Процедура проверки нулевой гипотезы.

Глава 3. Проверка статистических гипотез

Статистическая гипотеза

Статистической гипотезой называют предположение либо о виде распределения генеральной совокупности (закон распределения неизвестен), либо о значениях неизвестных параметров известного закона распределения. Например, статистическими являются гипотезы:

1) генеральная совокупность распределена по закону Пуассона;

2) математическое ожидание а нормально распределенной генеральной совокупности равно числу а ₀;

3) дисперсии двух нормальных совокупностей равны между собой.

Статистические гипотезы делятся на параметрические (в них говорится о значениях параметров известного распределения) и непараметрические (в них высказывается предположение о виде закона распределения). Например, гипотеза 1) является непараметрической, а гипотезы 2) и 3) – параметрическими.

Наряду с проверяемой гипотезой (ее называют нулевой или основной Н ₀.) рассматривают и противоречащую ей гипотезу (ее называют конкурирующей или альтернативной Н ₁). Нулевая и альтернативная гипотеза взаимно исключают друг друга. Процедура проверки применяется к нулевой гипотезе Н ₀. Если в результате проверки нулевую гипотезу Н ₀ оказывается целесообразней отвергнуть, то принимается альтернативная гипотеза.

Например, если нулевая гипотеза состоит в предположении, что математическое ожидание а нормального распределения равно 10, то конкурирующая гипотеза, в частности, может состоять в предположении, что а ¹10. Коротко это записывают так: Н₀: а =10; Н ₁: а ¹10.

Простой называют гипотезу, содержащую только одно предположение. Сложной называют гипотезу, которая состоит из конечного или бесконечного числа простых гипотез.

Нулевая гипотеза– это простая гипотеза, в ней говорится о конкретных значениях параметров или о конкретном распределении. Альтернативная гипотеза сложная, в ней подразумевается бесконечно много возможностей.

 

Процедура проверки нулевой гипотезы.

Для проверки нулевой гипотезы используют специально подобранную случайную величину (выборочную статистику) К, точное или приближенное распределение которой известно в предположении справедливости нулевой гипотезы Н ₀. Эта случайная величина К называется статистическим критерием.

После выбора определенного критерия множество всех его возможных значений разбивают на два непересекающихся подмножества: одно из них содержит значения критерия, при которых нулевая гипотеза отвергается (оно называется критической областью или областью отвержения гипотезы), а другое – те значения, при которых она принимается (область принятия гипотезы).При справедливости нулевой гипотезы Н ₀ вероятность того, что случайная величина К примет значения из области принятия гипотезы, велика, а вероятность того, что случайная величина К примет значения из критической области, мала. Вероятность попадания в критическую область называется уровнем значимости и обозначается буквой .Тогда вероятность попадания в область принятия гипотезы Н ₀ равна .

По выборке, извлеченной из генеральной совокупности, вычисляют наблюдаемое значение критерия К – число К_набл. Если это число принадлежит критической области, то гипотеза Н ₀ отвергается, как противоречащая опытным данным. Справедливой в этом случае считается альтернативная гипотеза Н ₁. Если же число К_набл принадлежит области принятия гипотезы Н ₀, то эта гипотеза считается согласующейся с опытными данными.

В зависимости от условия эксперимента критическую область можно выбрать двусторонней, левосторонней и правосторонней. Критическая область строится в зависимости от вида конкурирующей гипотезы. Обозначим – плотность распределения случайной величины К при условии справедливости гипотезы Н ₀.

Двусторонняя критическая область на рис. 1 образованна интервалами (– ¥, k _1кр) и (k _2кр, ¥). Интервал (k _1кр, k _2кр) – область принятия нулевой гипотезы. Площади под кривой на интервалах (– ¥, k _1кр) и (k _2кр, ¥) равны каждая.

Правосторонняя критическая область на рис. 2 образованна интервалом (k _2кр, ¥). Интервал (– ¥, k _1кр) – область принятия нулевой гипотезы. Площадь под кривой на интервале (k _2кр, ¥) равна .

Левосторонняя критическая область на рис. 3 образованна интервалом (– ¥, k _1кр). Интервал (k _2кр, ¥) – область принятия нулевой гипотезы. Площадь под кривой на интервале (– ¥, k _1кр) равна .