Статистический критерий - это правило (формула), по которому определяется мера расхождения результатов выборочного наблюдения с высказанной гипотезой Н0. 1 страница

Статистический критерий, как и всякая функция от результатов наблюдения, является случайной величиной и в предположении справедливости нулевой гипотезы Н₀ подчинена некоторому хорошо изученному (и затабулированному) теоретическому закону распределения с плотностью распределения f(k).

Выбор критерия для проверки статистических гипотез может быть осуществлен на основании различных принципов. Чаще всего для этого пользуются принципом отношения правдоподобия, который позволяет построить критерий наиболее мощный среди всех возможных критериев. Суть его сводится к выбору такого критерия К с известной функцией плотности f(k) при условии справедливости гипотезы Н₀, чтобы при заданном уровнем значимости α можно было бы найти критическую точку К_кр. распределения f(k), которая разделила бы область значений критерия на две части: область допустимых значений, в которой результаты выборочного наблюдения выглядят наиболее правдоподобными, и критическую область, в которой результаты выборочного наблюдения выглядят менее правдоподобными в отношении нулевой гипотезы Н₀.

Если такой критерий К выбран, и известна плотность его распределения, то задача проверки статистической гипотезы сводится к тому, чтобы при заданном уровне значимости α рассчитать по выборочным данным наблюдаемое значение критерия К_набл. и определить является ли оно наиболее или менее правдоподобным в отношении нулевой гипотезы Н₀.

Проверка каждого типа статистических гипотез осуществляется с помощью соответствующего критерия, являющегося наиболее мощным в каждом конкретном случае. Например, проверка гипотезы о виде закона распределения случайной величины может быть осуществлена с помощью критерия согласия Пирсона χ²; проверка гипотезы о равенстве неизвестных значений дисперсий двух генеральных совокупностей - с помощью критерия F - Фишера; ряд гипотез о неизвестных значениях параметров генеральных совокупностей проверяется с помощью критерия Z - нормальной распределенной случайной величины и критерия T - Стьюдента и т.д.

Значение критерия, рассчитываемое по специальным правилам на основании выборочных данных, называется наблюдаемым значением критерия (К_набл.).

Значения критерия, разделяющие совокупность значений критерия на область допустимых значений (наиболее правдоподобных в отношении нулевой гипотезы Н₀) и критическую область (область значений, менее правдоподобных в отношении таблицам распределения случайной величины К, выбранной в качестве критерия, называются критическими точками(К_кр.).

Областью допустимых значений (областью принятия нулевой гипотезы Н₀) называют совокупность значений критерия К, при которых нулевая гипотеза Н₀ не отклоняется.

Критической областью называют совокупность значений критерия К, при которых нулевая гипотеза Н₀ отклоняется в пользу конкурирующей Н₁.

Различают одностороннюю (правостороннюю или левостороннюю) и двустороннюю критические области.

Если конкурирующая гипотеза - правосторонняя, например, Н₁: а > а₀, то и критическая область - правосторонняя (рис 1). При правосторонней конкурирующей гипотезе критическая точка (К_{кр. правосторонняя}) принимает положительные значения.

Если конкурирующая гипотеза - левосторонняя, например, Н₁: а < а₀, то и критическая область - левосторонняя (рис 2). При левосторонней конкурирующей гипотезе критическая точка принимает отрицательные значения (К_{кр. левосторонняя}).

Если конкурирующая гипотеза - двусторонняя, например, Н₁: а ¹ а₀, то и критическая область - двусторонняя (рис 3). При двусторонней конкурирующей гипотезе определяются две критические точки (К_{кр. левосторонняя} и К_{кр. правосторонняя}).

Область допустимых Критическая

значений область

0 К_кр.

Рис 8.1. Правосторонняя критическая область.

Критическая Область допустимых

область значений

Ккр. 0

Рис 8.2. Левосторонняя критическая область.

Критическая Область допустимых Критическая

область значений область

-К_кр.0 К_кр.

Рис 8.3. Двусторонняя критическая область.

Основной принцип проверки статистических гипотез состоит в следующем:

- если наблюдаемое значение критерия (К_набл.) принадлежит критической области, то нулевая гипотеза Н₀ отклоняется в пользу конкурирующей Н₁;

- если наблюдаемое значение критерия (К_набл.) принадлежит области допустимых значений, то нулевую гипотезу Н₀ нельзя отклонить.

Можно принять решение относительно нулевой гипотезы Н₀ путем сравнения наблюдаемого (К_набл.) и критического значений критерия (К_кр.).

При правосторонней конкурирующей гипотезе:

Если К_набл.£ К_кр., то нулевую гипотезу Н₀ нельзя отклонить;

если К_набл.> К_кр., то нулевая гипотеза Н₀ отклоняется в пользу конкурирующей Н₁.

При левосторонней конкурирующей гипотезе:

Если К_набл.³ - К_кр., то нулевую гипотезу Н₀ нельзя отклонить;

если К_набл.< - К_кр., то нулевая гипотеза Н₀ отклоняется в пользу конкурирующей Н₁.

При двусторонней конкурирующей гипотезе:

Если - К_кр. £ К_набл.£ К_кр., то нулевую гипотезу Н₀ нельзя отклонить;

если К_набл.> К_кр. или К_набл.< - К_кр., то нулевая гипотеза Н₀ отклоняется в пользу конкурирующей Н₁.

Алгоритм проверки статистических гипотез сводится к следующему:

1. Сформулировать нулевую Н₀ и альтернативную Н₁ гипотезы;

2. Выбрать уровень значимости a;

3. В соответствии с видом выдвигаемой нулевой гипотезы Н₀ выбрать статистический критерий для ее проверки, т.е. - специально подобранную случайную величину К, точное или приближенное распределение которой заранее известно;

4. По таблицам распределения случайной величины К, выбранной в качестве статистического критерия, найти его критическое значение К_кр. (критическую точку или точки);

5. На основании выборочных данных по специальному алгоритму вычислитьнаблюдаемое значение критерия К_набл.;

6. По виду конкурирующей гипотезы Н₁ определить тип критической области;

7. Определить, в какую область (допустимых значений или критическую) попадает наблюдаемое значение критерия К_набл., и в зависимости от этого - принять решение относительно нулевой гипотезы Н₀.

Следует заметить, что даже в том случае, если нулевую гипотезу Н₀ нельзя отклонить, это не означает, что высказанное предположение о генеральной совокупности является единственно подходящим: просто ему не противоречат имеющиеся выборочные данные, однако таким же свойством наряду с высказанной могут обладать и другие гипотезы.

Можно интерпретировать результаты проверки нулевой гипотезы следующим образом:

- если в результате проверки нулевую гипотезу Н₀ нельзя отклонить, то это означает, что имеющиеся выборочные данные не позволяют с достаточной уверенностью отклонить нулевую гипотезу Н₀, вероятность нулевой гипотезы Н₀ больше α, а конкурирующей Н₁ - меньше 1 - α;

- если в результате проверки нулевая гипотеза Н₀ отклоняется в пользу конкурирующей Н₁, то это означает, что имеющиеся выборочные данные не позволяют с достаточной уверенностью принять нулевую гипотезу Н₀, вероятность нулевой гипотезы Н₀ меньше α, а конкурирующей Н₁ - больше 1 - α.

Пример 8.1 В семи случаях из десяти фирма-конкурент компании "А" действовала на рынке так, как будто ей заранее были известны решения, принимаемые фирмой "А". На уровне значимости 0,05 определите, случайно ли это, или в фирме "А" работает осведомитель фирмы-конкурента?

Решение. Для того чтобы ответить на вопрос данной задачи, необходимо проверить статистическую гипотезу о том, совпадает ли данное эмпирическое распределение числа действий фирмы-конкурента с равномерным теоретическим распределением?

Если ходы, предпринимаемые конкурентом, выбираются случайно, т.е. в фирме "А" - нет осведомителя (инсайдера), то число "правильных" и "неправильных" ее действий должно распределиться поровну, т.е. по 5 (10/2). А это и есть отличительная особенность равномерного распределения.

Этот вид статистических гипотез относится к гипотезам о виде закона распределения генеральной совокупности.

Сформулируем нулевую и конкурирующую гипотезы согласно условию задачи.

Н₀: Х~R(a; b) - случайная величина Х подчиняется равномерному распределению с параметрами (a; b) (в контексте задачи - "в фирме "А" - нет осведомителя (инсайдера)"; "распределение числа удачных ходов фирмы-конкурента - случайно").

Н₁: Случайная величина Х не подчиняется равномерному распределению (в контексте задачи - "в фирме "А" - есть осведомитель (инсайдер)"; "распределение числа удачных ходов фирмы-конкурента - не случайно").

В качестве критерия для проверки статистических гипотез о неизвестном законе распределения генеральной совокупности используется случайная величина c². Этот критерий называют критерием Пирсона.

Его наблюдаемое значение () рассчитывается по формуле:

, (8.1)

где m_(эмп.)_i - эмпирическая частота i-той группы выборки;

m_(теор.)_i - теоретическая частота i-той группы выборки.

Составим таблицу распределения эмпирических и теоретических частот:

m₍_эмп_.)i
m₍_теор_.)i

Найдем наблюдаемое значение :

Критическое значение () следует определять по таблице распределения c² (см. приложение 4) по уровню значимости a и числу степеней свободы k.

По условию a = 0,05, а число степеней свободы рассчитывается по формуле:

k = n - l -1,

где k - число степеней свободы;

n - число групп выборки;

l - число неизвестных параметров предполагаемой модели, оцениваемых по данным выборки (если все параметры предполагаемого закона известны точно, то l = 0).

По условию задачи число групп выборки (n) равно 2, т.к. могут быть только два варианта действий фирмы-конкурента: "удачные" и "неудачные", а число неизвестных параметров равномерного распределения (l) равно 0.

Отсюда, k = 2 - 0 - 1 = 1.

Найдем по уровню значимости a = 0,05 и числу степеней свободы k=1.

, следовательно, на данном уровне значимости нулевую гипотезу нельзя отклонить, расхождения эмпирических и теоретических частот - незначимые. Данные наблюдений согласуются с гипотезой о равномерном распределении генеральной совокупности.

Это означает, что для утверждения о том, что действия фирмы-конкурента на рынке неслучайны; на уровне значимости a = 0,05 можно утверждать, что в фирме "А" нет платного осведомителя фирмы-конкурента.

Ответ. на уровне значимости a = 0,05 можно утверждать, что в фирме "А" нет платного осведомителя фирмы-конкурента.

Пример 8.2 На уровне значимости a = 0,025 проверить гипотезу о нормальном распределении генеральной совокупности, если известны эмпирические и теоретические частоты:

m₍_эмп_.)i
m₍_теор_.)i

Решение. Сформулируем нулевую и конкурирующую гипотезы согласно условию задачи.

Н₀: Х~N(a; s²) - случайная величина Х подчиняется нормальному закону распределения с параметрами а и s².

Н₁: Случайная величина Х не подчиняется нормальному закону распределения с параметрами а и s².

В качестве критерия для проверки нулевой гипотезы используем критерий Пирсона c².

Найдем наблюдаемое значение ():

Найдем критическое значение критерия () по таблице распределения c² (приложение 4) по уровню значимости a и числу степеней свободы k.

По условию a = 0,025; число степеней свободы найдем по формуле:

k = n - l -1,

где k - число степеней свободы;

n - число групп выборки;

l - число неизвестных параметров предполагаемой модели, оцениваемых по данным выборки.

По условию задачи число групп выборки (n) равно 6, а число неизвестных параметров нормального распределения (l) равно 2.

Отсюда, k = 6 - 2 - 1 = 3.

Найдем по уровню значимости a = 0,025 и числу степеней свободы k=3.

, следовательно, на данном уровне значимости нулевая гипотеза отвергается в пользу конкурирующей, расхождения эмпирических и теоретических частот - значимые. Данные наблюдений не согласуются с гипотезой о нормальном распределении генеральной совокупности.

Ответ. На уровне значимости a = 0,025 данные наблюдений не согласуются с гипотезой о нормальном распределении генеральной совокупности.

Пример 8.3 Техническая норма предусматривает в среднем 40 сек. на выполнение определенной технологической операции на конвейере по производству часов. От работниц, работающих на этой операции, поступили жалобы, что они в действительности затрачивают на эту операцию больше времени. Для проверки данной жалобы произведены хронометрические измерения времени выполнения этой технологической операции у 16 работниц, занятых на этой операции, и получено среднее время выполнения операции = 42 сек. Можно ли по имеющимся хронометрическим данным на уровне значимости a = 0,01 отклонить гипотезу о том, что среднее время выполнения этой операции соответствует норме, если:

а) исправленное выборочное среднее квадратическое отклонение s составило 3,5 сек.;

б) выборочное среднее квадратическое отклонение составило 3,5 сек.?

Решение. а) Для решения данной задачи необходимо проверить гипотезу о том, что неизвестная генеральная средняя нормальной совокупности точно равна определенному числу, когда дисперсия генеральной совокупности неизвестна ( выборка мала, т.к. n = 16, меньше 30).

Сформулируем нулевую и конкурирующую гипотезы согласно условию задачи.

Н₀: a = а₀ = 40 - неизвестное математическое ожидание а (нормально распределенной генеральной совокупности с неизвестной дисперсией) равно гипотетическому предполагаемому числовому значению а₀ (применительно к условию данной задачи - время выполнения технологической операции соответствует норме).

Н₁: a > 40 - неизвестное математическое ожидание а (нормально распределенной генеральной совокупности с неизвестной дисперсией) больше числовому значению а₀ (применительно к условию данной задачи - время выполнения технологической операции больше установленной нормы).

Так как конкурирующая гипотеза - правосторонняя, то и критическая область - правосторонняя.

В качестве критерия для сравнения неизвестного математического ожидание а (нормально распределенной генеральной совокупности с неизвестной дисперсией) с гипотетическим числовым значением а₀, используется случайная величина t - критерий Стьюдента:

Его наблюдаемое значение (t_набл.) рассчитывается по формуле:

. (8.2)

где - выборочная средняя;

а₀ - числовое значение генеральной средней;

s - исправленное среднее квадратическое отклонение;

n - объем выборки.

Найдем наблюдаемое значение t_набл.:

Критическое значение (t_кр.) следует находить по таблице распределения Стьюдента (приложение 5) по уровню значимости a и числу степеней свободы k.

По условию a = 0,01; число степеней свободы найдем по формуле:

k = n - 1,

где k - число степеней свободы;

n - объем выборки.

k = 16 - 1 = 15.

Найдем t_кр. по уровню значимости a = 0,01 (для односторонней критической области) и числу степеней свободы k = 15:

Заметим, что при левосторонней конкурирующей гипотезе Н₁: a < 40 t_кр. следует находить по таблицам распределения Стьюдента (приложение 5) по уровню значимости a (для односторонней критической области) и числу степеней свободы k = n - 1 и присваивать ему "минус";

При двусторонней конкурирующей гипотезе Н₁: a ¹ 40 t_кр. следует находить по таблицам распределения Стьюдента (приложение 5) по уровню значимости a (для двусторонней критической области) и числу степеней свободы k = n - 1).

t_набл. < t_кр, следовательно, на данном уровне значимости нет оснований отклонить нулевую гипотезу.

Ответ. По имеющимся хронометрическим данным на уровне значимости a = 0,01 нельзя отклонить гипотезу о том, что среднее время выполнения этой операции соответствует норме. Следовательно, жалобы работниц - необоснованны.

Область допустимых Критическая

значений область

0 t_набл.= 2,21 t_кр.= 2,6

Рис 8.4.

Наблюдаемое значение критерия попадает в область допустимых значений, следовательно, нет оснований отклонить нулевую гипотезу.

б) Для решения данной задачи необходимо проверить гипотезу о том, что неизвестная генеральная средняя нормальной совокупности точно равна определенному числу, когда дисперсия генеральной совокупности неизвестна.

Алгоритм решения задачи будет тот же, что и в первом случае. Однако наблюдаемое значение t_набл. будет рассчитывается по формуле:

. (8.3)

где - выборочная средняя;

а₀ - числовое значение генеральной средней;

- выборочное среднее квадратическое отклонение;

n - объем выборки.

Найдем наблюдаемое значение (t_набл.):

t_набл. < t_кр, следовательно, на данном уровне значимости нет оснований отвергнуть нулевую гипотезу, жалобы работниц - необоснованны.

Ответ. По имеющимся хронометрическим данным на уровне значимости a = 0,01 нельзя отклонить гипотезу о том, что среднее время выполнения этой операции соответствует норме, жалобы работниц - необоснованны.

Пример 8.4 Изменим условие предидущей задачи. Техническая норма предусматривает в среднем 40 сек. на выполнение определенной технологической операции на конвейере по производству часов. От работниц, работающих на этой операции, поступили жалобы, что они в действительности затрачивают на эту операцию больше времени. Для проверки данной жалобы произведены хронометрические измерения времени выполнения этой технологической операции у 36 работниц, занятых на этой операции, и получено среднее время выполнения операции = 42 сек. Можно ли (предполагая время выполнения технологической операции случайной величиной, подчиняющейся нормальному закону) по имеющимся хронометрическим данным на уровне значимости a = 0,01 отклонить гипотезу о том, что среднее время выполнения этой операции соответствует норме, если известно, что среднее квадратическое отклонение генеральной совокупности s составляет 3,5 сек.?

Решение. Для решения данной задачи необходимо проверить гипотезу о том, что неизвестная генеральная средняя нормальной совокупности точно равна числовому значению, когда дисперсия генеральной совокупности известна (большая выборка, т.к. n = 36, больше 30).

Сформулируем нулевую и конкурирующую гипотезы согласно условию задачи.

Н₀: a = а₀ = 40 - неизвестная генеральная средняя нормально распределенной совокупности с известной дисперсией равна числовому значению (применительно к условию данной задачи - время выполнения технологической операции соответствует норме).

Н₁: a > 40 - неизвестная генеральная средняя нормально распределенной совокупности с известной дисперсией больше числового значения (применительно к условию данной задачи - время выполнения технологической операции больше установленной нормы).

Так как конкурирующая гипотеза - правосторонняя, то и критическая область - правосторонняя.

В качестве критерия для сравнения выборочной средней с гипотетической генеральной средней нормальной совокупности, когда дисперсия генеральной совокупности известна, используется случайная величина U:

Его наблюдаемое значение (u_набл.) рассчитывается по формуле:

. (8.4)

где - выборочная средняя;

а₀ - числовое значение генеральной средней;

- выборочное среднее квадратическое отклонение;

n - объем выборки.

Найдем наблюдаемое значение (u_набл.):

Так как конкурирующая гипотеза - правосторонняя, критическое значение u_кр.следует находить по таблице функции Лапласа (приложение 2) из равенства:

Ф₀(u_кр) = (1 - 2a) / 2.

По условию a = 0,01.

Отсюда:

Ф₀(u_кр) = (1 - 2·0,01) / 2 = 0,49.

По таблице функции Лапласа (приложение 2) найдем при каком u_кр.Ф₀(u_кр) = 0,49.

F₀(2,33) = 0,49.

Следовательно: u_кр.= 2,33.

Заметим, что при левосторонней конкурирующей гипотезе Н₁: a < 40 u_кр. следует находить по таблице функции Лапласа (приложение 2) из равенства Ф₀(u_кр) = (1 - 2a) / 2 и присваивать ему "минус".

При двусторонней конкурирующей гипотезе Н₁: a ¹ 40 u_кр. следует находить по таблице функции Лапласа (приложение 2) из равенства Ф₀(u_кр) = (1 - a) / 2).

u_набл. > u_кр, следовательно, на данном уровне значимости нулевая гипотеза отвергается в пользу конкурирующей. По имеющимся хронометрическим данным с более чем 99%-ной надежностью можно утверждать, что среднее время выполнения этой операции превышает норму. Следовательно, жалобы работниц - обоснованны.

Область допустимых Критическая

значений область

0 u_кр.= 2,33 u_набл.= 3,43

Рис. 8.5.

Наблюдаемое значение критерия попадает в критическую область, следовательно, нулевая гипотеза отвергается в пользу конкурирующей.

Ответ. По имеющимся хронометрическим данным на уровне значимости a = 0,01 можно утверждать, что среднее время выполнения этой операции превышает норму, жалобы работниц - обоснованны.

Пример 8.5 Экономический анализ производительности труда предприятий отрасли позволил выдвинуть гипотезу о наличии двух типов предприятий с различной средней величиной показателя производительности труда. Выборочное обследование 42-х предприятий первой группы дало следующие результаты: средняя производительность труда составила 119 деталей. По данным выборочного обследования 35-и предприятий второй группы средняя производительность труда составила 107 деталей. Генеральные дисперсии известны: D(X) = 126,91 (дет.²); D(Y) = 136,1 (дет.²). Считая, что выборки извлечены из нормально распределенных генеральных совокупностей Х и Y, на уровне значимости 0,05 проверьте, случайно ли полученное различие средних показателей производительности труда в группах или же имеются два типа предприятий с различной средней величиной производительности труда.