Однофазный корелляционно-регрессионный анализ

Корреляционно-регрессионный анализ заключается в построении модели зависимости в виде уравнения регрессии, приближенно выражающей зависимость результативного признака от одного или нескольких признаков-факторов. Одной из проблем, которую приходится решать, прежде чем приступить к построению уравнения регрессии, является выбор типа функции.

Нахождение теоретической формы связи. Если мы на корреляционном поле в нашем примере соединим, точки отрезками прямой, то получим ломаную линию с некоторой тенденцией к росту. Это будет эмпирическая линия связи. Изломы этой линии свидетельствуют о влиянии на признак у, прочих факторов, помимо признака х. Чтобы отвлечься (абстрагироваться) от влияния прочих факторов, нужно прибегнуть к выравниванию полученной эмпирической линии связи, к нахождению переменных средних (у), исчисленных в предположении функциональной зависимости у от х. Для этого, прежде всего, нужно установить теоретическую форму связи, т. е. выбрать определенный вид математического уравнения, наилучшим о бразом отображающегохарактер изучаемой связи.

Выбор формы связи имеет решающее значение в корреляционном анализе. Все дальнейшие самые тщательные расчеты могут быть обесценены, если форма связи избрана неверно.

Зависимость признака у от х может быть, как мы говорили, прямой и обратной. Если с возрастанием х увеличивается у или с уменьшением х уменьшается у, то говорят, что связь между ними прямая, а корреляция положительная; если эта зависимость обратная (т. е. с увеличением х уменьшается у или с уменьшением х увеличивается у), то говорят, что существует отрицательная корреляция.

Кроме того, в зависимости от характера изменения у с изменением х связи могут быть линейными и криволинейными.

Уравнение линейной связи в общем виде можно написатьтак:

Криволинейная связь может быть весьма разнообразна. Приведем наиболее часто встречающиеся в экономическом анализе уравнения криволинейной зависимости:

уравнение гиперболы:

уравнение полулогарифмической кривой:

уравнение параболы второго порядка:

Выбор теоретической формы связи всегда связан с некоторой условностью, вызванной тем, что нужно находить форму функциональной зависимости, в то время как в жизни зависимость лишь в той или иной степени приближается к функциональной. Но, если зависимость довольно высокая, т. е. довольно близко приближается к функциональной, тогда именно теоретическая линия связи и ее параметры приобретают практическое значение, превращая теорию корреляции в хорошего помощника в плановых и экономических расчетах. Значит, когда связь высокая, есть смысл искать, и находить теоретическую линию связи.

При линейной форме уравнения применяется показатель тесноты связи – линейный коэффициент корреляции. Для практических вычислений при малом числе наблюдений (n£20) линейный коэффициент корреляции удобнее вычислять по следующей формуле

R=

Значение линейного коэффициента корреляции важно для исследования социально-экономических явлений и процессов, распределение которых близко к нормальному. Он принимает значения в интервале:

-1 £ r £ 1

Отрицательные значения указывают на обратную связь, положительные на прямую. При r =0 линейная связь отсутствует. Чем ближе коэффициент корреляции по абсолютной величине к 1, тем теснее связь между признаками. И, наконец, при r = ±1, связь – функциональная.

Выравнивание по прямой. Разберем на примере зависимости, как находится теоретическое уравнение связи, имеющее линейный характер. Уравнение прямой в общем виде: Найти теоретическое уравнение связи - значит в данном случае определить параметры прямой. Эти параметры находят способом наименьших квадратов, который дает следующую систему нормальных уравнений для нахождения параметров прямой:

где п - численность совокупности; в нашем примере п =12.

 

Рассчитаем параметры линейного уравнения зависимости между расходами на рекламу и товарооборотом. (Для удобства расчетов показатели приведены в тыс. грн.)

x	y	x2	yx	Yx	Y-Yx	|Y-Yx|×100%
Y
0,42	39,62	0,18	16,64	40,63	-1,00	2,53
0,68	40,24	0,46	27,36	46,85	-6,62	16,45
0,65	41,36	0,42	26,89	46,13	-4,77	11,54
0,63	45,68	0,40	28,78	45,66	0,03	0,06
0,63	45,68	0,40	28,78	45,66	0,03	0,06
0,66	46,81	0,43	30,80	46,33	0,49	1,04
0,58	47,21	0,34	27,38	4,46	2,76	5,84
0,70	48,65	0,49	34,06	47,33	1,32	2,71
0,64	48,97	0,41	31,34	45,89	3,07	6,27
0,68	49,36	0,46	33,57	46,85	2,51	5,08
0,71	50,32	0,50	35,73	47,57	2,75	5,47
0,86	50,68	0,74	43,74	51,24	-0,55	1,09
7,84	554,59	5,24	365,06	х	х	58,14

В результате расчетов мы получили =30,56, =23,95, следовательно уравнение зависимости имеет вид: У=30.56+23,95*Х

 

Прежде чем использовать полученную модель в дальнейших расчетах, необходимо установить адекватность модели. Для этого рассчитываем среднюю ошибку аппроксимации:

,

где У_ф - фактические значения показателя, У_т - теоретические значения, найденные из уравнения.

Для этого, подставляя в уравнение регрессии фактические значения Х, находят теоретическое значение У, затем, для каждого значения рассчитывают:

, потом находят среднее значение .

При моделировании экономических показателей чаще всего допускается 5% ошибка. Модель считается адекватной (приемлемой для использования в расчетах), если .

В нашем примере ошибка аппроксимации =4,85%, следовательно, модель можно считать адекватной и использовать для моделирования показателей.

Так, например, мы можем вычислить, что при затратах на рекламу в размере 1000 грн. мы можем рассчитывать на объем товарооборота – 54518 грн.

В этом уравнении, исчисленном при условии функциональной зависимости у от х, если корреляционная связь высокая, параметр а при х имеет большое практическое значение. Этот параметр, который называется коэффициентом регрессии, характеризует, в какой мере увеличивается У_х с ростом величины х. В нашем примере прирост на 1 грн. рекламных расходов дает прирост объема продаж на 24грн.

 

Контрольные вопросы к теме

 

1. Какие виды взаимосвязей вам известны

2. В чем сущность балансового метода изучения взаимосвязей

3. Чем характеризуются функциональные связи

4. Что собой представляет корреляционная связь

5. Каковы основные задачи корреляционного анализа

6. В чем сущность метода сопоставления параллельных рядов

7. Что представляет собой однофакторный корреляционно-регрессионный анализ

8. Как используется метод группировок с целью выявления корреляционных за­висимостей

9. В чем заключается графический метод выявления взаимосвязей

10. Какова последовательность нахождения теоретического уравнения связи, имеющего линейный характер.

11. Для чего рассчитывают среднюю ошибку аппроксимации:

12. Что характеризует коэффициентом регрессии

Тесты

1. Равенство: а+б=в+г представляет следующий вид взаимосвязей

a) факторный;

b) компонентный;

c) балансовый;

d) регрессионный.

2. Функциональные связи характеризуются:

a) обратной зависимостью между факторными и результативными признаками;

b) полным соответ­ствием между изменением факторного признака и изменением ре­зультативной величины;

c) тем, что величина того или иного признака изменяется под влиянием целого комплекса факторов, мера влияния которых на результативный показатель различна;

d) тем, что они неполные.

 

3. Уравнение является:

a) Уравнением линейной связи;

b) уравнением полулогарифмической кривой;

c) Уравнением линейной связи;

d) уравнением параболы второго порядка.

 

4. средняя ошибка аппроксимации характеризует:

a) адекватность составленной модели взаимосвязи;

b) правильность расчета параметров уравнения регрессии;

c) тесноту взаимосвязи между рассматриваемыми явлениями;

d) коэффициент регрессии.

 

 

Опорный конспект