Графический способ решения задачи

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

МОСКОВСКИЙ ПОЛИТЕХ

 

Н.Т. Катанаев

 

 

Методические указания

по выполнению расчетно-графической работы

«Оптимальный план выпуска продуктов»

 

по дисциплинам «Методы и модели в экономике»,

«Экономическая безопасность»

 

 

Под редакцией

 

д.т.н., проф. Н. Т. Катанаева

 

Москва 2016

 

Катанаев Николай Трофимович, профессор, доктор технических наук

 

 

Методические указания

по курсам «Методы и модели в экономике» и «Экономическая безопасность»)

 

 

В методические указания включен материал для выполнения РГР по разделу «Оптимальный план выпуска продуктов» курсов, связанных с изучением методов решения задач линейного программирования. В первой части указания приводится пример формирования задания в виде математического описания, включающего индивидуальные исходные данные, позволяющие создать базу данных для любого количества студентов. Пособие включает конкретный пример, сопровождаемый основными теоретическими положениями.

Отчет по РГР должен включать:

1. Представленный на стр. 3 титульный лист с подписью студента, выполняющего работу;

2. Введение;

3. Краткое изложение теоретической части работы;

4. Расчетные исследования;

5. Заключение;

6. Литературу.

Методические указания рекомендуются для студентов экономических специальностей.

 

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

МОСКОВСКИЙ ПОЛИТЕХ

 

Кафедра

«Технологии экономической и правовой безопасности»

 

 

Расчетно-графическая работа

«Оптимальный план выпуска продуктов»

по дисциплинам «Методы и модели в экономике»,

«Экономическая безопасность»

 

Группа: __________

Студент: __________ ________ ______

(Ф.И.О) (подпись) (дата)

 

Оценка:

Преподаватель____________ ________ ______

(Ф.И.О) (подпись) (дата)

 

Москва 2016

 

 

Содержание

	Введение
	Модель задачи линейного программирования
	Постановка многовариантной исходной задачи
	Демонстрационная версия РГР
	Графический способ решения задачи
	Симплексный метод решения модели
	Двойственная задача
	Симплексный метод решения двойственной задачи
	Заключение
	Литература

 

 

Введение

Содержанием экономико-математической модели является выраженная в математических соотношениях экономическая сущность условий задачи и поставленной цели. Модели включают в себя систему ограничений, целевую функцию. В качестве цели выбирается экономический показатель (прибыль, рентабельность, себестоимость, валовая продукция, затраты сырья и т.д.).

Решением экономико-математической модели или допустимым планом называется набор значений неизвестных, который удовлетворяет ее системе ограничений. Модель, как правило, имеет множество решений или множество допустимых планов и среди них нужно найти единственное, удовлетворяющее системе ограничений и целевой функции. Такой допустимый план, удовлетворяющий целевой функции, называется оптимальным.

Если модель линейна, то оптимальный план достигается в крайней точке области изменения переменных величин системы ограничений. В случае нелинейной модели оптимальных планов и оптимальных значений целевой функции может быть несколько. Поэтому необходимо определять экстремальные планы и экстремальные значения целевой функции. План, для которого целевая функция модели имеет экстремальное значение, называют экстремальным планом или экстремальным решением.

Таким образом, для принятия оптимального решения любой экономической задачи необходимо построить ее экономико-математическую модель, по структуре включающую в себе систему ограничений, целевую функцию, критерий оптимальности и решение.

 

1. Модель задачи линейного программирования:

- функцию цели; (1.1)

- ограничения на виды ресурсов; (1.2)

- ограничения на неотрицательность переменных. (1.3)

 

В векторной форме модель можно представить в виде:

;

;

,

где С- вектор стоимостей видов продуктов; Х – вектор видов продуктов; В – вектор ресурса видов сырья; А – матрица норм расхода видов сырья.

Постановка многовариантной исходной задачи

Предприятие выпускает 2 вида продуктов с использованием 3-х видов сырья. Нормы расхода сырья:

A= (2.1)

Ограничения по видам ресурсов:

B₁ 800 K; (2.2)

B₂ 1100 K; (2.3)

B₃ 1400 K, (2.4)

где K=Г*N (Г – номер группы; N – номер ФИО студента в списке группы). Стоимость продуктов: C₁ = 5*К; C₂ = 3*К; неотрицательность переменных X₁ 0; X₂ 0.

Задание:

1. Составить математическую модель оптимального выпуска продуктов.

2. Построить область допустимого множества решений.

3. Определить графическим методом оптимальный план выпуска, целевую функцию, недоиспользованный ресурс и дефицитные виды сырья.

4. Определить аналитически (симплекс-методом) все показатели пункта 3 с дополнительным определением двойственной оценки.

5. Определить все показатели пункта 3 с помощью двойственной модели.

3. Демонстрационная версия РГР (по варианту К=9 (Г=3; N=3)).

1. Математическая модель с исходными данными (2.1) – (2.4).

1.1. Функция цели:

(3.1)

1.2. Ограничения на ресурсы:

(3.2)

(3.3)

(3.4)

1.3. Ограничения на переменные:

(3.5)

Таким образом, система неравенств (3) представляет собой математическую модель поиска оптимального плана выпуска продуктов.

Графический способ решения задачи

При построении графика (см. рис. 1) допустимого множества (ДМ) необходимо неравенства (3.2) – (3.4) записать для границ области допустимых решений. В этом случае эти неравенства превращаются в равенство.

Неравенство (3.2) запишется как:

(4.1)

из которого определяются точки пересечения (см. рис. 1) линии границы (4.1) с соответственно осью абсцисс ОХ₁ и осью ординат ОХ₂:

(4.1.1)

(4.1.2)

Неравенство (3.3) примет вид линии границы (5.1) на рис. 5.1

(5.1)

Откуда:

(5.1.1)

(5.1.2)

Последнее неравенство (3.4) запишется в виде равенства:

(6.1)

из которого определяются точки пересечения линии границы (6.1) с осями абсцисс и ординат:

(6.1.1)

(6.1.2)

Рисунок 1. Область допустимых решений (ДМ), полученных из ограничений на ресурсы ((3.2) – (3.4)).

Таким образом, ДМ представляет собой многоугольник ОАВСD, внутри которого должно быть найдено решение, удовлетворяющее функции цели (3.1). Для нахождения этого решения рассмотрим линии уровня целевой функции F(X)

(7)

Важное свойство линий уровня функции F(X) состоит в том, что при параллельном смещении линии в одну сторону уровень возрастает, а при смещении в другую сторону – убывает.

Линия уровня нормальна к grad F(x), который представляет собой направление максимального роста функции цели F(X).

Предположим, что линия уровня (7) пересечет ось ОХ₁ (см. рис.1) в точке N(1000;0). Тогда (7) примет вид:

45*1000+27*0=К.

Откуда: К=45000.

В этом случае ось ординат ОХ₂ линия уровня пересечет во второй точке N, которая может быть найдена из выражения:

45*0+27*Х₂=45000.

Откуда: Х₂=1666,7

Осуществим параллельный перенос (см. рис.1) линии уровня NN до крайней вершины точки C многогранника области допустимых значений. Вершина «С» многогранника допустимого множества является точкой оптимального значения функции F(x). Эта вершина лежит на пересечении прямых (4.1) и (5.1), которые могут быть представлены системой уравнений:

(8.1)

(8.2)

Решая систему уравнений (8), найдем координаты точки С пересечения этих прямых: .

- оптимальный план выпуска продуктов 1-го и 2-го видов.

Это означает, что оптимальный план выпуска должен составлять 1125 единиц продукта 1-го вида и 787 единиц 2-го вида.

При этом прибыль предприятия составит:

. (9)

Недоиспользованное сырье 3 вида:

(10)

4,8*1125+6*787<12600

10122<12600

Таким образом, недоиспользованный ресурс сырья 3 вида составил: 12000-10122=2478 условных единиц сырья.