Распределение Пуассона П(l)

 

Случайная величина X имеет распределение Пуассона, если она принимает любые целые неотрицательные значения m=0,1,2,… с вероятностями

. (2)

Число l называется параметром распределения Пуассона. Множество случайных величин, имеющих распределение Пуассона с параметром l, будем обозначать П(l).

Таким образом, X может принимать счетное множество значений, и закон распределения этой случайной величины задается следующей таблицей

 

На рис.4 показаны вероятности P(X=m) значений распределения Пуассона при l=0,5 и l=2 соответственно.

Рис.4. Вероятности значений распределения Пуассона

 

Распределение Пуассона играет важную роль в физике, теории связи, теории надежности, теории массового обслуживания и т.д. - всюду, где в течение определенного времени может происходить случайное число каких-то событий: радиоактивных распадов, появления метеоритов, телефонных вызовов, помех в каналах связи, отказов оборудования, дорожных происшествий, несчастных случаев и т.д.

Распределение Пуассона является предельным для биномиального распределения, если в схеме Бернулли число испытаний n стремится к бесконечности, а вероятность p появления события в каждом испытании стремится к нулю, причем так, что . Отсюда получаем приближенную формулу

,

пригодную для практических расчетов. Этой формулой рекомендуется пользоваться, если , а .

Для распределения Пуассона , , .

Пример 3. Вероятность выпуска дефектного изделия равна . Из продукции выбрано n=5000 изделий. Найти вероятность того, что среди них окажется два или более дефектных изделия.

Параметр l равен . Определим требуемую вероятность

.

Так как , а , то искомая вероятность равна

.

При точных расчетах .

Определение вероятностей случайной величины X, подчиненной распределению Пуассона с параметром l=0,4, выполненное в Excel, показано на рис.5.

 

Рис.5. Распределение Пуассона П(0,4)

 

В ячейке C2 находится значение параметра l=0,4. В ячейках A5:A9 содержатся возможные значения распределения Пуассона: 0,1,2,3,4; значения 5,6,… опущены. В ячейках B5:B9 - вероятности этих значений, вычисленные по формуле (2), так содержимое ячейки B5 равно

B5 = ПУАССОН(A5;$C$2;ЛОЖЬ).

Ячейки C5:C9 содержат накопленные суммы вероятностей, а именно, C5 = B5, C6 = C5+B6, C7 = C6+B7, и т.д.

Разыгрывание случайной величины, подчиненной распределению Пуассона, производится по формуле:

,

где - равномерно распределенное случайное число из промежутка [0;1]. Например, чтобы получить 10 значений случайной величины, надо в ячейку E3 записать СЛЧИС(), а в ячейку F3 - формулу

= ЕСЛИ(E3<$C$5;$A$5;ЕСЛИ(E3<$C$6;$A$6;ЕСЛИ(E3<$C$7;

$A$7;ЕСЛИ(E3<$C$8;$A$8;$A$9)))).

После копирования содержимого пары ячеек E3:F3 на блок E4:F12 в ячейках F3:F12 получим 10 значений случайной величины, имеющей распределение Пуассона.