Алгоритм приближенного вычисления корня методом касательных.

Исходные данные:

f (x) – функция;

f ^‘(x) – производная заданной функции f (x);

ε – требуемая точность;

x₀ – начальное приближение.

Результат: x_пр – приближенный корень уравнения f (x) = 0.

Метод решения:

Рассмотрим случай, когда , т.е. и имеют одинаковые знаки. Тогда возможны два случая построения кривой на отрезке (рис 8).

Проведем касательную к кривой y = f (x) в точке В₀(b; f(b)). В курсе алгебры выводится уравнение касательной.

Уравнение касательной в точке В₀ имеет вид . В качестве очередного приближения к корню уравнения берем точку пересечения касательной с осью Оx. Полагая y = 0, найдем . Теперь . Применяя метод еще раз для отрезка , получим .

Получаем рекуррентную формулу вычисления приближений к корню:

(3)

 

 

 

Рис. 8. Геометрическая интерпретация метода касательных для случая .

 

Обратим внимание, что в этом случае в качестве начального приближения к корню выбираем точку x₀ = b. Приближение к коню происходит с правой стороны, поэтому получаем приближенное значение корня с избытком.

Пусть теперь , т.е. и имеют разные знаки. Тогда также возможны два случая построения кривой на отрезке (рис 9).

B0

A0

 

Рис. 9. Геометрическая интерпретация метода касательных для случая .

 

Если снова провести касательную к кривой в точке В₀, то она пересечет ось Ох в точке не принадлежащей отрезку . Поэтому проведем касательную в точке . Ее уравнение . Находим x₁, полагая y = 0: . Корень . Применяя метод еще раз для отрезка , получим .

Получаем рекуррентную формулу вычисления приближений к корню, аналогичную первому случаю:

В данном случае в качестве начального приближения к корню выбираем точку x₀ = a. Приближение к коню происходит с левой стороны, поэтому находим приближенное значение корня с недостатком.

Заметим, что вычислительные формулы метода отличаются друг от друга только выбором начального приближения: в первом случае за x₀ принимаем конец b отрезка, во втором – конец a.

Убедитесь сами, что при выборе начального приближения корня можно руководствоваться правилом: за исходную точку следует выбрать тот конец отрезка , в котором знак функции совпадает со знаком второй производной (см. рисунки 8,9).

Условие окончания вычислительного процесса: , где ε - заданная точность. Тогда x_пр = x_n+1 с точностью ε.

 

Уточнение корней методом хорд.

 

Пусть на отрезке функция непрерывна, принимает на концах отрезка значение разных знаков, а производная сохраняет знак. В зависимости от знака второй производной возможны следующие случаи расположения кривых (рис. 10).

 

 

Рис. 10. Возможные случаи расположения кривых.