Общие сведения Физические основы эксперимента

Лабораторная работа №4. Исследование вращательного движения твердого тела вокруг неподвижной оси

Цель работы: Проверка основного закона динамики вращательного движения. Определение момента инерции тела.

Описание лабораторной установкии оборудования

В лабораторной работе используется маятник Обербека (рисунок 1), комплект из 4 одинаковых цилиндров с винтами, секундомер, линейка для определения высоты, линейки – шаблоны, штангенциркуль, шесть гирек.

Вращающаяся часть маятника состоит из горизонтального вала, на который насажен шкив (1). На шкив намотана нить (2). К шкиву крепится толстостенная втулка с четырьмя спицами (3). На спицы можно надевать цилиндры (4) одинаковой массы, которые крепятся к спицам с помощью винтов. Нить перекинута через дополнительный шкив (6) и к нижнему концу нити привязано чашка (5), в которую помещают грузы различной массы (рисунок 1).

Рис.1.

Общие сведения Физические основы эксперимента

Враща́тельное движе́ние – вид механического движения абсолютно твёрдого тела, при котором его точки описывают окружности, расположенные в параллельных плоскостях. Центры всех окружностей лежат при этом на одной прямой, перпендикулярной к плоскостям окружностей и называемой осью вращения. Ось вращения может располагаться внутри тела и за его пределами.

Угловая скорость – изменение углового пути в единицу времени:

,

где - угловой путь (угол поворота тела вокруг своей оси). Вектор угловой скорости направлен по оси вращения в соответствие с правилом правого винта (буравчика).

Угловое ускорение - изменение угловой скорости тела в единицу времени:

.

Угловое ускорение связано с линейным ускорением :

, (1)

где - линейное ускорение,

-радиус кривизны траектории движения.

Моментом силы F относительно точки O (рисунок 2) называют вектор, равный векторному произведению радиус-вектора , который определяет положение точки приложения силы, на вектор силы :

.

Модуль вектора равен

(2).

Моментом силы относительно оси Z называют проекцию на эту ось вектора , определенного относительно произвольной точки О данной оси (рисунок 2).

Момент инерции тела -это величина, характеризующая распределение масс в теле и являющаяся мерой инертности тела во вращательном движении. Моментом инерции тела относительно оси Z называется величина, определяемая равенством:

, (3)

где – расстояние от оси ,

массовая плотность,

объем тела.

Для точечного тела массой , вращающегося по окружности радиусом :

.

Момент инерции – величина аддитивная. Это означает, что момент инерции тела равен сумме моментов инерции его частей.

Момент импульса точечного тела – векторное произведение радиус-вектора , определяющего положение точки, на вектор импульса :

.

Для вращающегося твердого тела относительно оси вращения:

Динамический закон, который используется для описания движения вращающегося тела, называется основным законом динамики вращательного движения. Он может быть записан следующим образом:

, (4.1)

, (4.2)

, (4.3)

где – суммарный (результирующий) момент сил, действующих на тело,

–- момент инерции вращающегося тела.

По существу основной закон динамики вращательного движения – это второй закон Ньютона, записанный через кинематические и динамические характеристики вращательного движения для вращающегося тела.

Проверка соотношений (4) может быть проведена экспериментально с помощью маятника Обербека.

Если в чашку 5 (рисунок 1) положить груз массой , то под действием силы натяжения нити начнет вращаться с ускорением , а груз двигаться вниз с ускорением . Для равноускоренного движения

,

где – расстояние, которое проходит груз от начальной(самой верхней) точки движения, до конечной (самой нижней) точки, когда нить полностью размотается со шкива 1 (рисунок 1),

– время движения груза.

Тогда угловое ускорение маятника:

, (5)

где – радиус шкива.

Второй закон Ньютона для груза m в проекциях на вертикальную ось:

.

Отсюда и момент силы натяжения нити, действующей на маятник:

(6)

В оси маятника действует сила трения, которая создает тормозящий момент (остальными силами сопротивления, например аэродинамическими, действующими на все тела маятника, будем пренебрегать). Действие силы трения ведет к уменьшению механической энергии маятника. Поэтому после достижения грузом самой нижней точки, он движется замедленно вверх (т.к. маятник по инерции вращается) и поднимается на высоту (в момент остановки маятника). Причем < . Уменьшение потенциальной энергии груза за все время движения равно работе силы трения , где -угловой путь, пройденный маятником: .

По закону сохранения энергии: . Откуда

(7)

Суммируя выражения (6) и (7) найдем результирующий момент сил, действующих на маятник:

(8)

Условия проведения эксперимента на маятнике Обербека в данной лабораторной работе таковы, что в последнем выражении дробь (несколько сотых долей %). Поэтому если ей пренебречь, то упрощенно результирующий момент сил может быть найден как

(8´)

Из (4) следует, что если разделить (8) на (5), то можно найти выражение для определения момента инерции вращающегося маятника:

(9)

Таким образом, выражения (5), (8), (9) позволяют найти экспериментально на маятнике Обербека все основные физические величины, входящие в основной закон динамики вращательного движения.