Теорема Остроградского-Гаусса.

Всякое заряженное тело можно рассматривать как совокупность точечных зарядов. Но часто бывает значительно удобнее считать, что заряды распределены вдоль некоторой линии, поверхности или объема. Соответственно вводят следующие понятия:

1. Линейная плотность заряда — это физическая величина, численно равная заряду, приходящемуся на единицу длины.

(2.20)

 

 

2. Поверхностная плотность заряда σ – это физическая величина, численно равная заряду, приходящемуся на единицу площади.

(2.21)

 

3. Объемная плотность заряда ρ – это физическая величина, численно равная заряду, заключенному в единице объема

(2.22)

 

 

4. Потоком произвольного вектора a через поверхность S называется:

(2.23)

Поток вектора есть алгебраическая величина. Знак потока зависит от направления нормали к элементарной площадке. В случае замкнутой поверхности нормаль выбирается внешняя, а поток в этом случае считается положительным. Потоку вектора можно дать геометрическую интерпретацию. Для этого векторное поле представляется системой линий, построенных так, чтобы их густота в каждом месте была численно равна модулю вектора а в той же точке поля. При этом оказывается, что поток пропорционален числу линий, пронизывающих поверхность.

 

Рис.2.9

Теорема Остроградского-Гаусса:

Пусть имеется уединенный точечный заряд. Рассчитаем поток вектора напряженности через замкнутую поверхность, окружающую этот заряд.

1. Сфера.

 

(2.24)

Рис. 2.10

Поток вектора напряженности равен величине заряда, деленного на электрическую постоянную .

Окружим заряд замкнутой поверхностью произвольной формы. Возможно два случая: выпуклая поверхность и поверхность с “морщинами”.

Рис. 2.11

В случае с выпуклой поверхностью результат такой же, как и для сферической, а во втором случае можно показать, что суммарный поток, создаваемый при пересечении линиями напряженности “морщин”, будет равен 0, т.к. при расчете скалярного произведения косинус угла между векторами один раз будет положительным, а в другой – отрицательным (знаки косинусов указаны на рис. 2.12).

Рис. 2.12.

Поэтому можно сказать, что поток вектора напряженности поля точечного заряда через произвольно замкнутую поверхность, окружающую этот заряд, равен величине этого заряда, деленной на

Пусть имеется система k точечных уединенных зарядов q₁,q₂,…,q_n. Воспользуемся принципом суперпозиции.

(2.25)

Поток вектора напряженности системы k точечных неподвижных зарядов в вакууме равен алгебраической сумме этих зарядов деленной на .