Лабораторная работа № 1. Построение математических моделей задач принятия решений.

Методические рекомендации по выполнению лабораторных работ

Цель лабораторной работы: Получить навыки разработки математических моделей задач принятия решений.

Задания к лабораторной работе № 1

Для следующих задач принятия решений составить математические модели.

1. Для изготовления брусьев трех размеров 1,5; 2,4 и 3,2 м в соотношении 2:3:5 на распил поступают 200 5-метровых бревен. Определить план распила, минимизирующий общую величину отходов.

2. Ткань трех артикулов производится на ткацких станках двух типов с различной производительностью. Для изготовления ткани используется пряжа и красители. В следующей таблице указаны мощности станков (в тыс. станко-ч.), ресурсы пряжи и красителей (тыс. кг), производительности станков по каждому виду пряжи (в м/ч), нормы расхода пряжи и краски (в кг на 1000 м) и цена (в тг) 1 м ткани.

Виды ресурсов	Объем ресурсов	Производительность и нормы расхода
Станки 1 типа Станки 2 типа Пряжа Красители
Цена

Определить оптимальный ассортимент, максимизирующий товарную прибыль фабрики.

3. Три завода A, B, C производят лимонад. Имеется 5 складов a, b, c, d, e, где производится оптовая торговля. Географическое расположение 3-х заводов A, B, C и пяти складов a, b, c, d, e показано на рисунке. Транспортные расходы перевозки 1 тыс. бутылок указаны при соответствующих дугах. Каждый из заводов ежедневно производит следующее количество бутылок лимонада (в тыс.бут.): A = 90, B = 75, C = 70. Потребности складов (в тыс.бут.): a = 40, b = 35, c = 70, d = 40, e = 50.

Необходимо так организовать перевозки, чтобы общая сумма транспортных затрат была минимальной.

4. Пароход может быть использован для перевозки 11 наименований груза. Масса, объем и цена единицы каждого груза приведены в таблице. На пароход может быть погружено не более 800 т груза общим объемом, не превышающим 600 м³. Определить, сколько единиц каждого груза следует поместить на пароход так, чтобы общая стоимость размещенного груза была максимальной.

Параметры единиц груза	Номер груза
Масса (т)
Объем (м3)
Цена	4,4	2,7	3,2	2,8	2,7	2,8	3,3	3,5	4,7	3,9	4,0

5. В состав рациона кормления входят два продукта: сено и силос, содержащие питательные вещества: кормовые единицы, белок, кальций и фосфор. Содержание питательных веществ (в г на 1 кг) соответствующего продукта питания и минимально необходимые нормы их потребления заданы следующей таблицей:

Продукты	Питательные вещества
	Кормовые единицы	Белок	Кальций	Фосфор
Сено Силос	0,5 0,5		1,25 2,5

Смесь должна содержать не менее 10% кормовых единиц; не менее 12%, но не более 25% белка; не менее 18% кальция; не менее 5% фосфора.

Определить оптимальный рацион кормления из условия минимальной стоимости, если цена 1 кг продукта питания соответственно составляет: сена – 25 усл. ед. и силоса – 32 усл. ед.

6. Для изготовления брусьев трех размеров: 0,7 м, 1,2 м и 2,1 м в соотношении 1:2:3 на распил поступают 100 бревен длиной в 3 м и 300 бревен длиной в 2 м. Определить план распила, обеспечивающий максимальное число комплектов.

7. Рассматривается вопрос о реконструкции n предприятий цветной металлургии, которые должны будут выпускать m видов продукции. Существуют p способов реконструкции предприятий с приведенными затратами . При выборе j -го способа реконструкции выпуск i -й продукции за единицу времени составит единиц. Требуется выбрать способы реконструкции таким образом, чтобы суммарный выпуск предприятиями каждого продукта i был не менее заданной величины , а суммарные затраты на реконструкцию были минимальными. Причем для каждого предприятия k может быть реализован один способ реконструкции из некоторого множества . Ниже приведены числовые данные в условных единицах: n = 2, p = 4, m = 4, , .

.

8. Совхоз отвел тир земельных массива размерами в 5000, 8000 и 9000 га под посевы ржи, пшеницы и кукурузы. Средняя урожайность по массивам указана в таблице.

Культура	Средняя урожайность массива, ц/га
Рожь
Пшеница
Кукуруза

Сколько гектаров и на каких массивах совхоз должен отвести под каждую культуру, чтобы получить наипбольшую урожайность, если по плану он обязан сдать не менее 1 900 т ржи, 15 800 т пшеницы и 30 000 т кукурузы?

9. Для строительства домов на 100 строительных площадках выбраны 5 типовых проектов. По каждому из проектов известны: длительность закладки фундаментов и строительства остальной части здания в днях, а также жилая площадь дома. Параллельно можно вести закладку 10 фундаментов и строительство 15 зданий.

Вид работы	Длительность выполнения (дни) для типового проекта
Фундамент Остальные работы
Жилая площадь, м2

Определить план строительства, обеспечивающий ввод максимальной жилой площади в течение года (300 рабочих дней) при условии, что число домов 2 типа должно быть построено не менее 10.

10. Полуфабрикаты поступают на предприятие в виде листов фанеры. Всего имеется две партии материала, первая партия содержит 400 листов, а вторая – 250 листов фанеры. Из поступающих листов фанеры необходимо изготовить комплекты, включающие 4 детали 1-го типа, 3 детали 2-го типа и 2 детали 3-го типа. Лист фанеры каждой партии может раскраиваться различными способами. Количество деталей каждого типа, которое получается при раскрое одного листа соответствующей партии по тому или иному способу раскроя, представлено в следующей таблице:

Первая партия	Вторая партия
Детали	Способ раскроя	Детали	Способ раскроя

Требуется раскроить материал так, чтобы обеспечить изготовление максимального числа комплектов.

11. В плановом году строительные организации города переходят к сооружению домов типа Д-1, Д-2, Д-3, Д-4. Данные о количестве квартир разного типа в каждом из указанных типов домов, их плановая себестоимость приведены в таблице. Годовой план ввода жилой площади составляет соответственно 800, 1000, 900, 2000 и 7000 квартир указанных типов.

Типы квартир	Д-1	Д-2	Д-3	Д-4
Однокомнатные
Полуторные		–		–
Двухкомнатные	–		–
Трехкомнатные				–
Четырехкомнатные			–
Плановая себестоимость, тыс. тг.

Определить оптимальный план ввода жилой площади, минимизирующий плановую себестоимость.

12. На заготавливаемый участок поступило 69 металлических прутьев длиной 111 см. Их необходимо разрезать на заготовки по 19, 23, 30 см в комплектности, задаваемой соотношениями 1:4:2. Как оптимальным образом раскроить прутья, чтобы максимизировать количество получаемых комплектов заготовок.

13. В 3 городах находятся металлургические заводы-поставщи­ки, выпускающие однородную металлопродукцию c мощностями 12, 16, 22. А в 5 городах расположены потре­бители металлопродукции с потребностями 14, 7, 9, 14, 6. Эти города связаны сетью железных дорог, расстояния (S_ij) между которыми заданы в таблице 1. Некоторые ветки железных дорог имеют ограниченную пропускную способность d_ij, значения которых приведены в таблице 2. Стоимость перевозки равна c_ij = k * S_ij.

Таблица 1 – Расстояния Sij между городами

Таблица 2 – Пропускные способности dij

j i

j i

Управлению материально-технического снаб­жения, в частности бронировщику, необходимо произвести прикреп­ления потребителей к поставщикам так, чтобы транспортные расхо­ды были минимальными.

14. Ежемесячно на руднике, имеющем шесть участков, производится распределение объема добычи руды между участками. Главным фактором при распределении работы является выполнение месячного плана по руде D =7,5 с наименьшими общими затратами и получение руды с фактическим содержанием компонент полезных ископаемых ( меди, свинца цинка) не менее планового А_i в единице руды. Себестоимость добычи единицы руды на j -м участке – с_j, содержание i- го компонента в единице руды j -го участка a_ij, максимальная и минимальная производительность участков и приведены в таблице.

j i							Aj
	1,3	1,3	1,8	1,5	1,7	1,4	1,5
2,3	2,25	1,8	1,95	1,8	2,2	1,9
8,1	6,3	7,0	7,0	7,5	7,7	7,2
сj	7,5	6,35	8,0	8,2	7,02	7,5	-
	1,8	0,7	1,8	1,4	0,8	0,4	-
	2,0	0,8	2,0	1,5	1,0	0,5	-

15. Фирма производит два вида продукции – А и В. Объем сбыта продукции вида А составляет не менее 60% общего объема реализации продукции обоих видов. Для изготовления продукции А и В используется одно и то же сырье, суточный запас которого ограничен величиной 100 фунтов. Расход сырья на единицу продукции А составляет 2 фунта, на единицу продукции В – 4 фунта. Цены продукции А и В равны 20 и 40 долл. соответственно. Определите оптимальный план производства продукции.

16. Строительный песок из трех карьеров доставляется на 4 строительные площадки. Данные о производительности карьеров за день a_i (в тоннах), потребностях в песке площадок b_j (в тоннах) и транспортные расходы с_ij (в усл. ед.) приведены в следующей таблице:

 

 

bj ai

Необходимо составить оптимальный план доставки песка на строительные площадки, минимизирующий суммарные транспортные расходы.

17. Металлургический цех выпускает три вида продукции: А, Б и В. Прибыль от тонны произведенной продукции каждого вида составляет соответственно 35, 25 и 40 усл.ед. Цех располагает необходимым оборудованием, каждый тип которого имеет свой фонд рабочего времени и производительность.

Тип оборудования	Фонд времени, ч	Производительность (т/ч) вида продукции
А	Б	В
Печь обжига		3,5	2,8	-
Травильный агрегат		0,083	0,083	0,104
Прокатный стан		0,067	0,1	0,083
Отделочный стан
№ 1			-	-
№ 2		-		-
№ 3		-	-

Составить план выпуска продукции, обеспечивающий максимум прибыли.

18. Номенклатура выпускаемой на предприятии продукции состоит из 7 наименований. Затраты ресурсов на производство единицы изделия каждого вида, объемы имеющихся ресурсов, ограничения по ассортименту и прибыль, получаемая предприятием от реализации каждого изделия приведены в таблице. Требуется определить оптимальный ассортимент выпуска продукции, при котором предприятие получит максимальную прибыль.

Ресурсы	Объемы	Затраты на единицу изделий
	ресурсов
Станки токарные Станки фрезерные Сталь Трудовые ресурсы		-		-	-	-		-
Прибыль на штуку изделия
Ограничение на ассортимент		≥ 50			Комплект в соотношении 3:2:5	Без ограничений

19. Для изготовления заготовок четырех размеров: 45 см, 50 см, 65 см и 86 см на предприятие поступают листы фанеры длиной 184 см в количестве 250 штук. Всего заготовок каждого вида необходимо соответственно 90, 96, 88 и 56 шт. Определить оптимальный план распила листов, минимизирующий величину общих отходов.

20. Завод выпускает изделия трех моделей (1, 2 и 3). Для их изготовления используются два вида ресурсов (А и В), запасы которых составляют 4000 и 6000 единиц. Расход ресурсов на одно изделие каждой модели приведен в таблице.

Анализ условий сбыта показывает, что минимальный спрос на продукцию завода составляет 200, 200 и 150 изделий моделей 1, 2 и 3 соответственно. Однако соотношение выпуска изделий моделей 1, 2 и 3 должно быть равно 3:2:5. Удельные прибыли от реализации изделий моделей 1, 2 и 3 составляют 30, 20 и 50 долл. соответственно. Определить оптимальный план выпуска изделий, максимизирующий прибыль завода.

Ресурс	Расход ресурса на одно изделие
А
В

21. Ежемесячно на руднике, имеющем шесть участков, производится распределение объема добычи руды между участками. Целью распределения является выполнение плана по количеству A_i металлов (меди, цинка) с минимальной добычей по руднику. Известно a_ij – содержание i -го компонента (металла) в руде j -го участка; d_j и d_j – минимальная и максимальная производительность за месяц j -го участка, соответственно. Ниже приведены числовые данные в условных единицах.

j i							Ai
aij =		1.3	1.3	1.8	1.5	1.7	1.4	11.25
	2.3	2.25	1.8	1.95	1.8	2.2	14.25
dj	1.8	0.7	1.8	1.4	0.8	0.4
dj	2.0	0.8	2.0	1.5	1.0	0.5

Определить оптимальный план распределения добычи по участкам.

22. Нефтеперерабатывающий завод получает 4 полуфабриката: 400 тыс. л алкилата, 250 тыс. л крекинг-бензина, 350 тыс. л бензина прямой перегонки и 100 тыс. л изопентана. В результате смешивания этих четырех компонентов в разных пропорциях образуются три сорта авиационного бензина: бензин А (2:3:5:2), бензин B (3:1:2:1) и бензин C (2:2:1:3). Стоимость 1 тыс. л бензина каждого сорта равна 120 усл.ед., 100 усл.ед. и 150 усл.ед. Определить соотношение компонентов, при котором будет достигнута максимальная стоимость всей продукции.

23. Три нефтеперерабатывающих завода с ежедневной производительностью 6, 5 и 8 млн. литров бензина снабжают три бензохранилища, спрос которых составляет 4, 8 и 7 млн. литров. Бензин транспортируется в бензохранилища по трубопроводам. Затраты на перекачку 100 литров бензина на один километр составляет 0,2 усл. ед. Задана таблица расстояний (завод 1 не связан с хранилищем 3) (км):

	Бензохранилища
Заводы				−

Необходимо составить оптимальный план транспортировки бензина по трубопроводам, минимизирующий суммарные транспортные затраты.

24. Предприятие располагают ресурсами сырья, рабочей силы и оборудованием, необходимым для производства любого из четырех видов производимых товаров. Затраты ресурсов на изготовление единицы данного вида товара, прибыль, получаемая предприятием, а также запасы ресурсов указаны в таблице.

Вид товара Вид ресурса					Объем ресурсов
Сырье, кг
Рабочая сила, чел.-час.
Оборудование, станко-час.
Прибыль на единицу товара, усл. ед.

Определить оптимальный ассортимент производства товаров при следующих условиях: 1-го товара выпустить не более 5 ед., 2-го не менее 8 ед., 3-го и 4-го – в отношении 1:2.

25. На заготавливаемый участок поступило 85 металлических прутьев длиной 100 см. Их необходимо разрезать на заготовки по 20, 24, 30 см в комплектности, задаваемой соотношениями 2:1:3. Как оптимальным образом раскроить прутья, чтобы максимизировать количество получаемых комплектов.

26. На заготавливаемый участок поступило 90 металлических прутьев длиной 131 см. Их необходимо разрезать на заготовки по 25, 33, 46 и 51 см в комплектности, задаваемой соотношениями 4:2:3:2. Как оптимальным образом раскроить прутья, чтобы максимизировать количество получаемых комплектов.

27. Четыре предприятия данного экономического района для производства продукции используют три вида сырья. Потребности в сырье каждого из предприятий соответственно равны 120, 50, 190 и 110 ед. Сырье сосредоточено в трех местах его получения, а запасы соответственно равны 160, 140, 170 ед. На каждое из предприятий сырье может завозиться из любого пункта его получения. Тарифы перевозок являются известными величинами и задаются матрицей

.

Составить такой план перевозок, при котором общая стоимость перевозок является минимальной.

28. Составить математическую модель транспортной задачи, исходные данные которой определяются таблицей.

Пункты отправления	Пункты назначения	Запасы
В 1	В 2	В 3	В 4	В 5
А 1
А 2
А 3
Потребности

Числа в матрице D определяют предельное количество груза, которое можно перевезти из данного пункта отправления в соответствующий пункт назначения. Символ ∞ означает, что на перевозки из данного пункта отправления в соответствующий пункт нет ограничений

.

29. Для изготовления заготовок трех размеров: 54 см, 63 см и 77 см на предприятие поступают 120 листов фанеры длиной 123 см. Всего заготовок каждого вида необходимо соответственно 50, 65 и 84 шт. Определить оптимальный план распила листов, минимизирующий общую величину отходов.

30. Для изготовления брусьев четырех размеров: 0,8 м, 1,3 м и 1,6 и 1,9 м в соотношении 4:2:3:1 на распил поступают 150 бревен длиной в 5 м и 200 бревен длиной в 6 м. Определить план распила, максимизирующий количество получаемых комплектов.