Построение эпюр продольных сил

Рассмотрим порядок построения эпюр продольных сил в стержне, работающем на растяжение – сжатие (рис. 3.14).

1. В соответствии с общим алгоритмом построения эпюр прежде всего определяем все внешние силовые факторы, действующие на рассматриваемый стержень (рис. 3.14а). Активные силы заданы. Определим реакции связей. В рассматриваемом примере связью является заделка. В заделке при плоской системе сил в общем случае возникают три реакции – две силы и момент. Однако в данном примере активные силы приложены на оси стержня и действуют вдоль оси, представляющей прямую линию. Равнодействующая активных сил направлена вдоль этой прямой и может быть уравновешена силой, действующей также вдоль этой прямой. Таким образом, возникает только одна реакция, направленная вдоль оси стержня. Выбираем систему координат YOZ, изображаем реакцию связи , и так как направление ее неизвестно, предварительно направляем ее слева направо. Величину и истинное направление реакции определяем из уравнения статики (рис. 3.14а):

ΣF_Z = 0; – P₃ – P₂ + P₁ = – 7 – 3 + 5 = 0; = 5 кН.

Если при решении уравнения результат получают со знаком «минус», то направление реакции изменяют на обратное (влево от т. А).

2. Так как в рассматриваемом примере все силы приложены на оси и действуют вдоль нее, то уточнять расчетную схему не следует.

3. Разбиваем стержни на участки, проводя вертикальные линии через точки приложения сосредоточенных сил. Получаем три участка АВ, ВС и СD.

4. На каждом участке методом сечений определяем внутренние силовые факторы.

Рассмотрим участок АВ. Рассечем стержень на две части поперечным сечением на расстоянии z от начала координат (от т. А) и правую часть отбросим (рис. 3.14б). Абсцисса z в пределах участка АВ изменяется от 0 до 1 м, т.е. 0 ≤ z ≤ 1. На рассматриваемую часть стержня действует только внешняя сила , направленная вдоль оси стержня. Эта сила может быть уравновешена силой, также действующей вдоль оси стержня, т.е. продольной силой N. Прикладываем в рассматриваемом сечении продольную силу N. Так как направление силы N неизвестно (от сечения или на сечение), то направляем ее вдоль оси произвольно, например, от сечения. Записываем уравнение статики (составляем условие равновесия) для рассматриваемой части стержня:

ΣF_Z = 0; + N = 5 + N = 0; N = - 5 кН.

Знак «минус» означает, что сила N должна действовать на сечение. Так как сила N не зависит от абсциссы z, то продольная сила по длине участка АВ не изменяется.

5. Выбираем ось отсчета в виде линии, параллельной оси стержня. При построении эпюры продольных сил принимают следующее правило знаков:

Продольную силу N считают положительной, если имеет место растяжение (N направлена от сечения) и отрицательной, если сжатие (N направлена на сечение).

При горизонтальном расположении оси отсчета положительные значения продольной силы откладывают вверх, отрицательные – вниз. Так как на участке АВ сила N действует на сечение, т.е. имеет место сжатие, то график изменения N на участке АВ представляет собой прямую, параллельную оси отсчета в отрицательной области значений (рис. 1д).

Рассмотрим участок ВС (рис. 3.14в, сеч. II-II). Абсцисса z при начале координат в т. А будет изменяться от 1 м до 1,5 м. Рассуждая так же, как и в предыдущем случае, убеждаемся, что в сечении II-II действует только продольная сила N. Записываем уравнение статики для рассматриваемой части стержня:

ΣF_Z = 0; – P₃ + N = 5 – 7 + N = 0; N = 7 – 5 = 2 кН.

Эпюра продольной силы на участке ВС представляет собой прямую, параллельную оси отсчета в положительной области значений (рис. 3.14д).

Аналогично можно найти продольную силу и на участке СD.

y

A

P3=7 кН

P2=3 кН

P1=5 кН

z

B

C

D

I

I

II

II

III

III

1 м

0,5 м

0,5 м

z

а)

=5 кН

N

б)

z

=5 кН

P3=7 кН

N

в)

=5 кН

P3=7 кН

P2=3 кН

N

г)

z

N, кН

д)

 

Рис. 3.14. Построение эпюр нормальных сил

 

Из эпюры продольных сил следует (рис. 3.14д), что в точках А, В, С и D значения продольной силы изменились скачком на величину сосредоточенных сил в этих точках. Эта закономерность справедлива при действии любой сосредоточенной силы и значительно облегчает построение эпюр продольных сил для стержней, нагруженных сосредоточенными силами.

Так, для рассмотренного примера можно было бы поступить следующим образом.

Рассмотрим стержень, начиная с т. А (слева направо). В т. А в соответствии с отмеченной закономерностью должен быть скачок на величину . Сила в сечении I-I (рис. 3.14а) может быть уравновешена внутренней силой N, равной по модулю и направленной на сечение, т.е. имеет место сжатие и ординату откладываем вниз от оси отсчета (скачок направлен вниз). Если выбрать другое сечение в пределах участка АВ, то результат не изменится. Таким образом, на участке АВ имеем:

N_АВ = - = - 5 кН.

График представляет собой прямую, параллельную оси отсчета.

В т. В должен быть скачок на величину силы P₃. Так как сила P₃ направлена в сторону, противоположную силе , то скачок направлен вверх и продольная сила на участке ВС равна:

N_ВС = N_АВ + 7 = -5 + 7 = 2 кН.

Учитывая скачок в т. С, для участка CD получаем:

N_CD = N_ВС + 3 = 2 + 3 = 5 кН.

Если учесть скачок в точке D от силы P₁, то находим:

N_CD - P₁ = 5 – 5 = 0,

что и должно быть, т.к. Σ F_Z = 0.

В заключении отметим основные закономерности:

1. В поперечных сечениях прямого стержня, нагруженного силами, приложенными на оси стержня и направленными вдоль оси, возникает только один внутренний силовой фактор – продольная сила N, т.е. имеет место растяжение или сжатие.

2. В сечениях, где приложены сосредоточенные силы, действующие вдоль оси стержня, на эпюре продольных сил имеет место скачок на величину этих сил.

3. Форма и размеры поперечных сечений не влияют на величину продольных сил.

4. Продольная сила в рассматриваемом сечении равна алгебраической сумме проекций на продольную ось всех сил, действующих на рассматриваемую часть стержня. Проекцию любой силы берут со знаком «плюс», если соответствующая ей внутренняя продольная сила направлена от сечения, и «минус» - если на сечение.

Замечание: Это правило справедливо для любой системы внешних сил. В случае криволинейных стержней силы проектируют на ось, перпендикулярную рассматриваемому сечению.