Снижение размерности путем выделения «ведущих» показателей

 

Рассмотрим сокращение размерности задачи прогнозирования путем разделения всей совокупности показателей G на две группы: «ведущую» – G₁ (прогнозируемую самостоятельно) и «ведомую» – G₂ (прогнозируемую на основе моделей связи с «ведущими» показателями [10], [13]. Естественным условием возможности отнесения показателя к группе «ведомых» является достаточная теснота его статистической связи с группой G₁, что должно обеспечить приемлемую точность его прогноза. Так, если показатель P_i тесно связан с показателем P_j (), то к группе «ведущих» достаточно отнести один из них.

Очевидно также, что если показатель P_i не имеет значимой статистической связи ни с одним из остальных показателей, его следует отнести к группе «ведущих».

В общем случае вопрос разделения показателей на группы G₁ и G₂ достаточно сложен. При решении этой проблемы зададимся целью обеспечить минимум количества показателей в группе G₁ при заданной тесноте корреляционной связи «ведомых» показателей с «ведущими». Последнее условие относится к каждому из «ведомых» показателей и выступает в виде следующего ограничения:

, (4.15)

где – коэффициент множественной корреляции «ведомого» показателя P_i с группой G₁;

R₀ – минимально допустимый коэффициент множественной корреляции.

Изложенная задача является задачей оптимизации по составу группы «ведущих» показателей при наличии ограничений и в описанной выше постановке может приводить к нескольким решениям, которые не являются равнозначными в смысле величины .

Поэтому среди множества решений следует выбирать решение, обеспечивающее максимальное значение

. (4.16)

 

 

Иначе говоря, необходимо найти вариант разделения х, обеспечивающий

, (4.17)

где Х – множество решений (вариантов разбиения) следующей оптимизационной задачи:

 

Найти при условии , (4.18)

где q(x) – количество «ведущих» показателей при варианте разбиения х.

Описанная задача является комбинаторной задачей дискретного программирования со сложной системой ограничений, не сводящейся к задаче целочисленного линейного программирования. Однако ее спецификой, которой мы воспользуемся, является неубывание коэффициента множественной корреляции «ведомого» показателя с группой «ведущих» при добавлении в группу «ведущих» еще одного показателя, что непосредственно следует из определения коэффициента множественной корреляции как коэффициента корреляции с максимально коррелированной линейной функцией переменных.

Это означает, что если имеется решение с q «ведущими» показателями, то найдется допустимое решение и с q +1 «ведущими» показателями, однако все варианты, содержащие q +1 и более «ведущих» показателей хуже с точки зрения критерия оптимизации и могут быть отброшены. Кроме того, если не существует допустимого решения с q «ведущими» показателями, то не существует и допустимого решения с количеством «ведущих» показателей, меньшим q. Эти подмножества вариантов также следует отбросить.

На основании изложенных выше соображений разработан алгоритм решения задачи – А ₁, существо которого заключается в следующем.

На первом этапе находим минимальное количество «ведущих» показателей – q. Поиск осуществляется путем последовательного половинного деления отрезка возможных значений (q _н, q _в)

,

где q _н – нижняя граница возможного значения q;

q _в – верхняя граница возможного значения q.

Очевидно, что первоначально q _н =0, q _в =n. При найденном значении q _T производится перебор различных вариантов разделения показателей на «ведущие» и «ведомые» до получения первой комбинации, удовлетворяющей ограничению (4.15). В этом случае значение q _T становится верхней границей. Если при данном q _T не нашлось ни одного варианта разделения, удовлетворяющего условию (4.15), то значение q _T становится нижней границей. Процесс половинного деления отрезка (q _н; q _в) продолжается до тех пор, пока величина q _н - q _в не станет равной 1. Это означает, что текущее значение q _в является минимально возможным.

На втором этапе для найденного значения q путем полного перебора C_n^q вариантов с q «ведущими» показателями находим вариант разделения, обеспечивающий

.

Алгоритм А ₁ приводит к оптимальному решению задачи разделения показателей на «ведущие» и «ведомые» в смысле сформулированного выше критерия, однако его недостатком являются значительные затраты машинного времени, связанные с необходимостью перебора значительного количества вариантов при большом n.

В качестве показателя эффективности сокращения размерности задачи прогнозирования, как и в ФА, будем понимать отношение количества сокращенных показателей к их первоначальному числу

.

Очевидно, что величина Е зависит от задаваемого значения R₀. Уменьшение R₀ приводит к сокращению большего числа показателей, однако увеличивает погрешность прогноза «ведомых» показателей, и наоборот. Можно рекомендовать использовать на практике величину R₀, равную 0,8, что соответствует понятию достаточно тесной корреляционной связи.