Изучение явления дифракции

Целью настоящей работы является ознакомление с явлением дифракции и экспериментальное определение длины световой волны при помощи дифракционной решетки.

2.1.Теоретическое введение

Дифракцией света называется явление отклонения световых лучей от прямолинейного направления при ограничении световых пучков какими-либо преградами (узкие отверстия, щели, резкие края препятствий). Явление дифракции можно представить как огибание световыми волнами преград, стоящих на их пути. Масштаб огибания зависит от отношения размеров преграды к длине волны.

Дифракция легко наблюдается, если размеры преграды, например, щели, через которую проходит свет, соизмеримы с длиной волны в пределах нескольких порядков.

В зависимости от схемы наблюдения дифракционные явления условно разделяют на дифракцию Френеля и дифракцию Фраунгофера.

Дифракция Френеля наблюдается в расходящихся пучках лучей, когда на пути фронта световой волны располагается лишь непрозрачный экран B, частично загораживающий этот фронт (рис.2.1). Дифракционная картина наблюдается на другом экране A, параллельном экрану В.

В случае дифракции монохроматического света на небольшом круглом отверстии в непрозрачном экране дифракционная картина имеет вид чередующихся светлых и темных концентрических колец.

Дифракция Фраунгофера наблюдается в параллельных лучах. Чтобы этот тип дифракции осуществить, достаточно точечный источник света поместить в фокусе собирающей линзы, а дифракционную картину исследовать в фокальной плоскости второй собирающей линзы, установленной за препятствием (рис.2.2).

 

В случае дифракции монохроматического света на узкой длинной щели в непрозрачном экране дифракционная картина представляет собой чередование темных и светлых полос, симметрично расположенных по обе стороны от центральной светлой полосы.

Дифракция обнаруживает волновые свойства света и может быть объяснена с помощью принципа Гюйгенса-Френеля, согласно которому волновое возмущение в любой точке пространства можно рассматривать как результат интерференции когерентных вторичных волн от фиктивных источников, на которые можно разбить волновую поверхность световой волны, распространяющейся от реального источника. Френель предложил разбивать волновую поверхность на кольцевые зоны, построенные так, что расстояния от краев каждой зоны до точки наблюдения отличаются на λ/2 (λ - длина волны в той среде, в которой распространяется волна). Обладающие таким свойством зоны носят название зон Френеля (рис.2.3).

 

 

Колебания, возбуждаемые в точке М двумя соседними зонами, противоположны по фазе, т.к. разность хода от сходственных точек этих зон до точки М равна λ/2. Поэтому при наложении эти колебания будут взаимно ослаблять друг друга, а амплитуда A результирующего светового колебания в точке М может быть представлена в виде:

А=А₁-А₂+А₃-А₄+...,

где A - амплитуда колебаний, возбуждаемых i -й зоной. Значение A_i зависит от площади i -й зоны и от угла между нормалью к поверхности зоны и направлением на точку М.

 

2.1.1. Дифракция на щели

Рассмотрим дифракцию Фраунгофера на щели. Пусть монохроматический свет от источника 1 (рис.2.4) освещает щель 2, находящуюся в фокальной плоскости линзы 3. Выйдя из линзы, параллельный пучок лучей падает на щель ВС, расположенную перпендикулярно плоскости рисунка. Ширина щели равна а.

Каждая точка волнового фронта, достигшего щели, согласно принципу Гюйгенса-Френеля, является источником вторичных сферических волн, вследствие чего лучи от щели пойдут не только в первоначальном направлении, но и под различными углами φ к этому направлению. Эти лучи называются дифрагированными, а угол φ - углом дифракции.

Если ширина щели соизмерима с длиной волны λ монохроматического света от источника 1, то на экране 6, помещенном в фокальной плоскости линзы 5, наблюдается дифракционная картина.

Найдем освещенность в точке P экрана, в которой соберутся лучи, дифрагированные под углом φ. Для этого разобьем открытую часть волновой поверхности в плоскости щели ВС на зоны Френеля, имеющие вид полос, параллельных краям щели. Всего на ширине щели уместится Δ/(λ/2) зон, где Δ - разность хода между крайними лучами ВМР и CNP. Из треугольника BCD имеем:

Δ = BD =а•sin φ, (2.2)

где D - основание перпендикуляра, опущенного из точки C на луч ВМ (СД - фронт волны, дифрагированной под углом φ).

Если, например, Δ = 2λ, то Δ/(λ/2) =4, т.е. 0 число зон Френеля равно 4 (рис. 2.5). Все зоны излучают свет в рассматриваемом направлении совершенно одинаково, причем колебания, возбуждаемые в точке P двумя соседними зонами, равны по амплитуде и противоположны по фазе.

Из выражения (2.2) вытекает, что число зон Френеля, укладывающихся на ширине щели, зависит от угла φ. Если угол φ таков, что разность хода между крайними лучами пучка равна четному числу полуволн (что соответствует четному числу зон Френеля), то на экране будет наблюдаться дифракционный минимум, так как колебания от каждой пары соседних зон взаимно погашают друг друга. Если же угол φ таков, что разность хода между крайними лучами пучка равна нечетному числу полуволн (что соответствует нечетному числу зон Френеля), то будет наблюдаться дифракционный максимум, соответствующий действию одной нескомпенсированной зоны Френеля.

Таким образом, при дифракции от одной щели положение максимумов определяется условием:

а•sin φ = ±(2k+1)λ/2, где k=1,2,3,.... (2.3)

Для минимумов:

а•sin φ = ±2k (λ/2), где k=1,2,3..... (2.4)

При φ =0 все лучи, проходящие через щель, соберутся в главном фокусе линзы F. Разность хода между всеми этими лучами равна нулю, поэтому произойдет их взаимное усиление, и в точке F будет наблюдаться самый яркий центральный максимум.

С ростом k ширина зон Френеля и интенсивность максимумов быстро уменьшается. Распределение интенсивности света на экране для монохроматического света приведено на рис.2.6.

2.1.2. Дифракция на дифракционной решетке

Одномерная дифракционная решетка представляет собой систему из большого числа одинаковых параллельных щелей, разделенных также одинаковыми непрозрачными промежутками. Если а и в - соответственно ширина прозрачного и непрозрачного промежутков, то величина d = а + b называется постоянной решетки или ее периодом.

Дифракционные решетки изготовляют методом нанесения тонких штрихов (царапин) на поверхность стеклянной пластинки (прозрачная решетка) или металлического зеркала (отражательная решетка).

Дифракционной решеткой может служить совокупность большого числа любых неоднородностей (отверстий и преград) на плоскости или в объеме; в последнем случае решетка называется пространственной. Например, трехмерную пространственную решетку представляют собой кристаллы твердых тел.

Схема наблюдения дифракции на прозрачной решетке представлена на рис.2.7.

На дифракционную решетку падает пучок параллельных лучей перпендикулярно к плоскости, в которой лежат щели. Решетка 1 вызывает дифракцию световых лучей, и на экране 3, помещенном в фокальной плоскости линзы 2, образуется дифракционная картина. Явлению дифракции сопутствует явление интерференции - наложение когерентных дифрагированных волн друг на друга.

Каждая щель решетки дает дифракционную картину в соответствии c уже описанной. При этом дифракционные максимумы и минимумы налагаются друг на друга. Однако основные черты общей дифракционной картины определяются как результат взаимной интерференции волн, идущих от всех щелей, т.е. в дифракционной решетке осуществляется многолучевая интерференция когерентных дифрагированных пучков света.

Выберем пучки от каждой щели решетки, распространяющиеся под одинаковым углом φ к нормали к дифракционной решетке. Собранные линзой 3 в одну линию (проходящую через точку P экрана), эти лучи проинтерферируют. Если общее число щелей в решетке N, то и интерферируют между собой N пучков. Результат интерференции будет зависеть от разности хода Δ между пучками. Так как щели находятся друг от друга на одинаковых расстояниях, то и разности хода лучей, идущих от двух соседних щелей, будут для данного направления φ одинаковы в пределах всей решетки:

Δ = (a + b) sin φ = d sin φ. (2.5)

Этой разности хода соответствует разность фаз

δ =2π•(Δ/λ)=2π•(d•sin φ)/λ. (2.6)

Если

δ = ±2πk, (2.7)

то колебания от всех щелей придут в точку P в одинаковой фазе, и будут взаимно усиливать друг друга. Амплитуда колебаний в этой точке равна:

A_max = NA, (2.8)

где A - амплитуда колебания, посылаемого одной щелью под углом φ.

Из соотношений (2.6) и (2.7) получим условие максимумов интенсивности:

d•sin φ= ±kλ, где k=0, 1, 2... (2.9)

Максимумы, определяемые данным условием, называются главными. Число k дает порядок главного максимума. Центральный максимум представляет собой максимум нулевого порядка. По обе стороны от него располагаются максимумы 1-го, 2-го и т.д. порядков.

Интенсивность главных максимумов J_max в N² раз больше интенсивности J_ф, создаваемой в направлении φ одной щелью. Действительно, возведя равенство (2.8) в квадрат, получим:

J_max=N²J_ф. (2.10)

Главные минимумы при дифракции света на дифракционной решетке наблюдаются под углами дифракции φ, соответствующими минимумам при дифракции на одной щели:

а•sin φ= ±kλ, где k=1, 2, 3... (2.11)

В этих направлениях каждая из щелей не дает света (сама себя гасит).

Более детальный анализ многолучевой интерференции в дифракционной решетке показывает, что в промежутках между соседними главными максимумами имеется N-1 дополнительных минимумов и соответственно N-2 вторичных максимумов, интенсивность которых пренебрежимо мала по сравнению с главными максимумами.

В монохроматическом свете дифракционная картина имеет вид узких и ярких главных максимумов, разделенных практически темными широкими промежутками. Таким образом, световая энергия, падающая на решетку, перераспределяется ею так, что большая ее часть приходится на максимумы, а в минимумы попадает незначительная часть энергии. При увеличении числа щелей яркость главных максимумов возрастает, а вторичных уменьшается.

При освещении решетки белым светом условия максимума (2.9) и минимума (2.11) будут справедливы для всех длин волн, и дифракционный спектр будет в виде окрашенных максимумов для λ₁, λ₂, λ₃,... Как видно из формулы (2.9), в центре (φ=0) будет белая полоса, максимум нулевого порядка для λ₁, λ₂, λ₃,.... По обе стороны от нулевого будут располагаться максимумы 1, 2,... порядков для λ₁, λ₂,.... Эти максимумы, сливаясь друг с другом, образуют окрашенные полосы - спектры 1, 2,... порядков. Причем, чем короче длина волны, тем ближе расположен максимум к центральному, что видно из d•sin φ= ±kλ. При k=1 возникнут два спектра первого порядка (правый и левый), расположенных фиолетовыми концами к центральной белой полосе (λ_фиол.<λ_{красн .}). При k=2, 3,... аналогично, спектры второго, третьего и т.д. порядков (рис. 2.9.).

 

2.2. Выполнение работы.

Упражнение 1. Определение длины световой волны при помощи дифракционной решетки.

Приборы и принадлежности: источник света - лампа накаливания, оптическая скамья со шкалой, дифракционная решетка.

 

Длина волны определяется из условия главного максимума:

d•sin φ=k λ,

откуда λ=(d/k)•sin φ. Так как из треугольника всо: sin φ ≈ l/Д и так как φ мало, то:

λ = (d/k)•(l/Д). (2.12)