материальных затрат можно пользоваться, когда необходимо определить, как скажется на валовом выпуске некоторой отрасли предполагаемое изменение объемов конечной продукции всех отраслей:

i=1,2,…,n (3.10)

где и - изменения (приросты) величин валовой и конечной продукции соответственно.

Модель Неймана.

Модель Неймана считается более общей. Рассмотрим экономику, описываемую парой (C, K), где С пространство товаров, а K — множество производственных процессов, перерабатывающих некоторые количества товаров и другие количества тех же товаров. Под товаром (продуктом), понимается как первичные факторы производства (земля, труд) и сырье (нефть, усоли), так и конечные продукты производства, услуги и т.п.

Пусть товаров всего п, тогда С есть неотрицательный ортант n-мерного пространства. Множество K производственных процессов имеет в своей основе конечное число процессов (Q₁, …,Q_m), которые называются базисными. Каждый базисный процесс представляет собой пару векторов Q_j = (А_j, В_j) из С. (Векторы А_j, В_j — это векторы-столбцы, но векторы-столбцы мы из типографских соображений будем записывать строками.) Содержательный смысл процесса Q_j таков: он затрачивает вектор А_j = (а_ij) и выпускает вектор B_j=(b_ij), т.е. перерабатывает вектор А_j в вектор B_j. По смыслу все векторы А_j, В_j неотрицательны. Обозначив A=(A₁..., А_m), В= (B₁...... B_m), получаем, что технология нашей модели задается парой неотрицательных матриц А, В; матрица А называется матрицей затрат, В - матрицей, выпуска,

Комбинируя базисные процессы, можно получить новые процессы. Так, возьмем неотрицательные числа z_i, i=1..... т и определим новый производственный процесс

z_iQ_1+…+z_mQ_m, в котором затраты есть вектор , а выпуск есть вектор ; полученный производственный процесс кратко обозначим (АZ, ВZ). Вектор-столбец Z= (z_i) называется вектором интенсивностей. Получившееся более широкое множество процессов и обозначим К.

Можно заметить, что в то время как базисные процессы Q₁..., Q_т соответствуют: реальным отраслям, заводам, фабрикам, каждый элемент (X, У), это есть некоторый фиктивный процесс, описывающий определенный режим совместной работы этих отраслей, заводов, фабрик. При этом X есть вектор затрат, Y— вектор выпуска.

Рассмотренная ранее модель Леонтьева действительно есть частный случай модели Неймана при п = т, В=Е. Основное отличие модели Неймана состоит в том, что всякий базисный процесс может выпускать не один продукт. Ясно также, что модель Неймана линейна.