Виды дисперсий и правило их сложения

Если совокупность разбита на группы (части) по изучаемому признаку, то для такой совокупности рассчитывают следующие виды дисперсий: общая, групповые (частные), средняя из групповых, межгрупповая.

Общая дисперсия измеряет вариацию признака во всей совокупности под влиянием всех факторов, обусловивших эту вариацию. Общая дисперсияравна среднему квадрату отклонений отдельных значений признака от общей средней . Она может быть исчислена как простая средняя или как

, (5.20)

или как взвешенная

. (5.21)

Общая дисперсия отражает вариацию признака за счет всех условий и причин, действующих в совокупности.

Групповая дисперсия равна среднему квадрату отклонений отдельных значений признака внутри группы от средней арифметической этой группы (групповой средней). Она может быть исчислена как простая или как взвешенная средняя:

; (5.22)

. (5.23)

Эта дисперсия отражает вариацию признака только за счет условий и причин, действующих внутри группы.

Средняя из групповых (частных) дисперсий – это средняя арифметическая, взвешенная из дисперсий групповых:

. (5.24)

Межгрупповая дисперсия равнасреднему квадрату отклонений групповых средних от общей средней :

. (5.25)

Межгрупповая дисперсия характеризует вариацию результативного признака за счет группировочного признака.

 

Между указанными видами дисперсий существует определенное соотношение: общая дисперсия равна сумме средней из групповых дисперсий и межгрупповой дисперсии.

. (5.26)

Это соотношение называют правилом сложения дисперсий. С его помощью, зная два вида дисперсий, можно определить третий [1, 5–9].

Пример. Имеются данные о производительности рабочих за один час работы (табл. 5.1).

 

Таблица 5.1

Табельный №	Изготовлено продукции за 1час, x
		–2
		–1
Итого
		–3

Продолжение табл. 5.1

 

Табельный №	Изготовлено продукции за 1час, x
		–2
		–1
Итого

 

 

Исчислить: групповые дисперсии; среднюю из групповых дисперсий; межгрупповую и общую дисперсии.

Решение

1. Групповые дисперсии

Исчислим средние по группам, используя формулу (4.3):

Исчислим групповые дисперсии по формуле (5.20):

2. Рассчитаем среднюю из групповых дисперсий по формуле (5.24):

3. Определим общую среднюю как среднюю взвешенную из групповых средних:

.

Исчислим межгрупповую дисперсию по формуле (5.25):

4. Исчислим общую дисперсию по правилу сложения дисперсий по формуле (5.26):