Линейная зависимость между составляющими деформациями и напряжениями.

Основы теории упругости

Лекция 1

Введение

Слайд 2

Появление науки о прочности и механике упругих тел связано с именем Галилея, знаменитая книга которого под названием «Беседы и математические доказательства, касающиеся двух новых отраслей науки, относящихся к механике и местному движению» была издана в 1638 г. Первая ее часть касалась теории падения твердых тел, а вторая — посвящена прочности стержней и балок.

Тематика «Бесед»: сопротивление твердых тел разрушению (первый день), причина связности тел (второй день), наука о местном движении (третий день), о равномерном и естественно ускоренном движении (четвертый день), приложение о центре тяжести твердых тел, об евклидовых определениях пропорциональности величин (пятый день), о силе удара (шестой день). «Беседы» положили основание двум новым отраслям знаний — науки о сопротивлении материалов и динамике. Галилей открыл закон падения тел, согласно которому расстояния, пройденные ими, пропорциональны квадратам времени падения; установил, что скорость падения в безвоздушной среде одинакова для тел различного веса. Он создал теорию математического маятника, вплотную подошел к формулированию принципа инерции и т.д. Он осуществил геометрическое доказательство принципов динамики, т.е. науки о движении падающих тел, и науки о сопротивлении материалов; приложил методы геометрии и теоретической механики к учению о сопротивлении тел сгибанию, о деформации и разрушении тел под влиянием сгибающих усилий.

В XVII и XVIII вв. быстро развиваются механика, астрономия и другие естественные науки. Появляется интерес к экспериментальным работам. Роберт Гук (1635—1703), обладавший разносторонними знаниями и талантами, имел особую склонность к экспериментам и провел первые исследования механических свойств материалов.

В 1678 г. им выпущена книга «О восстановительной способности, или упругости», в которой описывались его опыты с упругими телами, в которой был сформулирован закон о линейном соотношении между силой и деформацией.

 

Слайд 3

Теорией изгиба балок занимались такие крупные ученые, как Мариотт, Яков и Иоганн Бернулли, Лейбниц, Эйлер, Лагранж и др.

В разных странах создавались научные общества, которые впоследствии оформлялись в Академии наук. Их организация, издание научных трудов оказали значительное влияние на развитие науки.

В становлении науки о сопротивлении материалов и теории упругости заметную роль сыграло образование во Франции в 1795 г. Политехнической школы.

Инженерное образование в ней было поставлено на высоком уровне; особую роль играли вопросы математики и механики. Первый систематический курс по сопротивлению материалов был выпущен профессором этой школы Навье в 1826 г.

Выпускниками и профессорами этой школы Пуассоном (1781 — 1840), Коши (1789—1857), Ламе (1795—1870) и другими были заложены основы математической теории упругости.

Понятие механического напряжения и математический аппарат, связанный с описанием сплошной деформируемой среды, в теорию упругости ввел Коши.

Большой вклад в становление и развитие теории упругости внес Сен-Венан (1797-1896). Сформулированный им принцип составляет базу, на которой основывается теория упругости.

Однако уравнения и общие решения задач теории упругости из-за сложности не могли служить непосредственно рабочим инструментом инженера того времени и представляли собой в большинстве случаев решение определённых научных вопросов, достаточно далёких от практических задач. Этого нельзя сказать о методах и соотношениях сопротивления материалов и строительной механики, с помощью которых в XVIII–XIX вв. проводились расчёты на прочность при строительстве мостов и железных дорог. Широкое применение достижений теории упругости в инженерных расчётах стало возможным только с появлением электронно-вычислительных машин в конце 40-х – начале 50-х гг. XX в. и с дальнейшим развитием приближённых численных методов решения дифференциальных уравнений.

Слайд 4

Основные понятия.

Упругость — это способность материала возвращаться в исходную форму после снятия нагрузки

Физические причины для упругого поведения могут быть совершенно различными для разных материалов.

В металлах атомная решётка меняет размер и форму при приложении силы (добавлении энергии в систему). Когда сила убирается, решётка возвращается обратно в прежнее энергетическое состояние. Для резины и других полимеров упругость вызывается растяжением полимерной цепочки.

Кто сможет пояснить природу межатомного и межмолекулярного взаимодействия?

 

Слайд 5

Напряжение – это мера внутренних сил, возникающих в деформируемом теле, под влиянием различных факторов. Механическое напряжение в точке тела определяется как отношение внутренней силы к единице площади в данной точке рассматриваемого сечения.

Напряжения являются результатом взаимодействия частиц тела при его нагружении. Внешние силы стремятся изменить взаимное расположение частиц, а возникающие при этом напряжения препятствуют смещению частиц, ограничивая его в большинстве случаев некоторой малой величиной.

Про́чность – свойство материала сопротивляться разрушению под действием внутренних напряжений, возникающих под воздействием внешних сил.

Если прочность – это свойство материала сопротивляться разрушению под действием внутренних напряжений, то в каких единицах она измеряется? (Па)

Пласти́чность – способность материала получать большие остаточные деформации без разрушения

 

Слайд 6

Перемещение – изменение положения точки физического тела в пространстве относительно выбранной системы отсчёта.

Измеряется в каких единицах? (единицы длины)

Слайд 7

Деформация (от лат. deformatio — «искажение») — изменение взаимного положения частиц тела, связанное с их перемещением относительно друг друга. Деформация представляет собой результат изменения межатомных расстояний и перегруппировки блоков атомов. Деформация сопровождается изменением величин межатомных сил, мерой которого является упругое механическое напряжение.

Простейшим видом деформации является деформация растяжения или сжатия. Ее можно характеризовать абсолютным удлинением Δl, возникающим под действием внешней силы Связь между Δl и F зависит не только от механических свойств вещества, но и от геометрических размеров тела (его толщины и длины).

Отношение абсолютного удлинения Δl к первоначальной длине l образца называется относительным удлинением или относительной деформацией ε:

При растяжении ε > 0, при сжатии ε < 0.

 

Слайд 8

Зависимость между ε и σ является одной из важнейших характеристик механических свойств твердых тел. Графическое изображение этой зависимости называется диаграммой растяжения. По оси абсцисс откладывается относительное удлинение ε, а по оси ординат – механическое напряжение σ. Типичный пример диаграммы растяжения для металлов (таких как медь или мягкое железо) представлен на рисунке.

Рисунок – Диаграмма растяжения пластичного материала

При малых деформациях (обычно существенно меньших 1 %) связь между σ и ε оказывается линейной (участок Oa на диаграмме). При этом при снятии напряжения деформация исчезает. Такая деформация называется упругой. Максимальное значение σ = σпр, при котором сохраняется линейная связь между σ и ε, называется пределом пропорциональности (точка a). На линейном участке выполняется закон Гука:

Коэффициент E в этом соотношении называется модулем Юнга.

При дальнейшем увеличении напряжения связь между σ и ε становится нелинейной (участок ab). Однако при снятии напряжения деформация практически полностью исчезает, т. е. восстанавливаются размеры тела. Максимальное напряжение на этом участке называется пределом упругости.

Если σ > σ_упр, образец после снятия напряжения уже не восстанавливает свои первоначальные размеры и у тела сохраняется остаточная деформация ε_ост. Такие деформации называются пластическими (участки bc, cd и de). На участке bc деформация происходит почти без увеличения напряжения. Это явление называется текучестью материала. В точке d достигается наибольшее напряжение σ_max, которое способен выдержать материал без разрушения (предел прочности). В точке e происходит разрушение материала.

Материалы, у которых диаграмма растяжения имеет вид, показанный на рисунке, называются пластичными. У таких материалов обычно деформация ε_max, при которой происходит разрушение, в десятки раз превосходит ширину области упругих деформаций. К таким материалам относятся многие металлы.

Материалы, у которых разрушение происходит при деформациях, лишь незначительно превышающих область упругих деформаций, называются хрупкими (стекло, фарфор, чугун).

Классическая теория упругости основывается на идеально-упругой модели деформируемого твёрдого тела. Такое тело наделяется наиболее простой линейной зависимостью между напряжением и деформацией. Диаграмма растяжения для такого материала представляет собой прямую линию 0А, проходящую через начало координат (рисунке).

Рисунок Диаграмма растяжения упругого материала:
e – деформация; s – напряжение

 

Слайд 9

Методы сопротивления материалов базируются на допущениях, которые позволяют с достаточной для практики точностью решать широкий круг инженерных задач. Но среди элементов несущих конструкций, являющихся предметом исследований сопротивления материалов и строительной механики, встречаются тела более сложной формы, чем стержни. Эти тела представляют собой пластины и плиты, оболочки, массивы деформированного основания под сооружениями и т. д. При расчёте таких тел методы и простые формулы сопротивления материалов, как правило, неприменимы. Следует отметить, что в некоторых случаях, даже при расчёте стержней, теория сопротивления материалов не даёт надёжного способа исследования напряжений и деформаций с достаточной точностью, например:

– вокруг отверстия под болт или заклёпку при растяжении сжатии;

– при кручении стержня прямоугольного сечения;

– в местах резкого изменения поперечного сечения балок или валов.

Поэтому во всех перечисленных случаях для определения деформаций и напряжений в твёрдых телах приходится обращаться к более совершенным методам и соотношениям классической теории упругости. Теория упругости базируется на более полной и точной физической и математической постановке задач, основанной на дифференциальных уравнениях в частных производных, описывающих деформацию упругого тела под нагрузкой.

 

Слайд 10

Модель тела в теории упругости наделяется следующими свойствами

Материал тела представляет собой сплошную среду. Допущение о сплошности позволяет отвлечься от реальной структуры данного материала (кристаллическая, зернистая) и рассматривать его как аморфный, непрерывно заполняющий любой элемент объема тела.

Материал тела считается однородным. Это допущение означает, что свойства материала в любой точке тела одинаковы. Допущения о сплошности и однородности приводят к тому, что внутренние силы представляются непрерывно распределенными по объему тела и для их описания можно использовать аппарат математического анализа.

Из допущений сплошности и однородности следует, что параметры НДС в теле, нагруженном внешними силами, представляются непрерывно распределёнными по объёму тела. Другими словами, искомые перемещения, деформации и напряжения считаются непрерывными функциями координат точки тела. Поэтому при решении задачи теории упругости для описания параметров НДС тела можно использовать аппарат математического анализа и теории дифференциальных уравнений, которые оперируют с функциями.

 

Слайд 11

Материал тела находится в естественном состоянии. Начальное напряженное (деформированное) состояние тела, возникшее до приложения силовых воздействий, не учитывается, т. е. предполагается, что в момент нагружения тела деформации и напряжения в любой его точке равны нулю. При наличии начальных напряжений это допущение будет справедливым, если только к результирующим напряжениям (сумме начальных и возникших от них из воздействий) могут быть применены зависимости линейной теории упругости.

Поэтому определяемые в теории упругости напряжения не являются фактическими напряжениями в теле, а составляют лишь прирост напряжений в рассматриваемых точках над начальными (неизвестными) напряжениями в тех же точках. Следует отметить, что начальные напряжения могут возникать при изготовлении тела, например вследствие прокатки профиля на металлургическом заводе, поверхностной и температурной обработки, сварки и т. д. В качестве примера можно рассмотреть металлическое кольцо. Если его разрезать в двух местах, убрать этот участок и снова соединить, то в нём появятся напряжения, величина которых будет зависеть от размера убранного участка. Другой пример – стержень, предварительно сжатый между жесткими стенками.

Материал тела обладает идеальной упругостью. Принимается полное исчезновение деформации после снятия нагрузки. Как известно, в реальных телах при любом нагружении возникает остаточная деформация. Поэтому допущение следует считать применимым, если остаточная деформация не превышает условно заданной нормы.

Какой нормы?

Материал тела считается изотропным, т. е. все упругие свойства тела одинаковы по всем направлениям. В противном случае материал называется анизотропным (дерево, фанера, композиционные материалы).

Деформации в точках тела (относительные удлинения ε и углы сдвига γ) считаются малыми. Это допущение говорит о том, что под действием нагрузок размеры тела существенно не меняются.

Линейная зависимость между составляющими деформациями и напряжениями.

 

Слайд 12

Малость деформаций и линейная зависимость между напряжениями и деформациями позволяет при расчёте НДС применять принцип независимости действия сил (принцип суперпозиции).

При действии на тело нескольких внешних сил этот принцип даёт возможность подсчитать воздействие каждой силы в отдельности, с последующим сложением полученных результатов.

Теорема о единственности решения. Если заданные внешние поверхностные и объемные силы находятся в равновесии, им соответствует одна единственная система напряжений и перемещений.

Положение о единственности решения справедливо, если только справедливы допущение о естественном состоянии тела (иначе возможно бесчисленное количество решений) и допущение о линейной зависимости между деформациями и внешними силами.

Принцип Сен-Венана. Если внешние силы, приложенные на небольшом участке упругого тела, заменить действующей на том же участке статически эквивалентной системой сил (имеющей тот же главный вектор и тот же главный момент), то эта замена вызовет лишь изменение местных де­формаций.

В точках, достаточно удаленных от мест приложения внешних нагрузок, напряжения мало зависят от способа их приложения. На основании принципа Сен-Венана можно считать, что изменение способа приложения усилий на участке поверхности тела почти не отражается на напряжениях в точках, удаленных на достаточно большое расстояние от места приложения этих усилий (по сравнению с линейными размерами нагруженного участка).