Флуктуации вокруг равновесия

Вспомните контейнер с перегородкой, который мы рассматривали в главе 8.

В перегородке есть отверстие, позволяющее молекулам газа периодически

пролетать с одной стороны на другую. Для того чтобы смоделировать эволюцию

неизвестного микросостояния каждой частицы, мы допускали, что у каждой

молекулы есть небольшой фиксированный шанс перелететь на другую сторону.

Формула Больцмана для энтропии помогла нам продемонстрировать, как эн-

тропия будет меняться с течением времени; она имеет ярко выраженную

тенденцию к увеличению, по крайней мере если в начале эксперимента вручную

создать в системе состояние низкой энтропии, когда большая часть молекул

располагается по одну сторону перегородки. Система естественным образом

стремится к равновесию, то есть к состоянию, в котором количество молекул

по обе стороны перегородки примерно одинаково. В этом случае энтропия

достигает максимального значения, помеченного «1» на вертикальной оси

графика 10.3.

Однако что, если вначале система не будет находиться в низкоэнтропийном

состоянии? Что, если начать рассматривать ее в состоянии равновесия? Если

второе начало термодинамики абсолютно истинно и энтропия никогда не

уменьшается, то по достижении состояния равновесия система остается в нем

навсегда. Но в вероятностном мире Больцмана это не совсем верно. С высокой

вероятностью система, пришедшая к равновесию, действительно продолжит

пребывать в этом равновесном состоянии или в состоянии, близком к нему.

Однако если подождать достаточно долго, то мы непременно заметим случай-

ные отклонения от этого состояния. И если время ожидания будет очень

большим, то мы неминуемо увидим и чрезвычайно большие флуктуации.

 

 

 

Часть III. Энтропия и ось времени

 

0,999

 

0,998

 

0,997

 

x

 

 

 

 

 

 

Рис. 10.3. Изменение энтропии в перегороженном контейнере с газом, начиная с состояния

равновесия. Большую часть времени удерживается состояние, близкое к максимальной эн-

тропии, но периодически можно заметить небольшие флуктуации в сторону более низко-

энтропийных состояний. Обратите внимание на сильно увеличенный масштаб по верти-

кальной оси; типичные флуктуации очень малы. Стрелкой с буквой x указан возврат

к равновесному состоянию после относительно крупной флуктуации

На рис. 10.3 представлена эволюция энтропии в перегороженном контей-

нере с газом, содержащем 2000 частиц, но на этот раз — в более поздний

период времени, после достижения равновесного состояния. Обратите вни-

мание на то, что теперь мы рассматриваем изменения энтропии в огромном

приближении: если графики в главе 8 демонстрировали изменение энтропии

в диапазоне значений от 0,75 до 1, то здесь мы рассматриваем диапазон от

0,997 до 1.

То, что мы видим, — это небольшие отклонения от равновесного значения,

в котором энтропия максимальна, а молекул примерно поровну в обеих по-

ловинах контейнера. И это совершенно логично, учитывая условия экспери-

мента: большую часть времени справа и слева от перегородки находится равное

число частиц, но иногда может возникать небольшой перекос в ту или в другую

сторону, соответствующий чуть меньшему значению энтропии. Абсолютно

так же ситуация выглядит и при подбрасывании монеты: в среднем в длинной

последовательности подбрасываний орел и решка выпадают одинаковое число

раз, но если подождать достаточно долго, то нам будут встречаться подпосле-

довательности, в которых монета приземлялась на одну сторону много раз

подряд.

Отклонения, которые мы здесь видим, очень малы, но, с другой стороны,

мы не так уж долго ждали. Если растянуть эксперимент на более длительный

 

Глава 10. Повторяющиеся кошмары

 

 

период — и здесь имеется в виду гораздо более длительный период, то энтропия

в конечном итоге уменьшится до исходного значения, соответствующего кон-

фигурации, при которой 80 % частиц находилось с одной стороны от перего-

родки, а 20 % частиц — с другой. Также не забывайте о том, что этот график

иллюстрирует поведение энтропии для системы с 2000 частиц; в реальном

мире, где любой макроскопический объект содержит намного больше частиц,

флуктуации энтропии соответственно намного меньше и встречаются реже.

Тем не менее они обязательно присутствуют. Их не может не быть — это не-

избежное следствие вероятностной природы энтропии.

Таким образом, мы подошли к финальному предположению Больцмана:

возможно, Вселенная именно такова. Возможно, время вечно и фундаменталь-

ные физические законы — ньютоновы и обратимы, и предположения, лежащие

в основе теоремы о возвращении, верны.14 И, следовательно, вполне можно

допустить, что график изменения энтропии во времени, показанный на рис. 10.3,

показывает, как на самом деле изменяется энтропия реальной Вселенной.

 

Антропный принцип

Однако, скажете вы, такого не может быть. На этом графике энтропия полови-

ну времени возрастает, а половину времени убывает. В реальном мире все совсем

не так; насколько мы можем видеть, энтропия у нас только возрастает.

Что же, отвечает Больцман, вам следует взглянуть на ситуацию шире. На

этом графике показаны всего лишь крохотные флуктуации за относительно

короткий период времени. Мы же, говоря о Вселенной, с очевидностью имеем

в виду огромную флуктуацию энтропии, вероятность появления которой

крайне мала, а длительность, наоборот, чрезвычайно велика. В целом, график

энтропии Вселенной очень похож на тот, что изображен на рис. 10.3, а энтро-

пия нашей локальной наблюдаемой части Вселенной соответствует лишь не-

большому его участку — рядом с точкой, обозначенной x, где наблюдается

процесс возвращения обратно к равновесному состоянию после флуктуации.

Если здесь помещается вся история изведанной Вселенной, то нет ничего

странного в том, что на своем веку мы наблюдаем второе начало термодинами-

ки в действии. В то же время, если рассматривать сверхдлинные периоды, то

окажется, что энтропия всего лишь немного колеблется около максимального

значения.

Но, снова возразите вы, не готовые сдаваться без боя, почему мы живем

именно на этом конкретном участке кривой, в период, непосредственно сле-

дующий за гигантской флуктуацией энтропии? Мы уже согласились с тем, что

 

 

Часть III. Энтропия и ось времени

 

подобные флуктуации неимоверно редки. Не было бы логичнее оказаться

в каком-то более типичном, среднестатистическом периоде истории Вселенной,

где все, по сути, находится в равновесии?

Разумеется, Больцман предвидел это ваше возражение. И в этот момент

он совершает поразительно современный ход — апеллирует к антропному

принципу. По сути, антропный принцип — это идея о том, что любое разум-

ное описание Вселенной вокруг нас должно учитывать тот факт, что мы су-

ществуем. Оно может принимать множество разных форм: от бесполезно

слабого «тот факт, что жизнь существует, диктует нам, что законы физики

должны быть совместны с существованием жизни» до смехотворно сильно-

го «законы физики должны были принять ту форму, в которой мы их знаем,

потому что существование жизни — необходимое условие». Споры вокруг

статуса антропного принципа: есть ли в нем смысл? можно ли считать его

научным? — разгораются весьма нешуточные, но редко приводят к каким бы

то ни было полезным выводам или результатам.

К счастью, нас (и Больцмана) вполне устраивает благоразумная усредненная

версия антропного принципа. А именно представьте себе, что реальная Все-

ленная намного больше (в пространственном измерении, во временном или

в обоих) той части, которую мы в состоянии непосредственно наблюдать.

Помимо этого, вообразите, что условия в разных фрагментах этой глобальной

Вселенной очень сильно различаются. Например, в них наблюдается разная

плотность вещества, а может быть, доходит даже до того, что действуют разные

локальные физические законы. Каждую из таких областей можно назвать

«Вселенной», а весь набор — «Мультиленной». Разные Вселенные в пределах

Мультиленной могут быть физически связаны, а могут не иметь точек сопри-

косновения; для наших текущих целей это неважно. Наконец, представьте себе,

что часть этих областей обладает благоприятными условиями для существова-

ния жизни, а часть — нет. (В этом месте всегда неизбежно возникает опреде-

ленное недопонимание, поскольку в глобальном контексте мы знаем о «жизни»

не так уж много.) Тогда — и этот довод выглядит совершенно безукоризнен-

но — как ни крути, мы находимся в одной из тех частей Вселенной, где суще-

ствование жизни допускается, но не в других, враждебных нам частях. Кажет-

ся, что это утверждение не несет смысла, но это не так. Оно иллюстрирует

эффект выбора, искажающий наш взгляд на Вселенную в целом: мы не видим

картины целиком; нашему восприятию доступен только один фрагмент, кото-

рый вполне может оказаться абсолютно нерепрезентативным.

Больцман апеллирует к такой же точно логике. Он просит нас представить

Вселенную, состоящую из некоторого набора частиц, движущихся сквозь аб-

 

Глава 10. Повторяющиеся кошмары

 

 

солютное ньютоновское пространство—время, существующее на протяжении

вечности. Чего в этом случае следует ожидать?

Тогда во Вселенной, которая в общем везде находится в тепловом равновесии,

то есть мертва, то тут, то там должны существовать сравнительно не-

большие области (назовем их единичными мирами), которые в течение до-

вольно короткого времени по сравнению с вечностью значительно отклоня-

ются от теплового равновесия, причем одинаково часты такие, в которых

вероятность состояния [энтропия] увеличивается, и такие, в которых она

уменьшается. Следовательно, для Вселенной оба направления времени нераз-

личимы, так же как в пространстве не существует верха и низа. Но так же,

как в определенной точке земной поверхности направление к центру Земли

является направлением «вниз», живое существо, находящееся в определенной

эпохе такого мира, будет определять направление времени как направление

от менее вероятных состояний к более вероятным (первые будут называть-

ся «прошлым», вторые — «будущим»), и в соответствии с таким опреде-

лением для него эта небольшая, изолированная от Вселенной область «снача-

ла» всегда находится в маловероятном состоянии. 15

Это весьма примечательный абзац, и после небольшой корректировки

лексикона он абсолютно органично смотрелся бы в любом современном кос-

мологическом обсуждении. Больцман полагал, что Вселенная (или, если хоти-

те, Мультиленная), по сути, представляет собой бесконечный контейнер с газом.

Большая часть газа равномерно распределена по этому бескрайнему простран-

ству и имеет постоянную температуру, то есть пребывает в тепловом равно-

весии. Проблема в том, что жить при тепловом равновесии мы не способны —

это «мертвое» состояние, как без обиняков выразился Больцман. Но время от

времени в этом бескрайнем контейнере возникают случайные флуктуации, и

в конце концов одна из них создает нечто похожее на Вселенную, которую мы

наблюдаем вокруг себя. (Больцман называет ее «наша галактика», что в то

время считалось синонимом «наблюдаемой Вселенной».) А поскольку мы

можем существовать исключительно в подобных условиях — в случайных да-

леких от равновесия флуктуациях, то нет ничего удивительного в том, что мы

обнаруживаем себя в одной из них.

И разумеется, в период флуктуации энтропия увеличивается лишь полови-

ну времени: вторую половину она уменьшается, переходя от равновесного

значения к временному минимальному значению. Однако об «увеличении»

или «уменьшении» энтропии можно говорить лишь по отношению к какой-то

заранее выбранной временной координате, которая, как мы обсуждали в пре-

дыдущей главе, сама по себе не поддается непосредственному наблюдению.

 

 

Часть III. Энтропия и ось времени

 

 

Рис. 10.4. «Мультиленная» Больцмана. Большую часть пространства составляет множе-

ство частиц, находящихся в равновесии, но также можно заметить редкие локальные

флуктуации к низкоэнтропийным состояниям (обратите внимание на то, что масштаб

совершенно не соблюдается). Мы живем в период, последовавший за одной исключительно

крупной флуктуацией

Как верно подмечает Больцман, важно лишь то, что текущая Вселенная нахо-

дится в процессе перехода между низкоэнтропийным состоянием и состояни-

ем теплового равновесия. И пока этот переход происходит, любое живое су-

щество всегда будет считать направление в сторону более низкого значения

энтропии «прошлым», а направление к высокой энтропии — «будущим».

Эта картина Вселенной довольно провокационна. Если смотреть крупно-

масштабно, то вещество практически всегда находится в состоянии крайне

разреженного газа при определенной температуре. Но время от времени на

протяжении миллиардов лет последовательности случайных событий склады-

ваются так, что в результате появляются области аномально низкой энтропии,

которые затем возвращаются обратно к равновесию. Вы и я, и вся суетливая

деятельность, которую мы наблюдаем вокруг, — это побочные явления, кото-

рым повезло оседлать волну энтропии, которая откатывается назад после

случайного путешествия в чрезвычайно маловероятное состояние.16

Так как же выглядит типичная флуктуация в период движения энтропии

вниз? Ответ очевиден: в точности как инвертированная во времени типичная

эволюция по направлению от низкоэнтропийного состояния к высокоэнтро-

пийному. Вся Вселенная — все это бескрайнее море невероятно разреженно-

го газа — не превратится внезапно, за считанные минуты, в высокоплотное

состояние, соответствующее Большому взрыву. То тут, то там, растянутые во

времени на миллиарды лет, будут возникать последовательности маловероятных

 

Глава 10. Повторяющиеся кошмары

 

 

событий, каждое из которых способно сделать энтропию лишь незначительно

меньше. Звезды и галактики могут распадаться, омлеты — превращаться в яйца,

предметы, находящиеся в равновесии, — спонтанно демонстрировать значи-

тельные перепады температуры. Все эти события абсолютно независимы,

каждое из них по отдельности маловероятно, а все вместе они составляют

фантастически маловероятную комбинацию. Но если вы на самом деле способ-

ны потратить вечность на ожидание, то убедитесь, что даже самые невероятные

вещи в конце концов случаются.