Ошибка выборки для альтернативного признака

Теорема Бернулли утверждает, что при достаточно большом объеме выборки вероятность P расхождения между долей признака в выборочной совокупности р и долей в генеральной совокупности P_г будет стремиться к 1.

, (4.10)

Для альтернативного признака среднее квадратическое отклонение равно , где . Тогда средняя ошибки выборки для альтернативного признака равна

, (4.11)

, (4.12)

 

Доля в генеральной совокупности P_г неизвестна и может быть только оценена при выборочном наблюдении

, (4.13)

При простой случайной выборке средняя квадратическая ошибки определяется по формулам:

Средняя квадратическая ошибка	Повторная выборка	Бесповторная выборка
При определении среднего размера признака	, (4.14)	, (4.16)
При определении доли признака	,(4.15)	. (4.17)

 

Определение необходимой численности выборки

Численность стандартной и предельной ошибки выборки связано с увеличением объема выборки n. При проектировании выборочного наблюдения заранее задается величина допустимой ошибки и доверительная вероятность для определения предельной ошибки .

Если P =0,954, то (2σ)

Если P =0,997, то (3σ)

, (4.18)

. (6.19)

Для определения дисперсии признака в генеральной совокупности используются приближенные методы.

1. Можно провести несколько пробных обследований и по ним выбирать наибольшее значение дисперсии , где достаточно пробных наблюдений.

2. Можно использовать данные прошлых или аналогичных обследований.

3. Можно использовать размах вариации , если распределение нормальное, то , т.е. .

Объем выборки N	Повторный отбор	Бесповторный отбор
При определении среднего размера признака	, (4.20)	, (4.22)
При определении доли признака	, (4.21)	. (4.23)

Формы организации выборочного наблюдения

Типическая (стратифицированная) выборка: общий список разбивается на отдельные списки (однородной группы). Общий объем выборки n разбивается пропорционально между списками:

Й вариант

, (4.24)

где n – объем выборки

N – объем генеральной совокупности

n_i – число наблюдений из i -ой типической группы

N_i – объем i -ой типической группы в генеральной совокупности.

2-й вариант – равномерный (из каждой группы поровну)

, (4.25)

где k – число групп.

3-й вариант – оптимальный (для групп с большей вариацией признака объем наблюдений увеличивается)

. (4.26)

Серийная (гнездовая) выборка – в случайном порядке отбираются серии сплошного контроля. Тогда в сериях определяется без случайной ошибки. При равновеликих сериях стандартная ошибка выборки определяется

, (4.27)

где s – число серий;

δ – межгрупповая дисперсия.

При бесповторном отборе

, (4.28)

где S – общее число серий в генеральной совокупности.

 

Механическая выборка – при ранжировании генеральной совокупности устанавливается шаг отбора в зависимости от предполагаемого % отбора. Если совокупность не ранжирована, то это случайный отбор, т.е. по известным формулам.

, (4.29)

Механический отбор удобен, прост и широко применяется, так при 2%-й выборке отбирается каждая 500-я единица (1:0,02), при 5%-й – каждая 20-я.

 

Пример

Исходя требований ГОСТа необходимо установить оптимальный размер выборки из партии изделий 2000 штук, чтобы с вероятностью 0,997 предельная ошибка не превысила 3% от веса 500 гр. Изделия (батона).

Решение.

гр для средней количественного признака

шт.