Майбутня вартість грошей та її визначення

Просте компаундирування

Компаундирування - процес переходу від теперішньої вартості (PV) до майбутньої (FV). Порядок визначення майбутньої вартості грошей розглянемо на прикладі.

Приклад 1.

Підприємець хоче покласти на депозит в банк 100 грн. одноразово під 5% річних на 5 років. Яку суму грошей матиме підприємець наприкінці першого року і який буде результат через 5 років?

PV = 100 грн.

і = 0,05.

I = 100 грн. х 0, 05 = 5 грн. - грошовий вираз відсотка, який отримає підприємець наприкінці 1 року.

n = 1; n = 5.

Таким чином, для n = 1:

FVn = FV₁ = PV + I = PV + PV(i) = PV (1+ i) = 100 грн. х (1 + 0,05) = 100 грн. х (1,05) = 105 грн.

Тобто наприкінці першого року підприємець матиме 105 грн.

Другий рік почався вже з цієї суми, відсоток становить 5,25 грн. Відсоток за другий рік більше відсотку за перший тому, що підприємець заробив вже відсоток на відсоток першого року внеску: 5 грн. х 0,05 = 0,25 грн. Цей процес продовжується, і внаслідок того, що кожного разу початкова сума вище попередньої, річний відсоток зростає.

Загальний зароблений відсоток 5,00+5,25+5,51+5,79+6,08=27,63 грн.

Вартість наприкінці 2 року:

FV₂ = FV₁ (1+ i) = PV (1+ i)(1+ i) = PV (1+ i)² = 100 грн. х (1,05)² = 110,25грн.

Кінцевий результат третього року внеску:

FV₃= FV₂ (1+ i) = PV(1+i)³ = 100 грн. х (1,05)³ = 115,76 грн.

Таким чином, FV₅ = 100 грн. х (1,05)⁵ = 127,63 грн.

Всі ці розрахунки можна звести до рівняння (4.3.): FVn= PV (1+ i)ⁿ,

Таке рівняння можна вирішити за допомогою таблиць визначення майбутньої вартості грошей, які можна знайти в будь-якому підручнику з фінансового менеджменту. В таблицях підраховано фактор майбутньої вартості відсотку для і та n (FVIFi,n), тобто визначена майбутня вартість 1 грошової одиниці, залишеної на рахунку на n періодів під і відсоткову ставку.

Оскільки (1+ і)ⁿ = FVIFi,n, торівняння (4.3.) може бути переписане таким чином:

FVn = PV x (FVIFi,n). (4.6.)

У нашому випадку в таблиці можна знайти FVIF для 5 років з 5% ставкою цифру, яка знаходиться на перехрещені стовпчику для періоду 5, і стовпчику для 5%. В даному випадку: FVIF = 1,2763. Звідси FVn = PV x (FVIFi,n)= 100 грн. х (1,2763) = 127,63грн.

Банкіри та фінансові менеджери іноді також використовують так зване “Правило числа 72”. Воно дозволяє приблизно визначити, яка комбінація рівня відсоткової ставки і термінів вкладу призведе до подвоєння вкладеного капіталу. Наприклад, інвестиції з 9%-м річним доходом подвоюється приблизно за 8 років (8 х 9 = 72). Інвестиція з доходом 6% на рік вимагає 12 років для подвоєння вкладеного капіталу і так далі.

 

2.2.Компаундирування анюїтетів (ренти)

Рента (анюїтет) - це серія вкладів або виплат рівних сум, що здійснюються через певні інтервали або певну кількість періодів. Такі вклади можуть проводитись або на початку, або в кінці кожного періоду. Якщо вони здійснюються в кінці періоду, як це, звичайно, і робиться, така рента називається звичайною або відстроченою.

Якщо виплати провадяться на початку кожного періоду, то така рента називається вексельною.

Оскільки у фінансовій практиці частіше зустрічається відстрочена рента, то, якщо в задачах стоїть запитання “знайти FV анюїтетів (ренти)”, варто розуміти, що виплати здійснюються у кінці періоду. В протилежному випадку буде спеціально вживатися слово “вексельна рента”.

Для розуміння сутності визначення майбутньої вартості анюїтетів звернемося до прикладу.

Приклад 2.

Підприємець хоче покласти на депозит на трьохрічний строк по 100 грн. в кінці кожного року під 5% річних. Яку суму він матиме по закінченні 3 років?

Цей приклад відрізняється від попереднього тим, що загальний вклад зроблено не одноразово на певний термін, а серією рівних вкладів, тобто рентою або анюїтетами.

Для розв’язання задачі ми повинні розрахувати майбутню вартість анюїтетів або ренти, FVAn.

Ураховуючи, що умови ануїтету передбачають рівність та рівномірність окремих грошових потоків РМТ (у нашому випадку сума вкладів), фінансово-математична модель оцінки майбутньої вартості ануїтету може бути відображена у такий спосіб:

(4.7)

де PМТ – абсолютна величина періодичних рівновеликих виплат (ануїтетів).

Рішення за допомогою таблиць передбачає використання фактору відсотку майбутньої вартості анюїтетів (FVIFAi,n) - фактор відсотку FV для анюїтету за n - періодів з і - відсотковою ставкою.

(4.8)

Значення FVIFA вже обчислено для різних комбінацій і та n, багато з яких внесено до відповідних таблиць у підручники з фінансового менеджменту.

Для того, щоб знайти відповідь (в нашому прикладі, для 100 грн. трьохрічна рента), слід в таблиці визначення майбутньої вартості анюїтетів продивитися стовпчик для 5% для третього періоду FVIFA = 3,1525. FVAn = PMT x (FVIFAi,n).

Таким чином, майбутня вартість ренти в 100 грн. буде 100 грн. х 3,1525 = 315,25 грн.

Якщо б три платежі по 100 грн. кожний були здійсненні на початку кожного року, тоді анюїтет (рента) став би вексельною рентою. Кожний платіж буде зміщений вліво на 1 рік, тому на кожний платіж будуть нараховувати відсотки додатково за 1 додатковий рік.

За допомогою таблиць:

FVAn = PMT (FVIFAi,n) = 100 грн. х (3,1525) х 1,05 = 331,01

Оскільки платежі здійснюються раніше, тому більше заробляться відсотків, внаслідок чого FV вексельної ренти більше - 331,01 грн. у порівнянні з 315,25 грн. для звичайного анюїтету.

Приріст від вкладання одноразово більший, ніж частками. Це підтверджує теорію, що із зростанням ризику зростає компенсація - винагорода за ризик.