Определение механических характеристик

Системы зияющих трещин

Рассмотрим область массива горных пород, имеющих форму прямоугольной призмы с ребром основания и высотой , ослабленную одной системой горизонтальных трещин, длина которых . Если слой с толщиной , то придем к схеме, которая была представлена на рис. 3.1.

Введем следующие обозначения: направим ось 3 вертикально вверх, ось – горизонтально вправо и ось
– нормально к плоскости чертежа (рис. 3.2).

Пользуясь введенными обозначе-ниями, перепишем соотношения (1.12), учитывая, что скальные контакты являются изолированными друг от друга точками передачи внешней нагрузки. Поэтому в пределах слоя – трещины под действием нормального давления не возникает поперечной деформации и коэффициент Пуассона для слоя, эквивалентного зияющей трещине, . Модуль деформации для этого же слоя, очевидно, равен , так как скальные контакты имеют тот же вещественный состав, что и ненарушенная горная порода.

С учетом сказанного находим:

и, следовательно,

; ; ; (3.1)

где обозначено

, или (3.2)

в зависимости от того, учитывается или не учитывается изменение ширины раскрытия трещины в процессе нагружения.

Для технических приложений удобнее пользоваться не константами , а выражениями модулей деформации и коэффициентов Пуассона анизотропной среды через и . Эти выражения имеют вид:

;

; (3.3)

;

где – модуль деформации эквивалентной сплошной среды по нормали к поверхности трещин;

– модуль деформации эквивалентной сплошной среды по направлению, лежащему в плоскости трещин;

– модуль сдвига в плоскости 3 – 0 – 1;

– модуль сдвига в плоскости 1 – 0 –2, т.е. плоскости изотропии;

– коэффициент Пуассона, определяемый как отношение поперечной деформации в плоскости 3 – 0 – 1 к продольной деформации в плоскостях трещин;

– модуль деформации и коэффициент Пуассона ненарушенного материала;

– расстояние между трещинами;

– ширина раскрытия трещины.

Чтобы оценить, насколько велика возникающая в массиве горных пород анизотропия деформационных свойств, рассмотрим численный пример, используя типичные натурные данные по описанию трещиноватости для одного типа известняков: 6·10⁵ кгс/см²; = 0,2; = 0,03 см; = 40 см и = 3·10^-4. По формулам (3.3) находим:

= 6·10⁵ кгс/см², =(0.03/40·3)·10⁴=2,5, 1,7·10⁵ кгс/см²; (3.4)

= 0,81·10⁵ кгс/см²; 2,3·10⁵ кгс/см²; = 0.2.

И так, наличие даже очень тонких трещин приводит к появлению весьма существенной анизотропии. Так, модули нормальной деформации отличаются в 3,5 раза, а модуль сдвига оказывается в одной плоскости почти в 2.9 раза меньше, чем в другой.

Повернем теперь систему координат на угол вокруг оси 2, как это показано на рис. 3.3. Модуль деформации по направлению найдется по второй формуле системы (1.6)

Внося в эту формулу значения , определенные соотношениями (4.1), получим

Рис. 3.3. Поворот системы координат на угол φ

(3.5)

Оси 1 и 3 не являются главными и для повернутой системы координат все остальные упругие постоянные найдутся следующим образом (3.1) в

;

; (3.6)

;

; .

Очевидно, по формулам (3.5) и (3.6) можно вычислить все модули деформации, если плоскости трещин образуют с горизонтом угол . С тем, чтобы в дальнейшем не оговаривать каждый раз обозначения, условимся при определении модуля деформации по вертикальному направлению записывать формулу (3.5) в виде

(3.7)

и т.д.

Если систем трещин несколько () и каждая система имеет свои средние значения и т.д., то

, (3.8)

где – индекс системы трещин;

– геометрическая характеристика трещин -й системы;

– угол, образуемый трещинами -й системы с горизонтом.

Разумеется, в пределах каждой системы могут быть трещины с различным раскрытием, расстояния между трещинами могут быть неодинаковыми, наконец, площади скальных контактов для трещин даже одной системы также могут оказаться различными. Поэтому под и следует подразумевать средние величины -й системы. Если же осреднение невозможно, например, резко разнятся , то даже если эти трещины имеют близкие значения , их следует разделить на семейства. Вообще формулой (3.7) можно пользоваться и, не объединяя трещины в семейства, а суммируя столько раз, сколько трещин попадает в рассмотрение.

Модуль по ортогональному к направлению найдется по формуле (3.7) при подстановке вместо углов , т.е. при замене на .

Очевидно, что остальные упругие постоянные в случае нескольких систем трещин вычисляются по формулам (3.5), в которых значения , помноженные на соответствующие тригонометрические функции, следует заменить суммами типа , и т.д. здесь уместно сделать одно замечание, важное в смысле практического использования выведенных соотношений (3.5). Если систем трещин несколько, то, как правило, постоянные обращаются в нуль из-за ортогональности систем косых трещин. Поэтому оси и становятся главными, а модули деформации для этого случая находятся по формулам:

;

; (3.9)

;

Приведенные выше формулы с (3.1) по (3.9) были получены как частный случай общего решения для многослойной среды. Такой путь получения частных решений является наиболее строгим. хотя и требует проведения довольно громоздких выкладок. Поэтому ниже будет показано, каким образом можно получить те же соотношения из самых элементарных рассуждений, что по нашему мнению, может быть полезным в том отношении, что в практике могут встретиться некоторые особые случаи трещиноватости, например массив может быть разбит на блоки такой формы, что будет возникать эффект расклинивания. Учет эффекта расклинивания можно будет произвести, несколько модифицируя приводимые ниже элементарные выводы основных соотношений.

Рассмотрим плоскую пластинку, пересекаемую трещиной, параллельной ее горизонтальной грани. Относительно длины трещины пока предположим, что трещина не выклинивается в пределах пластинки и не прерывается. Безразмерную площадь скальных контактов обозначим по-прежнему , раскрытие трещины . Кроме того, будем предполагать, что в трещине отсутствует заполнитель. Наконец, примем, что указанная трещина является единственной. Все эти ограничения будут в дальнейшем сняты одно за другим, пока же они необходимы для упрощения задачи. Загрузим пластинку равномерно распределенной нагрузкой , как показано на рис. 3.4. Укорочение пластинки в направлении оси сложится из деформации материала пластинки и сближения краев трещины . Получаемое при этом уравнение ничем не будет отличаться от аналогичного уравнения для деформации составного образца:

Рис. 3.4. Схема к определению

из рассмотрения деформаций пластинки со щелью.

. (3.10)

Решая полученное уравнение относительно , находим, что

где .

Но 1>> , и окончательно

При приложении равномерно распределенной нагрузки вдоль оси получим следующие соотношения:

;

откуда следует, что при <<1.

Наконец, прикладывая к граням пластинки парные касательные напряжения (рис. 3.5), можем записать, что общее среднее перемещение угловой точки образца будет равно сумме угловых деформаций, умноженных на соответствующие плечи: