Новые» компетенции и старые традиции

Любая реформа застает реформируемый объект в определенном состоянии, которое может быть самым разнообразным. Оно может быть вполне удовлетворительным, и тогда целью реформы является достижение новых выдающихся результатов. Оно может быть катастрофическим, и тогда целью реформы является уклонение от катастрофы и перевод объекта в удовлетворительное состояние, предусматривающее его дальнейшее совершенствование. Состояние объекта может быть весьма устойчивым, так что попытки реформирования встречают стойкое, объективно обусловленное противодействие. Оно может быть менее устойчивым, так что усилия реформаторов приводят к изменению этого состояния, позитивному или негативному в зависимости от степени продуманности и подготовленности реформ.

Постараемся понять, насколько благотворным является переход к ныне действующему стандарту образования. С этой целью проделаем следующее: 1) сравним содержание компетенций, перечисленных в новом Государственном стандарте образования, с многолетними традициями преподавания математики; 2) выявим то новое, что дает для преподавания математики реализация компетентностного подхода; 3) установим, не произойдет ли в процессе реформирования утрата тех или иных достижений традиционного преподавания математики.

Воспроизведем содержание компетенций, которыми, согласно стандарту, должен обладать бакалавр педагогического образования, и сравним его с теми знаниями, умениями и навыками, которые формируются при хорошем традиционном преподавании математики. Ниже содержание компетенций набрано курсивом и снабжено соответствующим кодом, а описание традиций набрано обычным шрифтом. Начнем с анализа о бщекультурных компетенций.

ОК-1: Выпускник владеет культурой мышления, способен к обобщению, анализу, восприятию информации, постановке целей и выбору путей ее достижения.

Традиционно с тудент систематически тренируется в восприятии информации из следующих источников: лекций, учебников, задачников, монографической и периодической литературы по математике и методике ее преподавания, компьютерной поддержки учебных курсов, Интернета, учебных фильмов, показательных уроков учителей. В процессе решения задач студент производит анализ ее условий и конструирует доказательные аналитические рассуждения, ведущие к ее решению. При этом он использует аналитические рассуждения двух видов – восходящий и нисходящий анализ. Кроме того, студенту приходится составлять и корректировать план решения задачи, то есть выбирать путь ее решения путем постановки промежуточных целей. Студент знакомится с многочисленными примерами обобщений при изучении теоретической части курсов и самостоятельно производит обобщения в процессе решения задач, написания курсовых и дипломных работ. Таким образом, традиционное преподавание полностью обеспечивает овладение студентом компетенцией ОК-1.

Заметим, что традиционное преподавание математики обучает студентов единой, целостной аналитико-синтетической деятельности, а не просто анализу. Такой подход соответствует психологической трактовке механизма мышления [2, с. 65] и дает больше, чем простая реализация компетенции ОК-1.

ОК-2: Выпускник способен анализировать мировоззренческие, социально и личностно значимые философские проблемы.

Традиционное преподавание математики построено так, что студент регулярно сталкивается с математическими явлениями, требующими осмысления в философских категориях. Таков, например, математический анализ, с которым «в математику пришли движение и диалектика» (Энгельс). Такова геометрия. С одной стороны, свои первые шаги она делала как практическая деятельность по измерению земельных участков и объемов тел. С другой стороны, открытие неевклидовых геометрий стало радикальным революционным этапом развития математики, осмысление которого предусмотрено соответствующим учебным курсом. Теория вероятностей является еще одним ярким примером, поскольку предусматривает переход от детерминистического, функционального мышления к мышлению стохастическому, основанному на анализе вероятностей случайных событий. Влияние математических открытий на социальную жизнь общества раскрывается в курсе истории математики. Вновь мы видим, что традиционное преподавание математики обеспечивает овладение студентом компетенцией ОК-2. Забегая вперед, скажем, что такой вывод будет повторяться в отношении всех других обсуждаемых компетенций. В дальнейшем мы будем опускать его.

ОК-3: Выпускник способен понимать значение культуры как формы человеческого существования и руководствоваться в своей деятельности современными принципами толерантности, диалога и сотрудничества.

Традиционно студенту прививается восприятие математики и методики ее преподавания как элементов общечеловеческой, интернациональной культуры. Сотрудничество студентов друг с другом, а также с преподавателем, происходит в процессе реализации групповых форм работы по изучению информации и решению задач. При этом диалог и полилог являются неотъемлемым элементом групповой работы [9, с. 102]. Толерантность участников педагогического процесса формируется путем разрешения многочисленных ситуаций, в которых студент вынужден позитивно воспринимать конструктивную критику своих ошибок и производить корректную критику ошибок товарищей. Отметим, что использование групповых форм работы в определенном смысле является обязательным, поскольку является отражением имманентного свойства науки – ее личностно-социального дуализма [11, 12].

ОК-4: Выпускник способен использовать знания о современной естественнонаучной картине мира в образовательной и профессиональной деятельности, применять методы математической обработки информации, теоретического и экспериментального исследования.

Традиционно статистические методы обработки информации изучаются в курсе стохастики. В процессе написания курсовых и дипломных работ студент применяет эти методы для анализа результатов своих экспериментальных исследований. Кроме того, есть еще одна форма обработки информации, не предусмотренная компетенцией ОК-4: моделирование естественно-научных процессов в виде функций с их последующим исследованием. Вообще отметим, что идея моделирования не нашла своего отражения в системе компетенций, хотя она настолько естественна и распространена, что стала теоретической основой написания многих школьных учебников математики.

ОК-5: Выпускник готов использовать методы физического воспитания с самовоспитания для повышения адаптационных резервов организма и укрепления здоровья.

Это одна из немногих компетенций стандарта, которая формируется вне процесса изучения математических дисциплин.

ОК-6: Выпускник способен логически верно использовать устную и письменную речь.

Традиционно у стная речь студентов формируется в процессе многочисленных упражнений следующих типов: изложение решения задачи, ответ на теоретический вопрос, сообщение о результатах работы микрогруппы студентов, ответ на экзамене, защита проекта, реферата, курсовой работы, дипломной работы, проведение мероприятий педпрактики. Как правило, устным сообщениям предшествует написание грамотного, логически точного текста.

ОК-7: Выпускник способен к взаимодействию с коллегами, к работе в коллективе.

Традиционно готовность студента к работе в коллективе формируется в процессе реализации многочисленных форм групповой работы (см. ОК-3).

ОК-8: Выпускник готов использовать основные методы, способы и средства получения, хранения, переработки информации, готов работать с компьютером как средством управления информацией.

Традиционные источники получения информации, в частности, компьютер, перечислены при описании ОК-1. Переработка информации происходит в процессе ее систематизации, которая осуществляется в разных формах: накопление эвристических приемов решения задач, накопление стандартных методов решения задач, составление банков ключевых задач по разным темам, составление конспектов уроков и т.д. Применение информации происходит в процессе решения задач, прохождения педагогической практики и т.д.

Если говорить о философии науки, то человечество производит четыре операции с информацией – получение, хранение, переработку и применение, – а не только первые три, как предусмотрено компетенцией ОК-8. Вновь мы видим, что традиционное преподавание дает студенту больше, чем простая реализация обсуждаемой компетенции.

ОК-9: Выпускник способен работать с информацией в глобальных компьютерных сетях.

Традиционно такая способность используется и совершенствуется при работе с электронными библиотеками, банками рефератов, методическим сопровождением ЕГЭ и Интернет-экзаменов, при поиске компьютерной поддержки учебных курсов и т.д.

Три следующие компетенции не связаны с содержанием математических дисциплин, поэтому изложим их кратко.

ОК-10: Выпускник владеет одним из иностранных языков. ОК-11: Выпускник готов использовать методы защиты от катастроф. ОК-12: Выпускник понимает значение информации в развитии общества, осознает возникающие при этом опасности, соблюдает требования информационной безопасности.

ОК-13: Выпускник готов использовать нормативные правовые документы в своей деятельности.

Традиционно в процессе подготовки к педагогической практике студентов знакомят с номенклатурой и основным содержанием нормативных документов, регулирующих работу школы.

ОК-14: Выпускник готов к толерантному восприятию социальных и культурных различий, уважительному и бережному отношению к историческому наследию и культурным традициям.

Традиционно студент с первых шагов обучения в вузе сталкивается с двумя феноменами истории математики: нелинейным характером развития математики в конкретной стране и необходимостью общих усилий всех стран для создания научного знания. Например, студент-первокурсник узнает, что основателями математического анализа были Ньютон (Англия) и Лейбниц (Германия). В то же время он видит, что авторами основных теорем дифференциального исчисления были Ферма, Роль, Лагранж, Коши (Франция). В этом списке нет и испанских, ни скандинавских, ни русских фамилий, и этот факт какое-то время давал «основания» для разного рода националистических спекуляций. Однако открытие множественности геометрий было сделано русским ученым Лобачевским, неразрешимость уравнений в радикалах была доказана норвежским ученым Абелем, и таких примеров много. Курс истории математики систематизирует эти стихийно возникшие знания студента и приучает его к восприятию математики в культурно-историческом контексте.

ОК-15: Выпускник способен понимать движущие силы и закономерности исторического процесса, место человека в историческом процессе, политической организации общества.

Традиционно в процессе преподавания математических и методических дисциплин выявляются важные закономерности исторического процесса: а) человечество не может существовать без передачи информации от поколения к поколению, то есть без системы образования; б) в условиях экспоненциального роста объема информации система образования не может существовать без усовершенствования методов передачи информации от поколения к поколению, то есть без методики преподавания изучаемых дисциплин. Выявленные закономерности и определяют роль педагогов в историческом процессе.

ОК-16: Выпускник способен использовать навыки публичной речи, ведения дискуссии и полемики.

Традиционно навыки публичной речи формируются в процессе проведения мероприятий, описанных в разделах ОК-3 и ОК-6.

Итак, мы видим, что двенадцать из шестнадцати общекультурных компетенций успешно формируются в процессе традиционного преподавания математики. Исключение составляют компетенции, заведомо лежащие вне математики: иностранные языки, физическая культура, защита безопасности.

Обратимся теперь к профессиональным компетенциям и продолжим наш анализ. Начнем с общепрофессиональных компетенций.

ОПК-1: Выпускник осознает социальную значимость своей будущей профессии, обладает мотивацией к осуществлению профессиональной деятельности.

Традиционно представления о социальной значимости педагогической деятельности начинают формироваться в процессе изучения математических дисциплин (см. ОК-15). Этот процесс становится весьма интенсивным, если преподаватели фундаментальных дисциплин руководствуются в своей работе концепцией профессионально-педагогической направленности преподавания математики [7], или концепцией фундирования опыта личности [1], или какой-либо другой педагогической концепцией того же типа. Изучение методических дисциплин еще больше усиливает мотивацию к осуществлению профессиональной деятельности.

ОПК-2: Выпускник способен использовать систематизированные теоретические и практические знания гуманитарных, социальных и экономических наук при решении социальных и профессиональных задач.

Традиционно в процессе изучения математических и методических дисциплин происходит постоянное использование знаний из области педагогики, психологии, возрастной физиологии, что создает основу для использования этих знаний студентами в процессе решения профессиональных задач.

ОПК-3: Выпускник владеет основами речевой профессиональной культуры.

Традиционно освоение речевой культуры, описанное в ОК-3 и ОК-6, происходит на языковом материале математики и методики ее преподавания, что формирует речевую профессиональную культуру.

ОПК-4: Выпускник способен нести ответственность за результаты своей профессиональной деятельности.

Традиционно способность нести ответственность за результаты своей деятельности формируется посредством системы аттестационных мероприятий факультета, в частности, бально-рейтинговой системы.

ОПК-5: Выпускник владеет одним из иностранных языков на уровне профессионального общения.

Это одна из немногих компетенций, формирование которой не может быть возложено на преподавателей математики. В то же время, такое положение можно рассматривать как дань традиции, и не более того. Действительно, на физико-математическом факультете ЯГПУ осуществляется подготовка по иностранному языку в качестве второй специальности. Кроме того, есть группа преподавателей математики, работавших за границей и хорошо владеющих иностранным языком на уровне профессионального общения.

ОПК-6: Выпускник способен к подготовке и редактированию текстов профессионального и социально значимого содержания.

Традиционно с пособность к подготовке текстов профессионального содержания формируется путем письменного изложения решения задачи, письменного ответ на теоретический вопрос, письменного сообщения о результатах работы микрогруппы студентов, написания реферата, конспекта урока, курсовой работы, дипломной работы, текста выступления.

Итак, традиционное преподавание математики формирует практически все общепрофессиональные компетенции. Исключение составляет одна из них, связанная с иностранным языком.

Обратимся теперь к профессиональным компетенциям в области педагогической деятельности.

ПК-1: Выпускник способен реализовывать учебные программы базовых и элективных курсов в различных образовательных учреждениях.

ПК-2: Выпускник готов применять современные методики и технологии, в том числе и информационные, для обеспечения качества учебно-воспитательного процесса на конкретной образовательной ступени конкретного образовательного учреждения.

Цели традиционного преподавания математики и особенно методики математики полностью идентичны тем целям, которые описаны в компетенциях ПК-1 и ПК-2.

ПК-3: Выпускник способен применять современные средства диагностирования достижений обучающихся и воспитанников, осуществлять педагогическое сопровождение процессов социализации и профессионального самоопределения обучающихся, подготовки их к сознательному выбору профессии.

Традиционно формированию этой компетенции способствует курс «Современные средства оценивания знаний школьников в курсе математики». Другие учебные дисциплины математических и методических кафедр предусматривают выявление одаренных детей и освоение методов работы с ними, в частности, внеклассную работу по математике.

ПК-4: Выпускник способен использовать возможности образовательной среды, в том числе информационной, для обеспечения качества учебно-воспитательного процесса.

Традиционно в процессе освоения учебных дисциплин студенты видят многочисленные примеры того, как преподаватели вуза используют возможности образовательной среды: библиотеки, периодическую литературу, Интернет и проч. Выполнение домашних заданий требует от студентов систематического использования той же образовательной среды. При этом абсолютное большинство вузовских методов использования образовательной среды может быть перенесено в школу.

ПК-5: Выпускник готов включаться во взаимодействие с родителями, коллегами, социальными партнерами, заинтересованными в обеспечении качества учебно-воспитательной работы.

Традиционно студент приобретает первый опыт социального партнерства при использовании групповых форм работы, описанных в разделах ОК-3, 6, 7. Добавим к этому, что развитие этого опыта, в частности, взаимодействие с родителями, происходит в процессе педагогической практики.

ПК-6: Выпускник способен организовывать сотрудничество обучающихся и воспитанников.

Традиционное изучение базовых курсов по кафедре теории и методики обучения математике предусматривает освоение педагогики сотрудничества [6]. Повторимся: необходимость сотрудничества в учебном процессе является отражением личностно-социального дуализма науки, следовательно, является неотъемлемым элементом обычного учебного процесса.

ПК-7: Выпускник готов к обеспечению охраны жизни и здоровья обучающихся в учебно-воспитательном процессе и внеурочной деятельности.

Это одна из немногих компетенций, освоение которой не связано с содержанием математических курсов.

В заключение обратимся к профессиональным компетенциям в области культурно-просветительной деятельности.

ПК-8: Выпускник способен разрабатывать и реализовывать культурно-просветительские программы для различных категорий населения, в том числе с использованием информационно-коммуникационных технологий.

Очевидно, что эта компетенция не является самостоятельной, а представляет собой модификацию компетенций ПК-1 и ПК-2 применительно к культурно-просветительской деятельности.

ПК-9: Выпускник способен профессионально взаимодействовать с частниками культурно-просветительской деятельности.

Вновь мы видим модификацию компетенций ПК-5 и ПК-6 применительно к культурно-просветительской деятельности.

ПК-10: Выпускник способен к использованию отечественного и зарубежного опыта организации культурно-просветительской деятельности.

В третий раз мы видим некую несамостоятельную компетенцию. Действительно, студент постоянно использует чужой опыт деятельности по доказательству теорем, по решению задач, по составлению и использованию компьютерных программ, по подготовке и проведению уроков, по подготовке и проведению внеклассных мероприятий и многому другому. Было бы совершенно неестественно, если бы студент не сумел использовать чужой опыт в культурно-просветительской деятельности, коль скоро он активно использует его в других областях.

ПК-11: Выпускник способен выявлять и использовать возможности региональной культурной и образовательной среды для организации культурно-просветительной деятельности.

Традиционно эта компетенция формируется за счет регионального компонента курсов «История математики» и «Внеклассная работа по математике».

Промежуточные выводы

Детальный, поэлементный, «бухгалтерский» анализ системы компетенций Государственного стандарта, проведенный в предыдущем разделе, показал следующее. Из 37 компетенций стандарта 31 компетенция может быть полностью сформирована в рамках традиционного преподавания математики, сложившегося в течение десятилетий задолго до возникновения компетентностного подхода. Исключение составляют шесть компетенций, которые по своей природе лежат вне математики: три компетенции связаны с физической культурой, охраной здоровья и защитой от катастроф (ОК-5, ОК-11 и ПК-7), две компетенции связаны с иностранным языком (ОК-10 и ОПК-5) и одна компетенция связана с защитой безопасности (ОК-12). При этом в трех случаях традиционное преподавание дает студенту больше, чем определяется содержанием компетенций (ОК-1, 4, 8), а в двух случаях содержание компетенций буквально совпадает с содержанием традиционного преподавания (ПК-1, 2).

С точки зрения автора данный вывод ужасен. Он показывает, что компетентностный подход не привносит ничего нового в традиционное преподавание математики. Следовательно, громадные трудовые и морально-психологические усилия, а также денежные затраты, сделанные ради внедрения компетентностного подхода, произведены зря. Ситуация настолько абсурдна, что ее осмысление требует аллегорий. Представим себе, что от руководства автомобильного завода потребуют переписать всю техническую документацию на английском языке. Английский – это красивый и эффективный язык, используемый в передовых странах мира. Перевод документации на английский несложен, хотя и трудоемок. Однако было бы странным ожидать, что такая реформа улучшит качество и конкурентоспособность выпускаемых автомобилей.

Предисловие к известному учебнику [4] по методике преподавания математики посвящено соотношению между инновациями и традициями. Будучи спокойным и взвешенным, оно содержит одну радикальную мысль, разделяемую автором: «Чем ничтожнее педагогическая мысль, тем больше она обращается к инновациям, тем дальше она от живой души школьника, … чем значительнее педагогическая мысль, тем она более традиционна, обращена к великим идеям и личностям».

Что делать?

Безусловно, идея стандартизации, в частности, в области образования, является положительной. Не случайно первые примеры стандартизации (правда, в области техники) относятся к Древнему Миру, а началом международной стандартизации принято считать 1875 г. [11, с. 65]. Следует, однако, четко осознавать, что стандартизация в области образования принесет положительные результаты только при соблюдении некоторых условий.

Первое из них состоит в том, что она должна быть основана на апробированной триаде «стандартизация–метрология–сертификация» [5]. В сложившихся условиях, когда отсутствуют критерии оценки качества стандарта в целом, когда неясны «единицы» измерения качества отдельных параметров стандарта, упор должен быть сделан на метрологию, то есть на выявление тех объективных «измерителей», с помощью которых следует оценивать анализируемый стандарт. Этот упор должен выдерживаться до тех пор, пока вышеупомянутая триада не будет гармонизирована.

Второе условие состоит в том, что любой новый стандарт должен быть методологически обоснован. Отрицательный пример налицо. Так, в широко цитируемой работе И. А. Зимней [3] говорится о том, что первые списки ключевых компетенций были весьма длинными и с трудом реализуемыми на практике, вследствие чего были заменены на более короткие, емкие и удобные. В качестве примера неконкурентоспособного списка И. А. Зимняя приводит список Дж. Равена, составленный в 1984 г., то есть достаточно давно. По странному совпадению список компетенций действующего стандарта состоит из стольких же пунктов (тридцати семи), из скольких состоял ушедший в прошлое список Равена.

Третье условие состоит в том, что следует заранее оговаривать срок действия проектируемого стандарта. По мнению автора следует считать, что качество стандарта тем выше, чем больше длина того периода времени, в течение которого он обеспечивает потребности общества. По-видимому, естественным сроком действия стандарта является период 10–20 лет. Из них 5 лет уходит на обучение в вузе первой группы специалистов, 5–10 лет на мониторинг их послевузовской деятельности и 5 лет на качественную разработку нового стандарта, в течение которых действует старый стандарт. Разумеется, все цифры приблизительны, зато они учитывают многообразие реалий. Так, при явной неудаче в разработке нового стандарта он должен быть заменен в короткий срок (10 лет), а в случае удачи он может действовать существенно дольше. Однако в любом случае должен существовать период длиной в несколько лет, в течение которых анализируется качество специалистов, подготовленных по рассматриваемому стандарту. Мониторинг послевузовской деятельности может трактоваться как один из элементов метрологии.

Особого рассмотрения заслуживает вопрос об интеграции образовательных систем разных государств. Интеграция, будучи в целом благотворной и в определенном смысле неизбежной, должна иметь свои естественные границы. Вряд ли полноценная интеграция возможна в условиях, когда отсутствует единое экономическое пространство, когда разные страны имеют разные геополитические цели, разные политические системы, участвуют в антагонистических военных блоках, разделены таможенными барьерами и т.д. Вместо этого в лучшем случае произойдет унификация образовательного пространства, которое, к тому же, будет управляться органами, находящимися вне пределов России. Отрицательные следствия такой интеграции выразительно описаны в книге [8], посвященной реалиям Болонского процесса.

Даже если считать пренебрежимо малыми отрицательные международные последствия унификации образования, она вредна для него с точки зрения внутренней политики. Действительно, высшее образование является одной из подсистем общества наряду с промышленностью, сельским хозяйством, армией, правоохранительными органами, сферой управления. Эти подсистемы конкурируют друг с другом, и предметом конкуренции является государственное финансирование. При этом промышленность, сельское хозяйство и т.д. ничем не ограничены в своем самосовершенствовании и решают те задачи, которые выдвигает перед ними жизнь. В противоположность этому, высшее образование может подпасть под некоторые ограничения, которые налагают на него требования интеграции. Наконец, следует признать наличие объективно обусловленных различий в национальных целях различных систем образования. Например, существует длинный список государств, которые не могут иметь целью участие в сложных и ресурсоемких сферах деятельности, таких, например, как освоение космического пространства. Очевидно, что системы образования в таких государствах с неизбежностью будут существенно отличаться от системы российского образования.

К счастью, вопрос об интеграции образовательных систем может быть решен на чисто научной основе. Действительно, образование является процессом передачи разнохарактерной информации – ценностной, предметной, методологической и т.д. – от поколения к поколению. Этот процесс подчиняется законам науки: биологии, психологии, педагогики, социологии и т.д. Выработка политики в области образования должна базироваться на постижении этих объективных законов. При условии их учета образовательная политика, национальная по целям, будет глобальной по сути, причем страны, игнорирующие эти законы, окажутся неконкурентоспособными.

Очевидно, что учет перечисленных условий, даже если с ними полностью согласиться, не может быть осуществлен быстро. Как ни странно, относительно быстрые меры по улучшению образовательного стандарта вытекают из анализа природы математики как области науки. Изложим их в предельно краткой форме, отсылая читателя к работам автора [10–13].

Математическое образование, на каких бы теоретических посылках оно ни базировалось, призвано сформировать в сознании учащихся адекватный образ математики. В силу этого в процессе преподавания необходимо выявить фундаментальные, имманентные свойства математики, которые не зависят ни от предметной области внутри нее, ни от уровня математических исследований, ни от исторического периода ее развития. Именно в этом состоит цель математического образования.

Одним из имманентных свойств математики является деятельностно-продуктивный дуализм[11], суть которого состоит в следующем: понятие математики включает в себя как деятельность по получению нового знания, так и продукт этой деятельности – сумму полученных к данному моменту математических знаний. Отсюда вытекает естественное требование к математической подготовке: обучение математике должно быть ориентировано, причем одновременно и в равной мере, как на передачу системы математических знаний, так и на формирование умений и навыков деятельности внутри математики.

Для проектировщиков образовательного стандарта это означает, что они должны предложить педагогическому сообществу государственный документ, который будет состоять из двух частей: научно обоснованной программы изучения математики и перечня тех умений и навыков деятельности в области математики, которые рекомендуются к освоению. Что касается программы, то мы имеем пока не потерянный советский опыт составления и использования государственных программ, позитивный компонент которых очевиден или почти очевиден. Что касается умений и навыков деятельности в области математики, то мы отсылаем читателя к авторской концепции моделирования научных исследований в учебном процессе [10], первичная разработка которой завершена, а глубокая разработка – осуществляется. Например, этот перечень мог бы выглядеть так:

1. глубокие знания, умения и навыки в области изучения математики;

2. первоначальные умения в области исследовательской деятельности:

· умение ставить математическую задачу,

· умение высказывать гипотезу или гипотезы,

· умение планировать исследование, те есть разбивать поставленную задачу на вспомогательные задачи,

· умение применять формальные математические знания для решения конкретныхзадач изучаемого типа;

· умение применять формальные математические знания для решения новых, не встречавшихся ранее задач, в частности, прикладных задач.

 

1. Афанасьев, В. В., и др. Подготовка учителя математик: Инновационные подходы [Текст]: Учеб.пособие. – М.: Гардарики, 2002. – 383 с.

2. Гусев, В. А. Психолого-педагогические основы обучения математике [Текст]. – М.: ООО «Издательство «Вербум-М», ООО «Издательский центр «Академия», 2003. – 432 с.

3. Зимняя, И. А. Ключевые компетенции – новая парадигма результатов образования // Высшее образование сегодня. – 2003. – № 5. – С. 34–42.

4. Колягин, Ю. М., и др. Методика преподавания математики в средней школе. Общая методика [Текст]: учебное пособие. – Чебоксары: Изд-во Чуваш.ун-та, 2009. – 732 с.

5. Лифшиц, И. М. Стандартизация, метрология и сертификация [Текст]: учебник. – М.: Брайт-Издат, 2007. – 399 с.

6. Маркова, А. К., и др. Формирование мотивации учения [Текст]. – М.: Просвещение, 1990. – 192 с.

7. Мордкович, А. Г. Профессионально-педагогическая направленность специальной подготовки учителей математики в педагогическом институте / Дисс. … д-ра педагог.наук. – М., 1987. – 385 с.

8. Рыбников, К. А., Рыбников, К. К. Войны за просвещение. Математическое образование в СССР и России и Болонский процесс [Текст]. – М.: Гелиос АРВ, 2012. – 160 с.

9. Селевко, Г. К. Современные образовательные технологии [Текст]. – М.: Народное образование, 1998. –256 с.

10. Ястребов, А. В. Моделирование научных исследований как средство оптимизации обучения студента педагогического вуза [Текст] // Дисс. … доктора педагогических наук. – Ярославль, 1997. – 386 с.

11. Ястребов, А. В. Дуалистические свойства математики и их отражение в процессе преподавания [Текст] // Ярославский педагогический вестник. – 2001. – № 1. – С. 48–53.

12. Ястребов, А. В. Сценарии групповой работы при изучении математики [Текст] // Вопросы методики обучения математике в средней школе: Учебное пособие / Отв. ред. Т. Н. Карпова, Т. М. Корикова. – Изд-во ЯГПУ им. К. Д. Ушинского, 2002. – С. 113-121.

13. Ястребов, А. В. Сравнительный анализ традиций преподавания математики в педагогических вузах и компетенций государственного образовательного стандарта [Текст] // Ярославский педагогический вестник: научный журнал. – Ярославль: Изд-во ЯГПУ, 2011. – № 1. – Том II (Психолого-педагогические науки). – С. 63–68.