Теоретические основы понятия натурального числа

Понятие натурального числа, как и любое абстрактное понятие, это отражение общих и существенных признаков определенных явлений объективной действительности. Объек­том отражения служат количественные отношения действи­тельного мира.

Понятие числа у человека возникает в основном так же, как и другие научные понятия, т.е. на основе конкретных представлений, на основе практического опыта. Отличитель­ные черты этого процесса обусловливаются лишь сущнос­тью объектов отражения — количеством.

Особенностью количества является то, что реально коли­чественные отношения вне предметов, отдельно от них, не существуют. Чтобы отделить количественные отношения от всех других признаков предмета, нельзя сразу откинуть сами предметы или заменить разнообразные совокупности сово­купностями, составленными только из одних каких-то пред­метов. Трудности формирования понятия о количестве объяс­няются еще и тем, что в разных конкретных множествах необходимо выделить и обратить внимание на количествен­ные отношения как самые главные, самые существенные.

Для того чтобы выделить постоянные количественные от­ношения, следует сделать однородные множества перемен­ными, т.е. необходимо разнообразить совокупности предме­тов. Например, пять шкур, пять мешков зерна, пять пальцев на руке. Эти множества отличаются по содержанию, но они одинаковы по количеству, что становится очевидно благодаря их сравнению. Количественная сторона данных множеств, ос­таваясь постоянной, становится заметной, так как отделяется от других качественных и пространственных признаков и обоб­щается в виде абстрактного понятия числа — всех их по пять.

Следующей особенностью количественных отношений является то обстоятельство, что выделение их осуществляет­ся с помощью сравнения. Только сравнение предметов от­крывает у них количественную сторону как объективное свойство материального мира. Поэтому основным в позна­нии количества является восприятие не самих вещей, а вос­приятие их изменений — сравнение, умственная деятель­ность, динамика (Кольман Е.). Эти действия могут быть раз­ными: непосредственное сравнение, счет, измерение, что зависит от природы самих вещей. Если это дискретные (пре­рывные) величины, то сравниваются они или непосредствен­но, или с помощью пересчитывания элементов. Если же это непрерывные величины, то сравнение осуществляется изме­рением или также непосредственным сравнением. Действия сравнений зависят и от задачи более или менее точно харак­теризовать количество. Например, восемь штук, четыре ки­лограмма, пять метров и др.

Итак, при формировании у детей понятия числа важно организовать систему действий с совокупностями предме­тов, научить их различным способам выделения и оценки количества предметов. Усвоение понятия натурального числа у детей даже под влиянием целенаправленного обучения — длительный процесс. Как и любое познание, оно не простое, не непосредственное, не целостное, а достаточно сложный процесс осознания абстракций, законов, закономерностей.

Дети сами не изобретают ни действий, раскрывающих количественную сторону предметного мира, ни названий чисел, ни знаков для обозначения их записи. Это происхо­дит благодаря усвоению ими опыта предыдущих поколений (опыта взрослых). Однако личный опыт каждого ребенка так­же необходим. Без непосредственного опыта невозможно ни возникновение, ни развитие математических понятий.

На каждой ступени обобщения и углубления понятий на­турального числа следует обеспечить правильное объедине-

ние чувственного и логического элементов познания. Чув­ственный опыт, как и логические способы раскрытия конк­ретного понятия, развивается и усовершенствуется. Чувствен­ное познания — это наши ощущения и восприятия.

На первых этапах возникновения числовых представлений у детей чувственную основу создает оперирование предмета­ми. Для этого им необходимы разные группы (множества) предметов. Дети практически действуют с ними: складывают, раскладывают, нанизывают, накладывают, прикладывают, пересчитывают. При этом необходимо, чтобы взрослый на­правлял этот процесс на сравнение множеств по количеству (больше, меньше, поровну). Под влиянием этих действий, во-первых, развиваются операции сравнения и счета; во-вторых, формируется начальное понятие о числе как показателе мощ­ности множества.

В процессе формирования понятия числа особое значение приобретает связь счета с измерением, обучение детей по­ниманию отношения того или другого объекта (величины) как целого к его части (меры).

Позднее понятие натурального числа углубляется благо­даря оперированию самими числами: ознакомление с систе­мой счисления, изучение свойств натурального ряда, вы­полнение арифметических действий. В результате изменяется само содержание понятия натурального числа, а соответствен­но этому изменяется также восприятие количества, число­вые представления в целом. Важное значение тут приобрета­ет логический элемент познания.

Практика, индивидуальный опыт ребенка являются не только основой формирования абстрактного понятия нату­рального числа, но и способом изучения количественных отношений. Опыт в данном случае выступает как критерий жизненности, реальной значимости понятия числа.

Для ребенка в первое время его жизни слова являются только вторым сигналом действительности. Первым же яв­ляются восприятия, которые поступают в его сознание че­рез органы чувств из внешнего мира.

Упражнения для самопроверки

Возникая на основе... представления чувственного

(в процессе практического оперирова­
ния) с множествами,... и измерения, счета
понятие... числа раскрывается далее в натурального
его существенных признаках, знание ко­
торых не может быть приобретено ис-

следованием, поскольку число не отно­сится к области непосредственного на­блюдения.

В конце дошкольного возраста у детей должно быть сформировано понятие о том, что..., которое получено в результа­те счета, зависит от избранной....

Только в результате длительного раз­вития... деятельности и... мышления чело­век сумел... для каждого класса... эквива­лентных..., общих для всех множеств это­го класса, их... характеристику, которую можно выразить с помощью числа (один, два, три и т.д.).

Натуральных... бесконечно много, сре­ди них не бывает.... Какое бы большое... мы ни взяли, если... к нему единицу, то... еще большее число.

С помощью чисел натурального... че­ловек решает две основные...:

— определение... конечных... и

— упорядочивание... конечные множе­
ства. Отсюда и две формы...: количествен­
ные и порядковые числительные.