Фазові змінні та елементи електротехнічних (радіоелектронних) систем

Підсистема	Фазові змінні	Елементи
	типу потоку	типу потенціалу	типу R	типу C	типу L
Електрична	Струм	Напруга	Опір	Ємність	Індуктивність
Механічна поступальна	Сила	Швидкість	Тертя	Маса	Пружність
Механічна обертальна	Момент сили	Кутова швидкість	Тертя	Момент інерції	Обертальна гнучкість
Гідравлічна (пневматична)	Витрата	Тиск	Тертя	Гідравлічна ємність	Гідравлічна індуктивність
Теплова	Потік тепла	Температура	Теплоопір	Теплоємність	–

 

В залежності від місця в ієрархії опису ММ поділяються на моделі, які відносяться до мікро-, макро- і метарівнів.

Типові ММ на макрорівні – диференціальні рівняння в часткових похідних (ДРЧП). Вони відображають елементи технічної системи, а також фізичні процеси, що протікають в неперервному просторі та часі. Як наслідок, незалежні змінні в ДРЧП є просторові координати (x, y, z) і час (t). За допомогою цих рівнянь розраховуються поля електричних потенціалів, температур, тисків, механічних напруг і деформацій тощо.

На макрорівні ММ подаються у вигляді систем алгебраїчних рівнянь або систем звичайних диференціальних рівнянь (ЗДР), які відображають укрупнену дискретизацію простору за функціональною ознакою, тобто модулі технічних об’єктів або етапи технологічного процесу.

Відповідно до виразу (4), в ЗДР незалежною змінною є час t, а вектор залежних змінних U (u₁, u₂, u₃,…,u_n)складають фазові змінні, які характеризують стан укрупнених елементів дискретизацію простору. До фазових змінних u₁, u₂, u₃,…,u_n відносяться проекції швидкостей і сил механічних систем, тиски і витрати гідравлічних і пневматичних систем, напруги і сили струму електричних систем тощо.

Системи ЗДР є універсальними моделями на макрорівні, призначеними для аналізу як стаціонарних (усталених), так і динамічних процесів

На метарівні ММ подаються у вигляді систем ЗДР прийнятої розмірності, які відображають блоки модулів технічних об’єктів або цілий технологічний процес (розмірність – кількість незалежних параметрів, необхідних для опису стану об’єкта, або кількість ступенів свободи системи). У таких моделях не описуються внутрішні для елементів і модулів фазові змінні, а розглядають тільки фазові змінні, які відносяться до взаємних зв’язків елементів і модулів. Прикладом можуть бути моделі масового обслуговування. З метою спрощення неперервне подання фазових змінних (напруга, струм, температура і т.д.) реалізують логічні моделі – дискретне уявлення. Це притаманно електронним пристроям цифрової автоматики.

За ступенем деталізації опису в межах кожного ієрархічного рівня (мікро-, макро- і метарівня) виділяють повні ММ і макромоделі.

Повна ММ – модель, в якій фазові змінні характеризують стан всіх наявних міжелементних зв’язків, тобто стан всіх елементів об’єкта, який моделюється чи проектується.

Макромодель – модель, в якій відображаються стани значно меншого числа міжелементних зв’язків, що відповідає опису об’єкта при укрупненому виділенні елементів.

Функціональні ММ поділяються аналітичні й алгоритмічні.

Аналітичні моделі – моделі, призначені для формалізації процесів функціонування об’єктів ПГ у вигляді аналітичних математичних залежностей: алгебраїчних, диференціальних, інтегральних рівнянь або їх систем. Вказані моделі являють собою явні залежності вихідних параметрів від параметрів внутрішніх і зовнішніх. Чисельні методи дозволяють отримати розв’язок аналітичних моделей, для котрих застосування аналітичних методів неможливо або недоцільно.

Маємо складний технічний об’єкт, який характеризується вектором стану Z = (z₁, z₂, …, z_n), який називається ще вектором конструктивних параметрів. Нехай X = (x₁, x₂, …, x_n) – вектор вхідних (зовнішніх) параметрів. Вхідні параметри відображають зовнішні вимоги до технічного об’єкту, їх значення або характер зміни з тією або іншою точністю відомі. Частина цих параметрів, що суттєво впливають на стан і характеристики об’єкту, називають керівними. Частина вхідних параметрів, які характеризують виконувану об’єктом функцію, відносять до функціональних параметрів. Ці параметри в процесі проектування відомі. Проте до вхідних параметрів відносяться вектор параметрів збурення з боку зовнішнього середовища G = (g₁, g₂, …,g_r).

Нехай Y = (y₁, y₂, …, y_n) – вектор вихідних параметрів. Тоді за умови залежності параметрів від часу z_i = z_i (t), x_j = x_j(t), y_k = y_k(t), g_p = g_p(t), маємо перетворення векторної функції X (t) у векторну функцію Y (t). Модель подібного типу називається динамічною аналітичною моделлю об’єкта Z [33]:

 

Y = W (X), (6.7)

де W – деякий оператор, тобто сукупність математичних і логічних операцій, які дозволяють встановити відповідність між вхідними і вихідними сигналами.

Від неявної форми моделі об’єкта Z можна перейти до явної форми за умови, коли відомі значення векторів Z, X тобто має місце функціональна залежність виду:

 

Y = F (X, Z) (6.8)

 

Отримана функціональна залежність (явна залежність вихідних параметрів як функцій вхідних і внутрішніх параметрів) являє собою аналітичну модель. Однак, ММ у вигляді (8) можна отримати тільки для дуже простих об’єктів.

Зазначимо, що аналітичні моделі характеризуються високою економічністю. Проте отримання форми (8) вдається лише в деяких окремих частинних випадках, як правило, при прийнятті істотних припущень, які призводять до зниження точності та звужують область адекватності моделі.

Вся сукупність змінність стану системи називається вектором стану. Множина всіх можливих вхідних і вихідних сигналів системи утворюють простори вхідних і вихідних сигналів. Множина всіх можливих векторів стану системи – простір станів.

Очевидно, що зміна вектору стану з часом характеризує функціонування, або як часто говорять, стан системи. В рамках вказаних понять математична модель системи – сукупність чотирьох елементів [23]: 1) простір станів, 2) простір вхідних сигналів, 3) простір вихідних сигналів і 4) співвідношення, які зв’язують вхідний і вихідний сигнали і вектор стану системи.

 

Збурювальний

сигнал G

G

 

 

Об’єкт Z

X Y

 

 

Вхідний сигнал Вихідний сигнал

 

G

Зовнішнє середовище

 

Рис.6. 7. Формальна модель об’єкта (системи)

 

Зазначимо, що вектор вихідних параметрів Y = (y₁, y₂, …, y_n) має назву «фазові змінні», які характеризують фізичний чи інформаційний стан об’єкта. Зміна в часі фазових змінних виражає перехідні процеси в об’єкті. До фазових змінних відносяться сили, швидкості та амплітуди коливань в опису механічних систем, тиски газу (рідини) і витрати (газу, палива тощо) в опису гідравлічних і пневматичних систем, продуктивність компресора, коефіцієнт корисної дії (ККД), потужність двигуна, число циклів в теплових системах, потужність розсіювання, затримка сигналу в радіофізичних системах і т д.

Очевидно, до внутрішніх параметрів Z відносяться: коефіцієнти тертя, геометричні розміри порожнин, коефіцієнт витікання клапанів, внутрішня енергія газової суміші тощо. До зовнішніх параметрів відносяться: температура та вологість зовнішнього середовища, тиск газу на всмоктуванні першої ступені, протидія у випускній системі тощо.

У загальному випадку математичний опис процесів в об’єкті, який проектується або функціонує, можна задати моделлю у формі системи рівнянь, в якій фігурує вектор фазових змінних V (U) і задана функція незалежних змінних j (U), тобто

 

L V (U) = j (U), (6.9)

 

де: U – вектор незалежних змінних, який в загальному випадку включає час t і просторові координати (x, y, z); L – деякий оператор, який перетворює V (U) в j (U).

Більшість вихідних параметрів об’єкта є функціоналами залежностей V (U), тобто для їх визначення необхідно при заданих X, Z, G виконувати розв’язання системи рівнянь (9) і за отриманими результатами обчислювати Y.

Належить зазначити, що існують технічні вимоги до вихідних параметрів, тобто норми вихідних параметрів. Технічні вимоги утворюють вектор ТТ = (ТТ₁, ТТ₂,…, ТТ_S), де величини ТТ_j являють собою границі допустимих діапазонів зміни вихідних параметрів y_k(t). Співвідношення між y_k(t) і ТТ_j називають умовами працездатності, які формалізуються як односторонніми нерівностями й обмеженнями (при різних розмірах векторів ТТ і Y), так і двохсторонніми нерівностями й обмеженнями (при однакових розмірах векторів ТТ і Y) [19]:

 

y_k(t) < ТТ_j; y_k(t) > ТТ_j; ТТ_j* < y_k(t) < ТТ_j**, (6.10)

де знак < відображає нерівність, яка пов’язана з витратами палива в двигуні, втратами тиску в трубопроводі, потужністю розсіювання в електронному пристрої тощо; знак > – потужність двигуна, ККД, коефіцієнт підсилення підсилювача тощо; < y_k(t) < – фокусну відстань оптичної системи, резонансну частоту селективного підсилювача тощо.

Таким чином, аналітичні моделі являють собою явні вирази вихідних параметрів Y як функцій вхідних X і внутрішніх Z параметрів(8). Такі моделі відрізняються великою економічністю. Проте отримання такої явної та простої форми вдається лише в окремих частинних випадках при суттєвих обмеженнях і припущеннях, які неминуче знижують точність моделі, а також область її адекватності.

6.6. Процедури отримання математичної моделі

 

Процедури отримання ММ, як правило, формалізовані. Зазначимо, що словосполучення «як правило» означає, що дана вимога є переважаючою, а відхід від неї повинен бути обґрунтованим. Слово «допускається» означає, що «…дане рішення застосовується у вигляді винятку (внаслідок незручних умов, обмежених ресурсів необхідного обладнання, матеріалів тощо)» [22, с. 5]. Окрім цього, є імперативні вимоги, які приписують безумовне виконання. До них відносяться слова «повинен», «належить», «необхідно» та похідні від них. Більш «м’якою» є вимога, яка виражається словом «рекомендується» – дане рішення є одним із кращих, проте не обов’язковим.

Формалізація будь-якого об’єкта чи процесу з отриманням математичних моделей систем, як правило, має три етапи:

1. Змістовий опис на природній мові складається з ідентифікації підсистем і елементів досліджуваного об’єкта ПГ(предмета, процесу, явища тощо), виявлення відношень і зв’язків (відношень) між компонентами системи (підсистемами, елементами), визначення значень параметрів об’єкта та компонентів, виявлення значення кожного елемента в загальному процесі функціонування досліджуваної реальної системи

2. Побудова формалізованої схеми об’єкта ПГ є проміжною ланкою між змістовим описом і математичною моделлю. Цей етап застосовується, як правило, для складних об’єктів ПГ або у випадку трудності формалізації деяких його елементів. Побудова формалізованої схеми процесу передбачає встановлення системи його параметрів, визначення характеристик процесу, строго визначити всі залежності між характеристиками і параметрами з врахуванням всіх факторів внутрішнього і зовнішнього середовища та керуючих діянь. Далі формалізована схема унаочнюється у вигляді структурно-логічної схеми, графу, семантичної мережі тощо. Необхідно записати в аналітичній формі всі співвідношення, виразити логічні умови.

3. Побудова математичної моделі об’єкта ПГ. Розробка моделей поєднує в собі науку і мистецтво. На жаль, немає чіткого формального алгоритму, який би дозволив побудувати модель для будь-якого об’єкту. Тому далі розглядаються лише певні методичні рекомендації щодо розробки моделей.

Аналітичні методи полягають у пошуку явних залежностей між характеристиками. Однак такі залежності можливо отримати лише для невеликої кількості простих моделей, як правило, лінійних. Інколи виконують спрощення моделей для отримання можливості вивчити хоча б загальні властивості об’єкта.

Як зазначає В.М. Глушков [5], інформаційний підхід до вивчення явищ і процесів припускає абстрагування від багатьох властивостей реальних носіїв інформації, що надає широкий простір для моделювання. Відповідно до цього, якщо розглядати „динаміку процесу моделювання”, то необхідно крім „образності” (результату відображення об’єкта або „сліду”) враховувати „об’єктність” моделі, її здатність служити предметом дослідження.

Дійсно, в реальному (нелінійному, активному) середовищі передача інформації (комунікація) залежить від його властивостей та станів. Тому поняття ізоморфізм, яке означає взаємно однозначну відповідність і еквівалентність моделі й об’єкта повинно поступитися місцем узагальнюючому поняттю гомоморфізм, що означає однонаправлену відповідність, приблизне або модифіковане відображення в моделях оригіналу.

Як результат, структура об’єкта ПГ і структура моделі не є ідентичні (тотожні). Ця обставина має принципове значення для робастного моделювання об’єктів ПО і, зокрема, процесів переходу від наукових до навчальних знань. Останнє пов’язане з відображенням множини елементів моделі М (наукове знання про об’єкт ПГ) на множину елементів моделі М' (навчальне знання про об’єкт ПГ). Це гомоморфне відображення (М М') має „… величезне практичне значення так, як воно дозволяє зображувати одну модель іншою моделлю ” [12, с. 333]. Як зазначає В.Г. Разумовський [24], навчальне знання як теоретична модель пізнаного об’єкта правильно відображає дану сутність явища в певних межах, але не адекватне йому (явищу) повністю.

Будь-який технічний об’єкт має практично нескінченне число властивостей. Виділивши основні (з точку зору дослідника) властивості, які можна піддати процедурам квантифікації та вимірювання, можна розробити модель технічного об’єкта у вигляді певної системи у формі наочного рисунку, формальної схеми, системи диференціальних рівнянь (сукупність змінних) тощо. Як показав У.Р. Ешбі [35], для будь-якого технічного об’єкта можна отримати велике число образів, тобто моделей (систем), використовуючи різні цілі дослідження. Із закону необхідної різноманітності Р. Ешбі виникає принцип необхідної складності [35]: для ефективного управління (керування) складність керуючої системи повинна бути не менша від складності об’єкта управління (керування).

На сьогодні розрізняють структурну, динамічну, ієрархічну й алгоритмічну складності системи. Зокрема, алгоритмічна складність системи лежить в основі багатьох програмних систем, які застосовуються в електронних пристроях безпеки. Прикладом можуть бути адаптивні системи цифрового керування на базі високо інтегрованих мікропроцесорних модулів й інтелектуальних підсистем, що застосовуються в сучасних низьковольтних апаратах захисту від ураження електричним струмом. Управління (ручне) чи керування (автоматизоване, автоматичне) підтримує, контролює та стабілізує процес функціонування об’єкта керування внаслідок наявності негативного зворотного зв’язку. У свою чергу, застосування у сучасних системах керування позитивного зворотного зв’язку спричиняє до збільшення інтенсивності (прискорення, розвитку) процесів.

Досліджувану систему S можна розглядати як частину ПГ або ЕСВ, яка складається з n об’єктів а_і, , а також з m зв’язків (відношень) R_jміж об’єктами jÎJ. Тоді систему S можна подати у вигляді кортежу:

 

S = á {а_і}, , ~; {R_j}, jÎJ, ~ ñ. (6.11)

 

Розглянемо дві різнорідні підсистеми S₁ Ì S, S₂ Ì S, а також об’єкти a, b будь-якої природи, що належать вказаним підсистемам, тобто a Î S₁, b Î S₂, де S, S₁, S₂ можна розглядати як множини. Очевидно множина пар (a, b) є прямий (декартовий) добуток S₁ ´ S₂, то закон композиції

S₁ ´ S₂ ® S (6.12)

 

визначає результат операції c як відображення множини S₁ ´ S₂ в множину S, де S = S₁ È S₂. При цьому запис a T b = c означає, що a в композиції з b дає об’єкт c, де об’єкти a і b називаються операндами, символ T позначає операцію, а c – композицію об’єктів a і b.

Розглянемо множину S (досліджувану систему), два довільних елементи a і b (об’єкти) якої утворюють композицію, тобто елемент (об’єкт) c = a T b, де a Î S, b Î S, c Î S. Нехай модель М досліджуваної системи складається з абстрактних об’єктів, які є образами об’єктів системи S. Тоді відображення множин f: S ® М називається гомоморфізмом S в М, якщо для всякої пари (a, b) із S слушно співвідношення [16]:

 

f (a T b) = f (a) ^ f (b). (6.13)

 

При цьому S гомоморфно відображається в М “…відносно операцій T і ^ ” [26, с. 155], а множини S і М, як два групоїда, мають різні властивості (ознаки) відносно визначених на них операцій T і ^.

Очевидно, що наукову модель М досліджуваної системи S можна подати як числову систему з відношеннями (ЧСВ), яка складається з елементів x_і, які є образами об’єктів а_і, де

 

x = (х₁, х₂,…, х_n) (6.14)

 

є вектор, що характеризує сукупність образів об’єктів системи S.

Тоді ЧСВ можна задати кортежом [16]:

 

М = {х_і}, ~; {R_j*}, ~ , (6.15)

 

де R_j* – відношення між елементами x_i, які отримані шляхом гомоморфного відображення R_j → R_j*, і відповідно а_і → х_і (рис.6. 8).

Предметна галузь (ПГ)

Об’єкт аi

v

j

w

f

О

 

 

 

Образ хіоб’єкта аi

Наукова модель об’єкта (М), наукове знання (w)

Навчальна модель об’єкта (М'), навчальне знання (v)

 

 

Рис. 6.8. Cпіввідношення об’єкта ПГ і моделей

 

Гомоморфізм ЕСВ і ЧСВ очевидно означає таке відображення f, що для кожного а_к, а_е {а_і} є такі х_к, х_е { х_і }, що має місце а_к R а_e тоді і тільки тоді, коли маємо х_к R* х_е, де f – символ функції, а елементи системи [14]:

 

х_к = f (a_к), х_е = f (a_е). (6.16)

 

Очевидно, що дослідник може оцінити взаємне розташування об’єктів, міру близькості, реальні чи віртуальні зв’язки між ними. Це дає можливість виділити ряд елементів (образів об’єктів), які входять у певні кластери (скупчення, групи, класи), в кожному з яких вони тісно пов’язані між собою, рівномірно розподілені та мають будь-яку загальну ознаку, що відповідає певній загальній властивості об’єктів, що входять у підсистему ПГ.

Після побудови моделі об’єкта а_і предметної галузі чи моделі системи S, дана модель перевіряється на адекватність. Адекватність моделі означає, що “…вимоги повноти, точності та правильності моделі виконуються не взагалі, а лише у тій мірі, яка достатня для досягнення мети” [17, с. 75].

6.7. Основні етапи побудови наукової моделі предметної галузі

 

Основні етапи побудови наукової моделі ПГ (моделі системи S) такі [14]:

1. Визначення мети побудови моделі системи S. У більшості випадків вказана мета повинна забезпечити ефективне управління (керування) системою, яка виступає як об’єкт управління (керування). Діяння на об’єкт може наблизити нас до досягнення поставленої мети, тобто змінити його стан в бажаному для нас напряму. Процес управління (керування) – це процес цілеспрямованої дії на об’єкт за певним алгоритмом. Примітка. Термін «керування» застосовний для автоматичних систем.

2. Етап ідентифікації системи S. Виділення системи S з оточуючого середовища, її структуризація на об’єкти а_і, , i Î I предметної галузі. Дослідник вивчає структуру ПГ, тобто структуру системи S, склад та властивості об’єктів а_і, у т.ч. характеристичні, тобто атрибути (невід’ємні властивості, істотні ознаки об’єктів) і модуси (різновиди ознак), аналізує взаємодію об’єктів а_і, зв’язки між ними R_j, j Î J, а також їх поведінку – рух, функціонування, розвиток.

3. Етап концептуалізації та побудова дескриптивної (описової, якісної) моделі системи S. Змістовний аналіз ПГ, виявлення закономірностей структури та функцій елементів x_і, які є образами об’єктів а_і, виділення понять і категорій, як форм відображення матеріальних об’єктів а_і і як засобів їх розумового відтворення, аналіз відношень R_j*, j Î J, між поняттями (R_j → R_j*), виявлення метапонять тощо. Якісний опис системи S (формування описової моделі об’єкта управління, включення в неї початкових умов, нормативних значень показників і характеристик у вигляді таблиць, графіків тощо). Вербальна форма моделі пов’язана з нечисловим характером ЕСВ, що означає те, що множина дійсних чисел не може служити її моделлю із-за специфічних властивостей відношень між об’єктами.

4. Етап формалізації, побудова формалізованої моделі системи S (об’єкта управління). Дослідник всі ключові поняття та відношення між ними описує за допомогою неформальної (вербальної), а потім формальної мови. Чітко визначаються всі поняття та терміни, зокрема через діючі державні стандарти, встановлюються параметри системи, її характеристики, залежності між характеристиками і параметрами з врахуванням всіх факторів внутрішнього і зовнішнього середовища та керуючих діянь.

Далі будується формалізована (формальна) модель системи S – схема об’єкта а_і предметної галузі. Вказана модель має достатньо високий рівень абстракції та унаочнюється у вигляді структурно-логічної схеми, продукційного правила, графу, фрейму, семантичної мережі, мережі Петрі тощо.

5. Побудова математичної моделі. За результатами спостережень та вимірів параметрів системи S оформляються в аналітичній формі всі співвідношення, логічні умови та закономірності об’єкта ПГ. Далі будується оптимальна (в сенсі вибраного критерію) математична модель (ММ). Отримують такі ММ: аналітичні, алгоритмічні, імітаційні.

В основі побудови ММ застосовується метод структурної та параметричної ідентифікації [17]. До ММ пред’являються вимоги універсальності, адекватності, точності й економічності.

6. Перевірка адекватності математичної моделі. Адекватність – це властивість ММ, що полягає в здатності моделі відтворювати з необхідною повнотою та точністю ті властивості якості системи S (об’єкта управління), які істотні для цілей даного дослідження. Властивості (атрибути) об’єкта управління математична модель повинна відображати з похибкою не вище заданої, тобто d £ d_зд..

7. На основі формальної моделі та адекватній їй математичної моделі будують змістову модель – модель, яка наповнена змістовою сутністю із заданої ПГ. Змістова модель системи S реалізується у вигляді наукових знань, які зображені або в декларативній формі (хто?, що?) або в процедурній формі (як?). До змістових відносяться такі моделі: морфологічна (структурна, модель типу “чорний ящик” тощо), функціональна, інформаційна тощо. Вказані моделі входять в клас статичних чи в клас динамічних моделей.

8. Перетворення математичної моделі в алгоритм і комп’ютерну програму (цей етап буде розглянутий в наступних темах).

6.8. Приклади аналітичних моделей

 

Розглянемо приклади аналітичних моделей, які з точки зору фізичних процесів, що протікають в системах є:

Неперервні моделі представляють собою системи з неперервними процесами, а дискретні моделі відображають поведінку систем з дискретними станами.

Дискретно-неперервні моделі використовуються, коли на об’єкті виділяються обидва типи процесів.

Якщо при описі моделі використовуються лише лінійні математичні конструкції (наприклад, лінійні алгебраїчні рівняння), то модель називають лінійною, інакше – нелінійною.

Моделі з розподіленими параметрами описують просторове поширення явищ, а моделі з зосередженими параметрами нехтують просторовою складовою.

Статичні моделі, які розробляються для стаціонарних об’єктів, зміни яких у часі не є істотними стосовно періоду розробки та використання моделі.

Вказані моделі описують стан об’єкта у деякий момент часу. Найбільшого поширення серед моделей систем, що будують в умовах невизначеності, набули статистичні та ймовірнісні моделі типу «вхід-вихід», які задають залежність між вихідними показниками системи та її входами. Серед них можна виділити регресійні моделі, якими описують статичні (безінерційні) системи. При цьому висувають припущення, що систему можна описати функціональною залежністю у такому вигляді [8]:

y = h (x, b, z),(6.17)

де: y – вихідна змінна; x = (x₁, x₂,..., x_n) – вектор вхідних змінних, які можна змінювати в деякій області c; b – вектор параметрів функції h; z – вектор неврахованих або невизначених факторів, шумів, похибок (як правило) випадкової природи та ін.

Динамічні моделі відтворюють поведінку нестаціонарних об’єктів, що змінюються у часі. Іншими словами, динамічна модель відображає множину елементів, для якої задана функціональна залежність між часом і положенням в просторі кожного елемента системи. Ця математична абстракція дозволяє вивчати й описувати еволюцію систем в часі. Наприклад, графік очікуваної зміни температури повітря – динамічна модель, так як температура повітря змінюється з часом.

Динамічні неперервні детерміновані моделі з розподіленими параметрами використовують апарат диференціальних рівнянь у частинних похідних, а з зосередженими параметрами – звичайних диференціальних рівнянь.

Як приклад динамічної моделі можна навести модель (закон) руху матеріальної точки. Пьєр-Симон Лаплас на початку XIX ст. висунув свою теорію, відповідно до якої кожний наступний стан механічної системи є наслідком попереднього. Більш цього, існує теоретична можливість прорахувати будь яку подію виходячи з попереднього стану і законів механіки.

Не розглядаючи філософські аспекти принципу детермінізму Лапласа та його обмеження, зазначимо, що якщо на матеріальну точку маси m, прикладена сила F, яка залежить від часу t, положення точки по відношенню до початку декартової системи координат (задається радіусом-вектором r) і від швидкості руху v, тобто F (t, r, v), то за умови руху вздовж осі абсцис будемо мати неперервну модель з розподіленими параметрами у формі диференціального рівняння руху в такому вигляді:

 

m = F_x (t, x, v_x), (6.18)

де x – координата матеріальної точки в момент t, тобто x(t); v_x – проекція на вісь абсцис швидкості точки в момент t, тобто v_x (t) = .

Задаємо початкові умови, тобто для деякого моменту часу t = t₀ (початковий момент) маємо початкове положення точки і початкову її швидкість:

x |_{t = 0} = x₀; v_x (t) |_{t = 0} = v₀ = . (6.19)

 

Інтегрування диференціального рівняння другого порядку (6.18), в якому невідомою функцією є координата рухомої точки x, а аргументом – час t, дає загальний розв’язок (загальний інтеграл) у такому вигляді:

 

x = x (t, с₁, с₂). (6.20)

 

Постійні інтегрування (с₁, с₂) знаходять за початковими умовами, розв’язуючи систему рівнянь:

 

(6.21)

Таким чином, отримаємо часткові рішення диференціального рівняння (6.18), яке задовольняє заданим початковим умовам (6.19), у вигляді:

 

x = x (t, x₀, ). (6.22)

 

Це і є закон руху матеріальної точки під дією заданої сили при визначених початкових умовах, як розв’язок другої (основної) задачі динаміки. Іншими словами, рівняння (6.22) є прикладом детермінованої («жорсткої») моделі, яка однозначно описує логіку поведінки (руху) матеріальної точки в силовому полі.

Зазначимо, що модель системи називається детермінованою, якщо кожній реалізації її вхідного сигналу відповідає одна визначена реалізація вихідного сигналу. Нехай x(t) – вхідний сигнал детермінованої системи, який являє собою неперервну скалярну або n-вимірну векторну функцію часу t; y(t) – вихідний сигнал, який представляє собою неперервну скалярну або n-вимірну векторну функцію часу t. Оператор А детермінованої системи відображає простір неперервних функцій в такий же простір (рис. 6.9).

 

Об’єкт Z

 

x(t) y(t)

 

 

Рис. 6.9. Детермінована система

 

Тоді співвідношення між вхідним і вихідним сигналами детермінованої системи Z можна записати у вигляді операторного рівняння:

 

y(t) = А x(t). (6.23)

 

Детермінована система Z називається фізично можливою, якщо значення її вихідного сигналу y(t) в кожний момент часу t не залежить від значень вхідного сигналу x(t) при t > t. Таким чином, значення вихідного сигналу y(t) фізично можливої системи Z в кожний момент t є функціоналом від вхідного сигналу x(t), заданого в інтервалі t₀ £t £ t [23].

Зазначимо, що основною характеристикою системи Z є її оператор А, який визначає механізм формування вихідного сигналу y(t) по даному вхідному сигналу x(t). При цьому, оператор детермінованої системи ставить у відповідність кожному вхідному сигналу один визначений вихідний сигнал. Отже, оператор детермінованої системи відображає простір вхідних сигналів в простір вихідних сигналів.

Система називається лінійною, якщо при будь-яких числах N, c₁, c₂,…, c_N і при будь-яких функціях x₁(t), x₂(t),…,x_N(t) виконується принцип суперпозиції:

 

(6.24)

 

Як наслідок, системи, для яких справедливий принцип суперпозиції, називаються лінійними системами. Поведінка цих систем описується лінійними алгебраїчними і звичайними диференціальними рівняннями. Звично останні рівняння можна представити в стандартній формі Коші, тобто у вигляді системи рівнянь першого порядку, розв’язаних відносно похідних.

В супротивному випадку матимемо нелінійну систему, для якої вихідний сигнал y(t) є функцією поточного значення її вхідного сигналу x(t), тобто

 

y(t) = j (x(t), t) (6.25)

 

Поведінка нелінійної системи описується системою нелінійних диференціальних рівнянь у формі Коші. Якщо Т – оператор транспонування, z(t) = [z₁(t), z₂(t),…, z_p(t)]^T – вектор стану системи, x(t) = [x₁(t), x₂(t),…, x_n(t)]^T – векторний вхідний сигнал, y(t) = [y₁(t), y₂(t),…, y_m(t)]^T – векторний вихідний сигнал, то диференціальні рівняння, які описують поведінку системи, в загальному випадку запишуться у вигляді

 

= f (z, x, t), y = j (z, t), (6.26)

 

де f – p-мірна векторна функція векторів z, x і часу t, а j – m- мірна векторна функція вектора z і часу t. При початковому стані системи z₀ = z (t₀) рівняння (6.26) повністю і однозначно визначають оператор системи.

Як показано в [23], детерміновану систему з кінцевомірним вектором стану і значеннями вхідного і вихідного сигналів, які описуються звичайним диференціальним рівнянням і формулою для вихідного сигналу виду (6.26) називають диференціальною системою.

Якщо в (6.26) праві частини замінити випадковими функціями p-мірного вектора z, n-мірного вектора x і часу t (при цьому, як правило, F від x не залежить), то будемо мати диференціальні рівняння для стохастичної системи:

 

= F (z, x, t), Y = F (z, t), (6.27)

 

де F (z, x, t) і F (z, t) – випадкові функції p-мірного вектора z, n-мірного вектора координати x і часу t.

Внаслідок випадковості правих частин рівняння (27) і, можливо, також початкового значення вектора стану Z₀ = Z₀ (t), вектор стану системи Z і вихідний сигнал Y в кожний даний момент t являють собою випадкові величини. Тобто маємо диференціальні рівняння зі випадковими функціями в правих частинах.

Таким чином, для моделювання нестаціонарних імовірнісних процесів використовують стохастичні моделі, тобто моделі, в яких застосовуються одна або більше випадкових величин для врахування невизначеності процесу, або в якій вхідні дані будуть представлені відповідно до деякого статистичного розподілу.

Якщо об’єкт моделювання стаціонарний і піддається випадковим впливам, то модель називають статистичною. Наприклад, для моделювання функцій перетворення вимірювальних пристроїв досить скористатися детермінованим способом опису, тоді як для аналізу похибок, оцінки інформаційних характеристик необхідно застосувати ймовірнісно-статистичні методи.

Алгоритмічні моделі – моделі, в яких критерії та (або) обмеження описуються математичними конструкціями, які включають логічні умови, які спричиняють до розгалуження обчислювального процесу. Зазначимо, що алгоритм – точний припис (формалізований і конструктивний), який задає алгоритмічний процес, що починається з довільних вихідних даних і спрямований на отримання повністю визначеного цими даними результату.

Зазначимо, що комплекс приписів або процедура – це конструктивно визначена система правил, інструкцій для виконання окремих дій. В свою чергу, алгоритмічний процес – процес послідовного перетворення конструктивних об’єктів (слів, чисел, речень), який відбувається дискретними кроками; кожний крок полягає в зміні одного конструктивного об’єкта іншим.

Таким чином, алгоритмічні ММ виражають зв’язки вихідних параметрів з параметрами внутрішніми і зовнішніми (див. рис. 6.7):

 

Y = Y (X, Z, G). (6.28)

 

Збурювальні параметри можуть або не враховуватися або входити як складова частина до зовнішніх параметрів. Тоді маємо

 

Y = Y (X, Z). (6.29)

 

Вказаний зв’язок в алгоритмічних ММ реалізується в формі алгоритму. В більш загальному випадку, типовою алгоритмічною моделлю є розглянута вище система рівнянь L V (U) = j (U), яка доповнена алгоритмом вибраного чисельного методу рішення та алгоритмом обчислення вектора вихідних параметрів як функціоналів V (U) розв’язання системи рівнянь.

6.9. Моделі, які базуються на нечіткій логіці

 

В основі нечіткої логіки лежить теорія нечітких множин, викладена в серії робіт Л. Заде в 1965-1973 роках [36]. У 1970 році Беллман спільно з Заде розробили теорію прийняття рішень в нечітких умовах. Крім того, чималу роль у розвитку нечіткої логіки зіграло доказ Б. Коско знаменитої теореми FAT (Fuzzy Approximation Theorem), в якій стверджувалося, що будь-яку математичну систему можна апроксимувати системою на основі нечіткої логіки.

Спочатку наукова спільнота не бачила в новій теорії практичного застосування та зводила нечіткість до проблем теорії ймовірностей. Проте у 1975 році І. Мамдані спроектував перший функціонуючий на основі алгебри Заде контролер, що керує паровою турбіною. У середині 80-х років був створений керуючий мікропроцесор на основі нечіткої логіки, здатний автоматично вирішувати відому задачу «про собаку, яка наздоганяє кота Нечіткі експертні системи для підтримки прийняття рішень знайшли широке застосування в техніці, медицині та економіці. У кінці 90-х років з’являються пакети програм для побудови нечітких експертних систем. Нині галузь застосування нечіткої логіки помітно розширилася: автомобільна, аерокосмічна, транспортна промисловість, галузь виробів побутової техніки, сфера фінансів, аналізу та прийняття управлінських рішень, воєнна справа та багато інших.

Математична теорія нечітких множин (fuzzy sets) і нечітка логіка (fuzzy logic) є узагальненнями класичної теорії множин і класичної формальної логіки. Основною причиною появи нової теорії стала наявність нечітких і наближених міркувань при описі людиною об’єктів, процесів, явищ, ситуацій.

Нечітка множина оперує поняттям «характеристична функція». В класичній теорії множин характеристичною функцією (індикаторною функцією, індикатором) підмножини A Í X називається функція Y(x), яка визначена на множині X, і визначає належність елемента x Î X підмножині A.

В теорії ймовірностей характеристична функція використовується в іншому значенні, а саме: під характеристичною функцією Y(x) випадкової величини X розуміють математичне сподівання випадкової величини , тобто

Y(x) = М () (6.30)

де t— дійсний параметр.

Якщо F (x) функція розподілу X, то

Y(x) = (6.31)

У випадку дискретного розподілу маємо ряд Фур’є з коефіцієнтами p_k, тобто

Y(x) = (6.32)

У випадку неперервного розподілу маємо перетворення Фур’є

Y(x) = (6.33)

Для переходу до нечітких множин уведемо декілька понять.

Універсальна множина (універсум) – в теорії множин така єдина множина U, для якої перетин цієї множини з будь-якою множиною X збігається з цією множиною X, тобто формально: " X: X Ç U = X. Таким чином, будь-яка множина X повністю міститься в універсальній множині U.

Для будь-якої множини X справедливо: X È U = U. Очевидно,будь-який об’єкт x, який входить до класу X, незалежно від його природи, є елементом універсальної множини, тобто: " X: x Î U. Будь-яка множина М є підмножиною універсальної множини, тобто: " М: М Í U.

В теорії нечітких множин характеристична функція (індикатор) підмножини М Í U називається функцією належності μ_м(х):

μ_м(х) = . (6.34)

Значення функції належності μ_м(х) вказують, чи є x Î U елементом множини М.

Головна відмінність теорії нечітких множин від класичної теорії чітких множин полягає в тому, що якщо для чітких множин результатом обчислення характеристичної функції можуть бути тільки два значення – 0 або 1, то для нечітких множин це кількість нескінченна, але обмежена діапазоном від нуля до одиниці.

Більш строге визначення: нечіткою множиною М називається сукупність пар

M = { x, μ_м(х) | xÎ U }, (6.35)

де μ_м(х) – функція належності Л.Заде.

Інше позначення нечіткої множини таке

M = {< μ_м(х) | х >}. (6.36)

Функція належності Л.Заде μ_м(х) – ступінь упевненості в належності елемента x універсальної множини U, яка ставить у відповідність кожному із елементівх Î U деяке дійсне число із інтервалу [0, 1].Вказана функція визначається у формі нечіткого імплікативного відображення:

 

μ_м(х): U ® [0, 1], де 0 £ μ_м(х) £ 1, (6.37)

 

де знак ® є знаком імплікації («якщо, то»).

При цьому μ_м (х) = 1 для деякогох Î U означає, що елементx абсолютно вірогідно (достовірно) належить нечіткій множині M = { x, μ_м(х) }, а значення μ_м(х) = 0 – елементx точно не належить нечіткій множині M.

Множину M можна подати так:

 

M = { (x₁, μ_м(х₁)), (x₂, μ_м(х₂)), …, (x_n, μ_м(х_n) }, (6.38)

 

де n – число елементів множини M (М Í U). Наприклад, для n = 6 маємо:

M = { (x₁, 0), (x₂, 0,1), (x₃, 0,5), (x₄, 0,7), (x₅, 0,9), (x₇, 1)) }.

 

Отримане означає, що елемент x₁ не належить множині M, елемент x₂ належить множині M в малому ступені, елемент x₃ наполовину належить множині M, елемент x₄ більше належить множині M ніж не належить, елемент x₅ в значній мірі належить множині M, елемент x₇ є елементом множини M.

Як приклад 1 розглянемо універсальну множину U у виглядімножини дійсних чисел. Тоді нечітка множина А, яка позначає підмножину чисел, близьких до 10, може бути задана такою функцією належності μ_А (х) для m Î N, де m – показник ступеня належності до множини А (рис. 6.10):

(6.39)

 

Як приклад 2 розглянемо дві множини: нечітку множину А «від 5 до 8» і нечітку множину В «близько 4». Вказані множини задані своїми функціями належності (рис. 6.11).

Таким чином, функція належності μ_м(х) вказує ступінь (або рівень) належності елемента x до підмножини M, а значить і належність елемента x до універсальної множини U, де М Í U.

Нехай U – універсальна множина, x – елемент U, а x – певна властивість. Звичайна (чітка) підмножина М універсальної множини U, елементи якої задовольняють властивості x, визначається як множина впорядкованої пари М = { μ_м (х) / х}, де μ_м (х) – характеристична функція, що приймає значення 1, якщо x задовольняє властивості x, і 0 – в іншому випадку.

 

Рис. 6.10. Графік функції належності для лінгвістичної змінної «ступінь близькості до 10» для опису безлічі чисел, дуже близьких до 10 (штрихова крива), можна покласти m = 4, а для безлічі чисел, не дуже далеких від 10, можна покласти m = 1 (суцільна крива)

Рис. 6.11. Графіки функцій належності для нечітких множин А і В

 

Нехай A – нечітка підмножина з елементами універсальної множини U і множиною належності M. Нехай U – універсальна множина, x – елемент U, а x – певна властивість. Нечітка підмножина A відрізняється від звичайної тим, що для елементів x з U немає однозначної відповіді «ні» або «так» відносно властивості x. Якщо нечітка підмножина набуває тільки граничних значень A = В = {0; 1}, то нечітка підмножина Aможе розглядатися як чітка множина. Отже, чітку множину В можна розглядати як граничний випадок нечіткої множини A, функція належності якої µ _А (х) набуває лише бінарних значень.

Та роль, яку в класичній теорії множин відіграє двозначна булева логіка, в теорії нечітких множин відіграє багатозначна нечітка логіка, в якій припущення про належність об’єкта множині можуть приймати дійсні значення в інтервалі від 0 до 1.

Розглянемо приклад 3, наведений в [7] у наших позначеннях. Обмірковується поняття, яке визначається словом «швидкий» (fast). Як об’єкт береться автомобіль (car), який має швидкість (speed), яка перевершує (top) якесь значення. У даному випадку для класичної множини А «швидких автомобілів, які мають швидкість більше 150 км за год» маємо характеристичну функцію:

 

f (x) = (6.40)

 

Множина, яка визначена такою характеристичною функцією, подається формулою

 

{X Î CAR|TOP-SPEED (X) > 150}. (6.41)

 

Інтуїтивно здається природним, що для множини (категорії) М «швидких» автомобілів окремий автомобіль (об’єкт) більш-менш підходить. Для цього введемо другу характеристичну функцію μ_м(х), яка характеризує ступінь належності об’єктів х множині М. Дана функція визначена на інтервалі [0, 1]. Якщо для об’єкта х функція μ_м(х) = 1, то об’єкт певно (точно) є членом множини М,якщоμ_м(х) = 1, то об’єкт певно не являється членом множини М. Всі проміжні значення означають ступінь членства об’єкта х в даній множині, хоча границі цієї множини розмиті.

Таким чином, членами множини М стають пари (об’єкт, ступінь), наприклад:

 

M = FAST-CAR = {(Porche, 0,9), (BMW, 0,5), (Жигулі, 0,1) }. (6.42)

 

Смисл виразу FAST-CAR (Porche) = 0,9 полягає в тому, що ми тільки на 90% впевнені в належності автомобіля Порше до швидких автомобілів із-за невизначеності самого поняття «швидкий автомобіль». Цілком резонно припустити, що існує деяка впевненість в тому, що Porche не належить до швидких автомобілів, наприклад він не може зрівнюватися з автомобілями, які приймають участь в гонках «Формула – 1».

Нечітка змінна визначається як

 

< z, Z, A >, (6.43)

де: z – найменування змінної; Z = {z} – область визначення змінної (набір можливих значень z); A = {< µ_А(z) | z >} – нечітка множина, що описує обмеження на можливі значення змінної z(семантику).

Нечітка змінна – це теж саме, що і нечітке число, тільки з додаванням імені, яким формалізується поняття, що описується цим числом. Для людини зручніше задавати значення змінної не числами, а словами. Щодня ми приймаємо рішення на основі лінгвістичної інформації типу: «дуже висока температура»; «утомлива поїздка»; «швидка відповідь»; «красивий букет»; «гармонійний смак» і тому подібне. Психологи встановили, що в людському мозку майже вся числова інформація вербально перекодується і зберігається у вигляді слів.

Лінгвістична змінна – це множина нечітких змінних. Вона використовується для того, щоб дати словесний опис деякому нечіткому числу, отриманому в результаті деяких операцій.

Інше визначення: Лінгвістичною змінною називається змінна, що приймає значення з множини слів або словосполучень деякої природної мови. Вона використовується для того, щоб дати словесний опис деякому нечіткому числу, отриманому в результаті деяких операцій. Наприклад, змінна «швидкість автомобіля» може набувати таких значень: «низька», «середня», «висока» і «дуже висока». В цьому випадку лінгвістичною змінною є «швидкість автомобіля», термами – лінгвістичні оцінки «низька», «середня», «висока» і «дуже висока», які і складають терм-множину.

Словосполучення «швидкий автомобіль» є лінгвістичною змінною.Поняття лінгвістичної змінної відіграє важливу роль в нечіткому логічному виведенні та в ухваленні рішень на основі наближених міркувань. Формально лінгвістична змінна описується таким кортежем:

< x, T, U, П_синт., П_сем. >, (6.44)

де x – ім’я змінної; T – терм-множина, кожен елемент якої задається нечіткою множиною на універсальній множині U; П_синт.– синтаксичні правила (часто у вигляді граматики), що породжують назву термів; П_сем. – семантичні правила, що задають функції належності нечітких термів, породжених синтаксичними правилами з П_синт.

Зазначимо, що терм – клас логічних понять, який складається з предметних змінних і предметних констант (конкретних значень аргументів). Змінна, від якої залежить одномісний предикат P(x), називається предметною змінною. Елементи з області визначення предиката називаються предметними константами [11].

Терм-множина – це множина всіх можливих значень лінгвістичної змінної. Терм – будь-який елемент терм-множини. У теорії нечітких множин терм формалізується нечіткою множиною за допомогою функції належності. Очевидно, нечіткий терм – це нечітка множина, яка має властивість, якій відповідає певне поняття. Приклад 5. Подати у вигляді нечіткої множини поняття «Чоловік середнього зросту») на універсальній множині U={155,160,165,170,175,180,185,190}. Розв’язання задачі. Одне з можливих рішень виглядає так: A = (0/155, 0,1/160, 0,3/165, 0,8/170, 1/175, 1/180, 0,5/185, 0/190).

Рис. 6.12. Функції належності нечітких множин: «Мала товщина» – A₁, «Середня товщина» – А₂, «Велика товщина» – А₃

Сьогодні елементи нечіткої логіки можна знайти в десятках промислових виробів – від систем керування електропоїздами і бойовими вертольотами до пилососів і пральних машин. Рекламні кампанії багатьох фірм (переважно японських) підносять успіхи у використанні нечіткої логіки як особливу конкурентну перевагу. Без застосування нечіткої логіки немислимі сучасні ситуаційні центри керівників західних країн, у яких приймаються ключові політичні рішення і моделюються всілякі кризові ситуації. Одним із вражаючих прикладів масштабного застосування нечіткої логіки стало комплексне моделювання системи охорони здоров'я і соціального забезпечення Великобританії (National Health Service – NHS), що вперше дозволило точно оцінити й оптимізувати витрати на соціальні нестачі.

Найбільш важливим застосуванням теорії нечітких множин є контролери нечіткої логіки. Їх функціонування дещо відрізняється від роботи звичайних контролерів. Для опису системи замість диференційних рівнянь використовуються знання експертів. Ці знання можуть бути виражені за допомогою лінгвістичних змінних, які описані нечіткими множинами. Загальна структура мікроконтролера, що використовує нечітку логіку, показана на рис.13. Вона містить у своєму складі наступні складові:

· блок фазіфікації;

· базу знань;

· блок рішень;

· блок дефазіфікації.

Блок фазіфікації перетворює чіткі величини, виміряні на виході об’єкта керування, у нечіткі величини, що описані лінгвістичними змінними в базі знань. Блок рішень використовує нечіткі умовні правила, типу «якщо – то» («if – then»), закладені в базі знань, для перетворення нечітких вхідних даних у необхідні керуючі впливи, що носять також нечіткий характер. Блок дефазіфікації перетворює нечіткі дані з виходу блоку рішень у чітку величину, що використовується для керування об’єктом.

Рис. 6.13. Загальна структура нечіткого мікроконтролера

Як приклад відомих мікроконтролерів, що підтримують нечітку логіку можна назвати 68HC11, 68HC12 фірми Motorola, MCS-96 фірми Intel, а також деякі інші. Всі системи з нечіткою логікою функціонують за одним принципом: показання вимірювальних приладів: фазіфікуються (перетворюються в нечіткий формат), обробляються, дефазіфікуються й у вигляді звичайних сигналів подаються на виконавчі пристрої.

Більш адекватні реальним виробничим ситуаціям є нелінійні алгоритми керування, зокрема в електроприводі, які реалізуються за допомогою фазі-логіки і моделі нейронної мережі.

Перший спосіб базується на теорії нечіткого керування і дозволяє досягти м’якої адаптації до змін умов процесу керування при неточних і неповних вихідних даних про об’єкт керування.

Другий спосіб припускає навіть відсутність опису об’єкта керування і базується на багатоканальній моделі нервово-мозкової системи людини, яка здатна до самонавчання.

Роль швидкодіючих пристроїв програмної обробки інформації відіграють мікропроцесори (МП), а формування алгоритмів керування здійснюється мікроконтролерами.

На основі мікропроцесорів й елементів штучного інтелекту конструктивно формується інтелектуальний модуль. Останнім часом розроблені та впроваджені об’єктно-орієнтовані електроприводи на основі сигнальних мікроконтролерів (СМ), які в свою чергу базуються на сигнальних МП – самоналагоджувальних систем з ідентифікацією параметрів виконавчого електродвигуна і навантаження. Електроприводи на основі СМ незамінні для автоматичного керування електрообладнанням, тому що їх сигнальні МП мають не фон Неймановську, а Гарвардську архітектуру (багатошинну структуру), що дозволяє досягти продуктивності не менше 20 млн. операцій за секунду, тобто обробку інформації від датчиків у реальному масштабі часу [15].