Теоретические кривые распределения

Анализ вариационных рядов предполагает выявление закономерностей распределения, определение и построение (получение) некой теоретической (вероятностной) формы распределения. Характер распределения лучше всего проявляется при большом числе наблюдений и малых интервалах. В этом случае графическое отображение эмпирического вариационного ряда принимает вид плавной кривой, именуемой кривой распределения. Кривая распределения может рассматриваться как некая теоретическая (вероятностная) форма распределения, свойственная определенной совокупности в конкретных условиях.

Таким образом, анализируя частоты в эмпирическом распределении, можно описать его с помощью математической модели – закона распределения, установить по исходным данным параметры теоретической кривой и проверить правильность выдвинутой гипотезы и типе распределения данного ряда.

При исследовании закономерностей распределения очень важно выдвинуть верную гипотезу о типе кривой распределения, так как, если кривая описана математически (с помощью уравнения) верно, она более точно отражает закономерности данного распределения и может быть использована в различных практических расчетах и прогнозах. Кроме того, в этом случае можно сформулировать рекомендации для принятия практических решений.

Теоретическое распределение случайной величины – это математическое выражение функциональной зависимости значений случайной величины x и вероятности ее попадания в соответствующий интервал.

Для построения функции теоретического распределения необходимо знать и s и обосновать вид кривой из сведений об экономическом явлении или процессе. Рассмотрим только нормальное распределение, поскольку именно оно наиболее широко применяется при построении статистических моделей.

Распределение непрерывной случайной величины x называют нормальным, если соответствующая ей плотность распределения выражается формулой

,

(3.10)

или ,

где x – значение изучаемого признака;

– средняя арифметическая ряда;

s² – дисперсия значений изучаемого признака;

s – среднее квадратическое отклонение изучаемого признака;

π = 3,1415926; е = 2,7182;

– нормированное отклонение.

Кривая нормального распределения (рис. 3.3) симметрична относительно вертикальной прямой , поэтому среднюю арифметическую ряда называют центром распределения.

 

Случайные величины, распределенные по нормальному закону, различаются значениями параметров и s, поэтому важно выяснить, как эти параметры влияют на вид кривой нормального распределения.

Если не меняется, а изменяется только s, то:

1) чем меньше s, тем более вытянута кривая (рис. 3.3, а), а так как площадь, ограниченная осью и данной кривой, равна 1, то вытягивание вверх компенсируется сжатием около центра распределения и более быстрым приближением кривой к оси абсцисс;

2) чем больше s, тем более плоской и растянутой вдоль оси абсцисс становится кривая.

Если s остается неизменной, а изменяется, то кривые нормального распределения имеют одинаковую форму, но отличаются друг от друга положением максимальной ординаты (рис 3.3, б).

 

Особенности кривой нормального распределения.

1) Кривая симметрична и имеет максимум в точке, соответствующей значению .

2) Кривая асимптотически приближается к оси абсцисс, продолжаясь в обе стороны до бесконечности. Чем больше отдельные значения x отклоняются от , тем реже они встречаются.

3) Кривая имеет две точки перегиба на расстоянии ±s от .

4) Площадь между ординатами, проведенными на расстоянии ±s (заштрихованная область на рис 3.3, б), составляет 0,683. Это означает, что 68,3% всех исследуемых единиц (частот) отклоняется от средней арифметической не более, чем на s, т.е. находится в пределах ±s. В промежутке ±2s находится 95,4%, а в промежутке ±3s соответственно, 99,7% всех единиц исследуемой совокупности.

5) Коэффициенты асимметрии и эксцесса равны нулю.

 

 

 

		б)

 

Рис. 3.3 Кривые нормального распределения