Значение и задачи математического развития детей дошкольного возраста

ОТ АВТОРА

Необходимость издания настоящего учебного пособия вызвана изменившейся концепцией дошкольного воспита­ния и в частности концепцией обучения математике.

Основополагающими идеями курса «Теория и методика математического развития дошкольников» являются: 1. На­учное понимание процесса обучения как активной деятель­ности, направленной на интеллектуальное, в частности ма­тематическое, развитие личности ребенка. 2. Путь перехода от репродуктивного типа обучения на продуктивный, раз­вивающий, творческий, предусматривающий перестройку всей системы учебно-воспитательной работы в детском саду с учетом интересов и познавательных возможностей каждо­го ребенка. 3. Вариативность программ и методических обо­снований предполагает дифференциацию и индивидуализа­цию обучения, гарантирует обеспечение государственных стандартов образования и достаточно высокий уровень раз­вития детей.

На этом основании цель обучения заключается в обеспе­чении развития ребенка и рассматривается прежде всего как возможность приобретения им знаний и использования их в жизни.

Воспитатель раскрывает перед ребенком средства и спосо­бы познания мира, формирует основу личностной культу­ры, в том числе основу культуры познания. В этих условиях значительно возрастают требования к профессиональной под­готовке воспитателя (преподавателя), осознанию им сути математического развития дошкольников, пониманию тех требований, которые предъявляются к изменениям в лично­сти ребенка под влиянием обучения и воспитания. Обучение только тогда будет эффективно, когда учитываются не только возрастные, но и индивидуальные особенности детей.

В пособии использованы прогрессивные идеи классичес­кой и современной педагогики и психологии по проблемам обучения детей дошкольного возраста математике (таких де­ятелей, как Я.А.Коменский, Ф.Фребель, М.Монтессори, Е.И.Тихеева, А.МЛеушина, Н.И.Непомнящая, А.А.Столяр, Л.А.Венгер, Н.Н.Поддьяков, М.Фидлер, Е.Дум, Р.Грин, ВЛаксон и другие).

Гкгсобие разработано в соответствии с действующей учеб­ной программой педагогических училищ (колледжей) по ме­тодике обучения детей математике, с учетом современных психолого-педагогических исследований. При этом учтены ос-

новные задачи курса: ознакомить учащихся в процессе обуче­ния с некоторыми вопросами теории элементарной матема­тики, особенностями детских представлений о количестве, пространстве и времени, с методами и формами обучения детей математике в разных возрастных группах детского сада, соотнося эти вопросы с требованиями дидактики. Это помо­жет учащимся педагогических училищ (колледжей) ориенти­роваться в методической литературе, современных исследова­ниях педагогов и психологов по отдельным проблемам мате­матического развития детей, а также приобретать практические навыки и умения по обучению основам математики.

Значение и задачи математического развития детей дошкольного возраста

Проблема обучения математике в современной жизни при­обретает все большее значение. Это объясняется прежде всего бурным развитием математической науки и проникновени­ем ее в различные области знаний.

Повышение уровня творческой активности, проблемы ав­томатизации производства, моделирования на электронно-вычислительных машинах и многое другое предполагает на­личие у специалистов большинства современных профессий достаточно развитого умения четко и последовательно анали­зировать изучаемые процессы. Поэтому обучение в детском саду направлено прежде всего на воспитание у детей привыч­ки полноценной логической аргументации окружающего. Опыт обучения свидетельствует о том, что развитию логи­ческого мышления дошкольников в наибольшей мере спо­собствует изучение начальной математики. Для математичес­кого стиля мышления характерны четкость, краткость, рас­члененность, точность и логичность мысли, умение пользоваться символикой. В связи с этим систематически пе­рестраивается содержание обучения математике в школе и

детском саду.

Естественно, что основой познания является сенсорное развитие, приобретаемое посредством опыта и наблюдений. В процессе чувственного познания формируются представ­ления — образы предметов, их свойств, отношений. Так, оперируя разнообразными множествами (предметами, иг­рушками, картинками, геометрическими фигурами), дети учатся устанавливать связи между множеством, называть количество словами: больше, меньше, поровну. Сравнение

конкретных множеств подготавливает детей к усвоению в последующем понятия числа. Именно операции с множе­ствами являются той основой, к которой обращаются дети не только в детском саду, но и на протяжении последую­щих лет обучения в школе. Представление о множестве фор­мирует у детей основы понимания абстрактного числа, за­кономерностей натурального ряда чисел. Хотя понятия на­турального числа, величины, части и целого абстрактны, они все-таки отображают связи и отношения предметов окружающей действительности.

Доказано, что ознакомление детей с разными видами математической деятельности в процессе целенаправленно­го обучения ориентирует их на понимание связей и отно­шений. Формирование начальных математических знаний и умений у детей дошкольного возраста должно осуществ­ляться так, чтобы обучение давало не только непосред­ственный практический результат (навыки счета, выпол­нение элементарных математических операций), но и ши­рокий развивающий эффект. Под математическим развитием дошкольников понимают, как правило, качественные из­менения в формах познавательной активности ребенка, ко­торые происходят в результате формирования элементар­ных математических представлений и связанных с ними логических операций. Анализ научных исследований педа­гогического опыта (А.М.Леушина, Н.И.Непомнящая, А.А.Столяр и др.) убеждает в том, что рационально орга­низованное обучение дошкольников математике обеспечи­вает общее умственное развитие детей. Рационально орга­низованное — это своевременное, соответствующее возрас­ту и интересам детей обучение, при этом важное значение имеет педагогическое руководство со стороны взрослого (воспитателя или родителей). Дети приобретают элементар­ные знания о множестве, числе, величине и форме предме­тов, учатся ориентироваться во времени и пространстве. Они овладевают счетом и измерениями линейных и объемных объектов с помощью условных и общепринятых мер, уста­навливают количественные отношения между величинами, целым и частями.

В развитии элементарных математических представлений важную роль играет обучение измерению как начальному способу познания количественной характеристики окружа­ющего. Это дает возможность дошкольникам пользоваться не общепринятыми, а прежде всего условными мерами при измерении сыпучих, жидких веществ и протяженностей. Од-

новременно у детей развивается глазомер, что весьма важно для их сенсорного развития.

Под влиянием систематического обучения математике дети овладевают специальной терминологией: названиями чисел, геометрических фигур (круг, квадрат, треугольник, ромб и др.), элементов фигур (сторона, вершина, основание) и т.п. Однако не рекомендуется в работе с детьми использовать такие слова-термины, как натуральный ряд, совокупность, структура, элементы множества и др.

Занятие математикой приобретает особое значение в свя­зи с развитием у детей познавательных интересов, умений проявлять волевые усилия в процессе решения математичес­ких задач.

Как правило, учебные задачи на занятиях по математике решаются в сочетании с воспитательными. Так, воспитатель учит детей быть организованными, самостоятельными, вни­мательно слушать, выполнять работу качественно и в срок. Это дисциплинирует детей, способствует формированию у них целенаправленности, организованности, ответственно­сти. Таким образом, обучение детей математике с раннего возраста обеспечивает их всестороннее развитие.

Среди задач по формированию элементарных математи­ческих знаний и последующего математического развития детей следует выделить главные, а именно:

— приобретение знаний о множестве, числе, величине,
форме, пространстве и времени как основы математическо­
го развития;

— формирование широкой начальной ориентации в ко­
личественных, пространственных и временных отношениях
окружающей действительности;

 

—формирование навыков и умений в счете, вычислени­
ях, измерении, моделировании, общеучебных умений;

—овладение математической терминологией;

—развитие познавательных интересов и способностей,
логического мышления, общее интеллектуальное развитие

ребенка.

Эти задачи решаются воспитателем комплексно, на каж­дом занятии по математике, а также в процессе организации разных видов самостоятельной детской деятельности. Мно­гочисленные психолого-педагогические исследования и пе­редовой педагогический опыт работы в дошкольных учреж­дениях показывают, что только правильно организованная детская деятельность и систематическое обучение обеспечи­вают своевременное математическое развитие дошкольника.

Многочисленными исследованиями (А.М.Леушина, Н.А.Менчинская, Г.С.Костюк и др.) доказано, что возраст­ные возможности детей дошкольного возраста позволяют формировать у них научные, хотя и элементарные, началь­ные математические знания. При этом подчеркивается, что в соответствии с возрастом ребенка необходимо подбирать и формы, и способ обучения. В связи с этим на конкретных возрастных этапах создаются наиболее благоприятные усло­вия формирования определенных знаний и умений.

Так, во второй младшей группе детского сада (четвертый год жизни) основное внимание уделяется формированию знаний о множестве. Понятие о множестве является одним из основных и наиболее общих, оно проходит через всю математику. Понятие множества настолько широко, что не определяется даже на современном уровне развития науки, а вводится как изначальное и поясняется на конкретных при­мерах. В средней группе в процессе изучения основных свойств множества формируется понятие о числе, а в старшей — первые представления о натуральном ряде чисел. В дошколь­ном возрасте понимание основных свойств множества огра­ничено. Однако осознание отдельных его свойств (равенство и неравенство, независимость мощности множества от каче­ственных его признаков) возможно уже в младшем дош­кольном возрасте.

Наряду с формированием начальных математических пред­ставлений и понятий «Программа воспитания в детском саду» предусматривает ознакомление детей дошкольного возраста с рядом математических зависимостей и отношений. Так, дети осознают некоторые отношения между множествами (равно-мощность — неравномощность; отношения порядка в ряду величин, натуральных чисел; пространственные и временные отношения и тд.). При этом все математические знания пода­ются во взаимосвязи. Например, формирование представле­ний о количестве связано с формированием знаний о множе­стве и величине предметов, с развитием умений видеть, ус­ловно определять размер, параметры, а также с усвоением отношений между предметами. Необходимо иметь в виду, что, усваивая знания о числе, дети учатся абстрагировать количе­ственные оценки от всех других (цвета, формы, размера).

Формирование начальных математических знаний во вза­имосвязи позволяет постепенно и целенаправленно конкре­тизировать и уточнять каждое из выделенных свойств. Озна­комление детей с мерой и измерениями способствует фор­мированию более точного понимания числа, и прежде всего

шцы. Именно связь счета и измерения помогает ребенку 1нать зависимость результата счета (измерения) от еди-ы счета (условной меры).

1а занятиях по математике в детском саду формируются:тейшие виды практической и умственной деятельности й. Под видами деятельности, в этом случае — способами [едования, счета, измерения понимают объективные пос-жательные действия, которые должен выполнять ребе-для усвоения знаний: поэлементное сравнение двух мно-гв, накладывание меры и др. Овладевая этими действия-ребенок усваивает цель и способы деятельности, а также зила, обеспечивающие формирование знаний. Например, щивая равные и неравные между собою множества, на-давая или прикладывая элементы, ребенок осознает по­де количества. Поэтому особое внимание уделяется раз- лю практических действий детей с предметами. Дентральная задача математического развития детей в дет- л саду — обучение счету. Основными способами при этом яются накладывание и прикладывание, овладение кото-1и предвосхищает обучение счету с помощью слов-чис-гльных.

Одновременно дошкольников учат сравнивать предметы эеличине (размеру) и результаты сравнения обозначать гветствующими словами-понятиями (больше—меньше, уз-—широкий и др.), строить ряды предметов по их размеру орядке увеличения или уменьшения (большой, малень-, еще меньше, самый маленький). Однако для того, чтобы енок усвоил эти понятия, необходимо сформировать у э конкретные представления, научить его сравнивать пред-ы между собой сначала непосредственно, накладывани-а потом опосредованно — с помощью измерения. Программа по математике в детском саду предусматрива-1азвитие глазомера при определении размера предметов. [ этого детей обучают оценивать размер (величину пред­ов) в целом или по отдельным параметрам, сопоставляя 1змером известных предметов. Обращается внимание на»мирование умения проверять правильность оценки в своей ктической деятельности, используя добавления, умень-1ия и др. Каждое практическое действие пополняет зна- ■ детей новым содержанием. Доказано, что формирование ментарных математических знаний происходит одновре-[но с выработкой у них практических умений и навыков Практические действия, выполняя определенную роль в ематическом развитии детей, сами не остаются неизмен

ными. Так, осуществляется изменение деятельности, связан­ной со счетом. Сначала она опирается на практическое по­элементное сравнение двух конкретных множеств, а позднее особое значение приобретают число как показатель мощно­сти множества и натуральный ряд чисел, что впоследствии заменяет одно из конкретных множеств.

Сначала дети берут предметы руками, перекладывают их, а потом считают предметы, не дотрагиваясь до них, или воспринимают только на глаз.

На основе практических действий у детей формируются такие мыслительные операции, как анализ, синтез, сравне­ние, обобщение. Воспитатель должен ориентироваться в оценке результатов своей работы прежде всего на эти показатели, на то, как дети умеют сравнивать, анализировать, обоб­щать, делать выводы. Уровень овладения детьми умственны­ми операциями зависит от использования специальных ме­тодических приемов, которые позволяют детям упражнять­ся в сравнении, обобщении. Так, дети учатся сравнивать множества по количеству, осуществляя при этом структур­ный и количественный анализ множества. Сравнивая пред­меты по форме, дети выделяют размер отдельных элемен­тов, сопоставляя их между собою.

Важной задачей является развитие у них мышления и речи (овладение математической терминологией). Следует зна­чительно больше внимания уделить развитию начальных уме­ний индуктивного и дедуктивного мышления, формирова­нию у детей познавательных интересов и способностей. Сле­дует отметить, что общие методы познания составляют основу любого научного мышления, в том числе и математического. Естественно, последнее имеет свое особое значение.

На практике нередко наблюдается одностороннее пони­мание способностей как узко специальных, что граничат с одаренностью. В связи с этим воспитатели иногда недооце­нивают формирования у всех детей общих познавательных способностей. Любая деятельность невозможна, если человек не имеет к ней способностей. В психологии способности обо­значаются как качества личности, необходимые для успеш­ного выполнения деятельности. Воспитателю необходимо знать, в чем конкретно заключаются эти способности, ка­кие психические свойства избранная деятельность потребует и без каких она вообще невозможна.

Способности следует рассматривать не только в связи с определенным видом детской деятельности, айв связи с ее общей структурой, в которой выделяются прежде всего ори-

ентировочные и исполнительские действия. И когда мы го­ворим об общих способностях к деятельности, то имеем в виду, насколько ребенок в состоянии использовать свои зна­ния, умения, навыки, каков у него уровень познаватель­ной самостоятельности. Все это определяет эффективность исполнительской части общих способностей. Наряду с этим следует формировать у детей умения абстрагировать, выде­лять главное.

Итак, математическое развитие детей предполагает ши­рокую программу приобщения их к деятельности, в данном случае математической, которой руководит взрослый (вос­питатель, родители).

Упражнения для самопроверки

элементов математики логика последователь­ность символикой геометрических, вершина вычитание сравнение

Развитие логического мышления в значительной мере зависит от изуче­ния.... Для математического стиля мыш­ления характерны четкость, расчленен­ность, точность и...,... рассуждений, умение пользоваться....

Под влиянием систематического обу­чения математике дети овладевают специ­альной терминологией: названием чисел,... фигур, элементов фигур (сторона,...), математических действий (сложение,...,...) и др.

Основными задачами математическо­го развития детей являются:

числе форме времени пространственных

вычислениях математической познавательных способностей

1. Накопление дошкольниками знаний
о множестве,..., величине............ простран­
стве и....

2. Формирование начальной ориента­
ции в количественных,... и временных
отношениях.

3. Формирование умений и навыков в
счете,... и др.

4. Овладение детьми... терминологией.

5. Развитие у них... интересов и..., ум­
ственное развитие ребенка в целом.

ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ МЕТОДИКИ

МАТЕМАТИЧЕСКОГО РАЗВИТИЯ ДЕТЕЙ

ДОШКОЛЬНОГО ВОЗРАСТА

§ 1. Возникновение математики и развитие ее как науки

Вопрос о возникновении математики с давних времен интересовал многих ученых и педагогов-практиков. Действи­тельно, интересно знать, как возникли первые математи­ческие понятия, как они развивались, пополнялись и по­степенно формировались в отдельную науку. Особенно это важно для дошкольной педагогики и методики формирова­ния элементарных математических представлений, которые изучают особенности начального ознакомления ребенка с числом и счетом.

Счет и вычисление вошли в наш быт так, что мы не можем себе представить взрослого человека, который не умеет считать и выполнять простейшие вычисления. Точно неизве­стно, когда появились у того или другого народа начальные математические понятия о счете, множестве и числе, но с уверенностью можно сказать, что потребность сравнивать и считать разные величины возникла с самого начала разви­тия человеческого общества.

На основании изучения культуры и языков народов, ана­лиза археологических раскопок, изучения жизни и быта на­родов, особенно с низким уровнем общественного разви­тия, а также наблюдения за усвоением математических зна­ний детьми дошкольного возраста ученые вьщвигают ряд гипотез о том, как сравнивались множества в дочисловой период, как формировались первые представления и поня­тия о числе и натуральном ряде чисел, как в процессе раз­вития человеческого общества складывались системы счис­ления и письменная нумерация. Установлено, что математи­ка возникла из потребностей людей и развивалась в процессе их практической деятельности.

Бурное развитие математики тесно связано с тем, что сначала практика, а потом и теория выдвигали перед ней все новые и новые задачи. Для решения практических или теоретических задач приобретенных знаний было недоста­точно, приходилось искать новые способы, создавать новые методы формирования знаний.

Придерживаясь схемы, предложенной академиком А.М.Колмогоровым, всю историю развития математики мож­но разделить на три основные этапа.

Первый этап — самый продолжительный. Он охватывает тысячелетия — от начала человеческого общества до XVII в. В этот период формировались и разрабатывались понятия дей­ствительного числа, величины, геометрической фигуры. Поз­же были освоены действия с натуральными числами, дробя­ми, разработаны возможности и способы измерения длины, угла, площади, объема. Большим достижением в этот период стало открытие существования иррационального числа типа ^2 (иррациональные числа записываются в виде бесконеч­ной периодической дроби). Характерным для первого перио­да является то, что математика была призвана удовлетворять непосредственные потребности, которые возникали в хозяй­ственной и военной деятельности человека: простой счет го­лов скота, разнообразный раздел урожая, сравнение длин разных отрезков, планирование земельных участков, изме­рение их площадей, вычисление объема, а позже всякие де­нежные расчеты и др. Математика была тесно связана с аст­рономией, физикой, механикой.

Известно, что в Вавилоне и Египте (2 тыс. лет до н.э.) решали математические задачи арифметического, алгебраи­ческого и геометрического содержания. При этом нередко обращались к определенным правилам, таблицам. Но тео­рий, из которых выводились бы эти правила, чаще всего не существовало. Поэтому не удивительно, что среди этих пра­вил были и такие, которые давали в некоторых случаях пра­вильные результаты, а в других — ошибочные. Следует так­же подчеркнуть, что накопление математических знаний в Египте имело эмпирический характер.

Становление математики как науки началось в Древней Греции, где появились значительные достижения в области геометрии. Именно в Греции начиная с XII в. до н.э. разраба­тывается математическая теория. Из науки практической ма­тематика превращается в логическую, дедуктивную.

Знаменательным событием в истории развития математи­ки было пояапение, меньше чем за 300 лет до н.э., класси­ческого произведения Эвклида «Начало», где систематически изложена геометрия приблизительно в том объеме, в котором она теперь изучается в средней школе. Кроме того, в нем есть данные о делении чисел и решении квадратных уравнений. В III в. до н.э. Аполоний написал книгу о свойствах некоторых чудесных кривых — эллипса, гиперболы и параболы.

Однако в эпоху рабо&чадельческого общества развитие на­уки осуществлялось очень медленно. Это объясняется прежде всего отрывом теории от практики, господством убеждений, что настоящая наука не должна интересоваться жизненными потребностям людей, что применять науку на практике — означает унижать ее. В этот период в Древней Греции господ­ствовала идеалистическая философская школа Платона, ко­торая установила в математике ряд запретов и ограничений, негативное значение которых чувствуется иногда и до сих пор (например, пользование только циркулем и линейкой при геометрических построениях). Но уже тогда были ученые, ко­торые правильно рассматривали взаимоотношения теории и практики, опыта и логики, логической дедукции. К ним сле­дует отнести Архимеда, Демокрита, Евклида и других.

Одновременно с греческой и в основном независимо от нее развивалась математическая наука в Индии, где не было характерного для греческой математики отрыва теории от практики, логики от опыта. И хотя индийская математика не достигла уровня развития математики греков, она созда­ла немало ценного, что вошло в мировую науку и сохрани­лось до нашего времени, например десятичная система счис­ления, решение уравнений 1-й и 2-й степени, введение си­нуса и т.д.

Преемниками как греческой, так и индийской матема­тической науки стали народы, которые были объединены в VIII в. арабским халифатом. Среди них необычайно важную роль в истории культуры сыграли народы Средней Азии и Закавказья — узбеки, таджики, азербайджанцы. Научные работы тогда писались на арабском языке, который был меж­дународным языком стран Ближнего и Среднего Востока. Начиная с VIII в. на арабский язык переводятся произведе­ния индийских и греческих математиков, благодаря чему с ними смогли познакомиться европейцы. Период с XII по XV в. характеризуется началом овладения учеными Европы древней математической наукой. Этого требовали торговые операции большого масштаба. На латинский язык качали переводить научные произведения и первые книги по мате­матике, написанные в Азии.

В конце XV ст. введение книгопечатания ускорило разви­тие математики как науки в целом. В XVI в. было сделано несколько выдающихся математических открытий: найдено решение уравнений 3-й и 4-й степени в радикалах, установ­лены методы приближенных вычислений, нахождение кор­ней уравнений любой степени с числовыми коэффициекта-

ми, достигнуты большие успехи в создании алгебраической символики.

На основании археологических данных, изучения лето­писей можно сделать вывод, что общий уровень математи­ческих знаний на Руси в XII—XVI вв. был не ниже, чем в Западной Европе того времени, несмотря на татаро-монголь­ское нашествие, тормозившее развитие культуры.

Второй этап развития математики по продолжительности намного короче, чем первый. Он охватывает XVI — начало XIX в. С XVI в. начинается расцвет математики в Европе. В это время зарождаются новые математические теории, которые принадлежат к области высшей математики. Основу высшей математики составляют аналитическая геометрия, дифферен­циальное и интегральное исчисления. Их возникновение свя­зано с именами великих ученых XVII в. Декарта, Ферма, Ньютона, Лейбница. Появилась возможность с помощью математических методов изучать движение, процессы изме­нения величин и геометрических фигур. Огромное значение имело введение системы координат, измерение величин и понятие функции.

Выдающимся открытием философии этого периода явля­ется признание общности движения и измерения (функции).

Следует отметить, что на первом этапе математика несо­вершенно отображала количественные отношения и простран­ственные формы действительности. Во втором этапе разви­тия математики основным объектом изучения стали зависи­мости между изменяющимися величинами.

Особенно бурно на этом этапе развивалась математика в России. В XVI в. появилось много рукописей математического содержания, посвященных арифметике и геометрии. Имен­но тогда вышла книга по элементарной математике Л.Ф.Маг­ницкого «Арифметика» (1703 г.). По этой книге обучался ма­тематике М.В Ломоносов.

Л.Ф.Магницкий был достаточно образованным челове­ком своего времени. Он закончил Московскую славяно-гре­ко-латинскую академию, где получил разностороннее обра­зование. Зная много европейских языков, Л.Ф.Магницкий ознакомился с методической литературой разных стран, в том числе и по математике. Свои знания он изложил в кни­ге, которая стала первым российским учебником по ариф­метике. По своему характеру учебник не был по-настоящему академическим. Часто мысли излагались в стихотворной фор­ме, текст сопровождался символическими рисунками. Одна­ко это было более менее систематизированное изложение

начальной математики. Кроме того, в учебнике был поме­щен материал по алгебре, геометрии и тригонометрии.

Долгое время единственным высшим учебным заведени­ем Восточной Европы была Киево-Могилянская академия. Она играла важную роль в развитии науки, культурного и литературного процесса на Украине XVII—XVIII вв., вхо­дившей тогда в состав России. В этот период весьма плодо­творными были научные связи Киево-Могилянской акаде­мии с образовательными учреждениями Кракова, Магдебур­га, Константинополя и др. С конца XVIII в. академия постепенно теряет роль культурно-образовательного центра ив 1817 году закрывается. Ее функции приняли Киевская духовная академия (1819) и Киевский университет (1834).

В 1724 году была создана Петербургская академия наук, где с 1727 года работал великий математик Л.Ейлер, опуб­ликовавший большую часть своих трудов (473) в изданиях Академии.

В 1755 году благодаря заботам выдающегося российского ученого М.В.Ломоносова был основан первый российский университет в Москве. Появились многочисленные русские переводы лучших иностранных учебников по математике, а также ряд оригинальных российских учебников по арифме­тике, алгебре, геометрии, тригонометрии и анализу, кото­рые по научному уровню не уступали западноевропейским учебникам того времени.

Третий этап развития математики — с XIX в. до наших дней.

Он характеризуется интенсивным развитием классичес­кой высшей математики. Математика стала наукой о количе­ственных и пространственных формах действительного мира в их взаимосвязи. Она переросла предыдущие рамки, огра­ничивавшие ее изучением чисел, величин, процессов изме­нения геометрических фигур и их превращений, и стала на­укой о более общих количественных отношениях, для кото­рых числа и величины являются лишь отдельными случаями.

Большой вклад в развитие математики внесли российские ученые (М.И.Лобачевский, П.Л.Чебышев, А.М.Колмогоров и др.). Современная математика достигла очень высокого уровня развития. Теперь насчитывается несколько десятков разных областей математики, каждая из которых имеет свое содержа­ние, свои методы исследования и сферы применения.

Во второй половине XX в. возникли математическая эко­номика, математическая биология и лингвистика, матема­тическая логика, теория информации и др,

Современное развитие общества, экономики и культуры предусматривает высокий уровень обработки информации. Решение многих научных и хозяйственных задач невозмож­но без использования вычислительной техники, создания специального оборудования и машин. Сейчас широко ис­пользуются вычислительно-аналитические и электронно-вы­числительные машины, работающие с недоступной для че­ловека быстротой.

В середине XX в. возникла кибернетика — новая матема­тическая наука. Кибернетика — наука о руководстве, связи и переработке информации. Основателем ее считается амери­канский математик Норберт Винер, в 1948 году опублико­вавший книгу под названием «Кибернетика, или Руковод­ство и связь в живом организме и машине». Кибернетика возникла благодаря синтезированию данных целого ряда смежных научных дисциплин: теории информации, теории вероятности, автоматов, а также данных физиологии выс­шей нервной деятельности, современной вычислительной техники и автоматики.

Кибернетика — одна из самых молодых математических наук, ей всего несколько десятков лет, но перспективы ее развития велики. Кибернетические машины руководят поле­том космических кораблей, они находятся на службе у меди­цины и др. Однако все эти машины производит и строит сам человек. Все это продукт человеческого гения, результат его знаний, где ведущее место занимают математические науки.

Итак, математика, возникшая из практических потреб­ностей человека, преобразовалась в комплексную науку, обес­печивающую дальнейшее развитие современного общества.