Дослідження тісноти взаємозв’язку

Дослідимо тісноту взаємозв’язку y від x на основі зібраних статистичних даних. Цю залежність можна характеризувати співвідношенням поясненого до загального відхилення. Загальне відхилення між фактичними та теоретичними значеннями можна представити

.

(8.7)

Можна аналітично вивести таку залежність:

(8.8)

цю тотожність можна переписати таким чином

.

(8.9)

Очевидно, що величина першого доданку правої частини вказує на пояснену частку відхилення, а другий – непояснену. Для оцінки тісноти взаємозв’язку використовують такі показники:

.	(8.10)
.	(8.11)

З наведених вище формул видно, що величина цих коефіцієнтів лежить в межах [0,1]. Адже R² характеризує частку поясненого відхилення. Тому чим більша ця частка, тим краще дана економіко-математична модель пояснює сутність досліджуваного взаємозв'язку. За значенням R можна зробити висновки:

o R ² < 0,4 - даний взаємозв'язок не є коректним і йому довіряти не можна;

o R ² = 0,4 - 0,6 - довіряти теж не варто, а висновок про наявність взаємозв'язку слід робити після більш детальних досліджень;

o R ² > 0,6 - можна припустити, що взаємозв'язок існує;

o R ² > 0,9 - зв'язок існує і є близький до функціонального;

R у випадку лінійної регресії може бути як додатнім, так і від'ємним. Обернений зв'язок буде, коли R від'ємний, пряма залежність спостерігається при R додатному. При R = 1 - між ознаками існує прямий функціональний зв'язок; а при R = -1 - обернений.

Для лінійної регресії a - точка перетину осі 0y; b - кут нахилу лінії регресії.

На практиці для обчислення коефіцієнта кореляції лінійної регресії зручно використовувати такі формули:

.

(8.12)

Наприклад, розглянемо залежність ваги людини від її росту. Дані наведені в таблиці

Таблиця 8.

Приклад проведення регресійного аналізу

№ з/п	xi (ріст, см)	yi (вага, кг)	xi2	xiyi	yi2	№ з/п	xi (ріст, см)	yi (вага, кг)	xi2	xiyi	yi2
1	187	80	34969	14960	6400	12	182	69	33124	12558	4761
2	185	77	34225	14245	5929	13	170	60	28900	10200	3600
3	180	73	32400	13140	5329	14	178	65	31684	11570	4225
4	188	81	35344	15228	6561	15	182	72	33124	13104	5184
5	179	67	32041	11993	4489	16	194	87	37636	16878	7569
6	174	70	30276	12180	4900	17	181	70	32761	12670	4900
7	176	60	30976	10560	3600	18	178	70	31684	12460	4900
8	186	72	34596	13392	5184	19	172	60	29584	10320	3600
9	178	65	31684	11570	4225	20	184	68	33856	12512	4624
10	178	73	31684	12994	5329	21	168	58	28224	9744	3364
11	170	62	28900	10540	3844	å

Невідомий розподіл шукаємо у вигляді . Для знаходження невідомих параметрів a i b потрібно розв’язати таку систему рівнянь

Звідси а=-115,43; b= 1,0294 або y=1.0294x-115,43. Графічне зображення наведено на рис. 8.1.

Рис. 6. Лінія регресії

У невеликих за обсягом сукупностях коефіцієнт регресії b схильний до випадкових коливань, тому його істотність слід перевіряти. У випадку, коли передбачуваний зв'язок лінійний, істотність коефіцієнта регресії перевіряють за допомогою t-критерія Стьюдента. Для гіпотези H₀: b=0 визначається відношення коефіцієнта b до власної стандартної похибки m_в

.

(8.13)

Тоді довірчий інтервал для коефіцієнта b визначається як .

В певних випадках досліджують значущість коефіцієнта кореляції і теж використовується t-критерій Стьюдента, але розраховуємо величину

.

(8.14)

Теоретичне значення функції розподілу Стьюдента для заданої ймовірності і n-2 ступенів вільності знаходять у таблиці. Якщо t_розр < t_табл, тоді гіпотеза про нульове значення коефіцієнта кореляції в генеральній сукупності підтверджується.

Перевірку значущості кореляційного відхилення виконують аналогічно перевірці значущості коефіцієнта кореляції.

При нелінійній кореляції часто застосовують допоміжну оцінку точності наближення, середню відносну похибку апроксимації.

.

(8.15)

У випадку дослідження взаємозв'язку між двома змінними такий аналіз носить назву однофакторного або парної регресії. В економіці дуже часто використовуються нелінійні, наприклад, степеневі функції , які відображають функції споживання, виробничі функції. Степенева функція зводиться шляхом логарифмувань до лінійного виду

.

(8.16)

В реальності часто досліджується взаємозв'язок між багатьма факторами, тобто в такому випадку проводиться множинний аналіз і будується багатофакторне рівняння регресії, яке для лінійного випадку має такий вигляд

.

(8.17)

Для знаходження невідомих коефіцієнтів b₀, b₁, … b_m використовують метод найменших квадратів.

.

(8.18)

Прирівнявши частинні похідні по b_i до 0 отримуємо систему нормальних рівнянь, з якої знайдемо невідомі коефіцієнти b_і.

.

(8.19)

Коефіцієнт детермінації у випадку багатофакторної регресії за змістом і способом розрахунку ідентичний коефіцієнтам детермінації парної (однофакторної) регресії.

.

(8.20)

Коефіцієнт еластичності

Важливою характеристикою регресійної моделі є відносний ефект впливу фактора х на результат - коефіцієнт еластичності, який показує на скільки відсотків у середньому змінюється результат y зі зміною фактора х на 1%.

.

(8.21)

у випадку лінійної регресії коефіцієнт еластичності буде рівним:

.

(8.22)

Рангова кореляція

Взаємозв'язок між ознаками, які можна проранжувати, передусім на основі простих оцінок, вимірюється методами рангової кореляції.

Рангами називають числа натурального ряду, які згідно з означенням ознаки надаються елементам сукупності і певним чином упорядковують їх порядок. Ранжування проводиться за кожною ознакою окремо. Перший ранг надається найменшому значенню ознаки, останній - найбільшому (можливо й навпаки). Кількість рангів рівна обсягу варіантів сукупностей. Рангова кореляція не потребує додаткових математичних обмежень (наприклад, дотримання нормального розподілу). Ранги, надані елементам сукупності за ознакою х, позначають відповідно R_xi, ранги елементів y - відповідно R_yi.

Таблиця 9

Рангові показники Фехнера і Спірмена.

Коефіцієнт Спірмена	,	де di = Rxi -Ryi; n - обсяг сукупності; di – різниця рангів.	(8.23)
Коефіцієнт Фехнера		де С - число співпадінь знаку між відхиленнями поточного значення від середнього; Н - число незбіжностей ;	(8.24)

Коефіцієнти Спірмена та Фехнера лежать в межах від -1 до +1. При j = -1 - спостерігається повна зворотна кореляція рангів, при j = 0 - кореляція відсутня, при j = 1 - повна пряма кореляція рангів.