Парная корреляция и парная линейная регрессия

Простейшим приемом выявления связи между двумя признаками является построение корреляционной таблицы. В основу таблицы положена группировка двух изучаемых во взаимосвязи признаков – X и Y. Частоты f _ijпоказывают количество соответствующих сочетаний X и Y. Если f _ijрасположены в таблице беспорядочно, можно говорить об отсутствии связи между переменными. В случае образования какого-либо характерного сочетания f _ijдопустимо утверждать о связи между X и Y. При этом, если f _ijконцентрируются около одной из двух диагоналей, имеет место прямая или обратная линейная связь.

Уровни признака X	Уровни признака Y
Y 1	Y 2	…	Ym	Итого
X 1	f 11	f 12	…	f 1 m
X 2	f 21	f 22	…	f 2 m
…	…	…	…	…	…	…
X k	f k1	f k2	…	f k m
Всего			…		n
			…			–

Рисунок 7.1. Схема корреляционной таблицы

Наглядным отображением корреляционной таблицы служит корреляционное поле. Оно представляет график, где на оси абсцисс откладываются значения X, по оси ординат – Y, а точками показывается сочетание первичных наблюдений X и Y. По расположению точек, их концентрации в определенном направлении можно судить о наличии и форме связи.

В итогах корреляционной таблицы по строкам и столбцам приводятся два распределения – одно по X, другое по Y. Рассчитаем для каждого X_i среднее значение Y и для Y_j среднее значение X.

; i = 1, 2, …, k; j = 1, 2, …, m.

Последовательность точек на графике иллюстрирует зависимость среднего значения результативного признака Y от факторного X; соединяя точки линиями, получаем эмпирическую линию регрессии, наглядно показывающую, как изменяется Y по мере изменения X. Аналогичным образом, последовательность точек на графике иллюстрирует зависимость среднего значения факторного признака X от результативного Y; соединяя точки линиями, также получаем эмпирическую линию регрессии, наглядно показывающую, как изменяется X по мере изменения Y. Таким образом, на одном графическом поле можно расположить две линии регрессии

Понятие о множественной регрессии и корреляции. Меры тесноты связей в многофакторной системе.

Множественная корреляция

Если имеется система статистических показателей: Y, X ₁, X ₂, …, X _m, то представляет интерес оценка корреляции между всеми парами показателей этой системы. Все парные коэффициенты корреляции могут быть представлены в одной квадратной матрице R размерностью (m +1) × (m +1), котораяназывается матрицей парных линейных коэффициентов корреляции. На основе матрицей R, можно определить так называемые коэффициенты множественной линейной корреляции признаков и коэффициенты парной линейной частной корреляции.

Коэффициент множественной линейной корреляции оценивает степень линейной связи одного из признаков системы с совокупностью прочих признаков этой же системы. В общем случае для измерения множественной линейной корреляции определяются параметры множественного уравнения регрессии и теоретические уровни признака-результата (например, Y). На основе фактических и рассчитанных по уравнению (теоретических) значений признака Y вычисляется коэффициент множественной корреляции R_y:

где s² – общая (фактическая) дисперсия уровней результативного признака (дисперсия Y); σ²_факт. – факторная дисперсия или дисперсия теоретических значений признака результата относительно среднего уровня; σ²_ост. – остаточная дисперсия, характеризующая вариацию Y за счет факторов, не учтенных уравнением регрессии. Известно, что общая дисперсия признака результата Y складывается из факторной и остаточной составляющих.

Коэффициент множественной корреляции изменяется от 0 до 1. Чем ближе R_Y к 1, тем более сильная связь между Y и множеством X. Если коэффициент R_Y незначителен по величине (как правило, R_Y 0,3), то можно утверждать, что или не все важнейшие факторы взаимосвязи учтены, или выбрана неподходящая форма уравнения. В последнем случае пересматривается список переменных модели и возможно, её вид.

Для нелинейной множественной связи рассчитывают индекс корреляции. Методика его вычисления аналогична, но взаимодействие факторов и функция регрессии рассматриваются как нелинейные. Индекс корреляции изменяется в пределах от 0 до 1. Квадрат R равен так называемому коэффициенту детерминации (D или R²). Он показывает, какая часть вариации зависимого признака объясняется включенными в модель факторов.

Показатели множественной корреляции рассчитываются по приведенной выше схеме не часто. Если признак-результат Y включен в общую систему признаков, то на основе общей матрицы парных линейных коэффициентов R можно получить всю совокупность коэффициентов множественной корреляции, так как любой из признаков этой системы может, в принципе, претендовать на роль признака-результата. Коэффициент множественной корреляции, оценивающий степень линейной зависимости любого признака j от всех прочих в этой системе, определяется по формуле

где (m +1) – число всех признаков в системе; | R | –определитель матрицы R парных линейных коэффициентов корреляции; R_ii – алгебраическое дополнение элемента (jj) для этой же матрицы.