Исследование функции методами дифференциального исчисления.

Справочный материал

Схема исследования функции:

1. Область определения и область значения функции.

Область определения функции - множество допустимых значений переменной х,

Область значения функции - множество допустимых значений переменной у.

2.Чётность, периодичность функции.

График чётной функции симметричен относительно оси ординат (Оу). Например:

График нечётной функции симметричен относительно начала координат. Например:

Функция является периодической, если она имеет на всей области определения повторяющийся характер. Например:

3.Точки пересечения с осями координат.

4.Промежутки знакопостоянства функции.

Промежутки знакопостоянства – промежутки в которых функция принимает положительные и отрицательные значения.

5.Промежутки возрастания и убывания функции.

6.Точки экстремума.

Точки экстремума - точки максимума и минимума функции.

7.Наибльшее и наименьшее значение функции.

ТЕОРИЯ ПРЕДЕЛОВ

Тема 1. Предел функции. Непрерывность функции

Определение: Функцию y = f(x), x Î N называют числовой последовательностью

y1, y2, …, yn… - члены числовой последовательности

Примеры числовых последовательностей: 1, 2, 3, 4, 5, … – ряд натуральных чисел;

2, 4, 6, 8, 10, … – ряд чётных чисел.

Способы задания последовательностей:

1. Перечислением членов последовательности.
2. Заданием аналитической формулы.

Пример: 1, 3, 5, 7, 9, 2n-1, … - возрастающая последовательность.

Пример: 1, 1/3, 1/5, 1/7, 1/(2n–1), … - убывающая последовательность.

Число а называется пределом числовой последовательности {у_n}:

Если, то называют бесконечно малой величиной (бм)

Если, то называют бесконечно большой величиной (бб)

Теоремы о бесконечно малых и бесконечно больших функциях

1)бм бм=бм 2)бм*бм=бм 3)бм*огр=бм 4) 5)бб+бб=бб 6)бб*бб=бб 7)бб*огр=бб 8)

 

Свойства пределов:

Если,то

1) предел суммы равен сумме пределов:

2) предел произведения равен произведению пределов:

3) предел частного равен частному пределов:

4) постоянный множитель можно вынести за знак предела:

Исследование функции на непрерывность

Определение: Функция f(x) называется непрерывной в т.х₀ если:

1)существует значение функции в точке f(x₀)

2)существует конечный предел в точке х₀

3)предел равен значению функции в точке х₀

Определение: Функция непрерывна на промежутке, если она непрерывна во всех точках этого промежутка.

Функция непрерывна на всей области определения

Функция не является непрерывной в т. 0

Определение: Если в какой-либо точке х0 функция у = f(x) не является непрерывной, то точка х₀ называется точкой разрыва этой функции, а функция у = f(x) называется разрывной в этой точке.

Точки разрыва 1 рода

Точка х=1 точка устранимого разрыва А1=А2=1

Скачок =1 =-1

Точки разрыва 2 рода

Производная функции

Механический смысл производной: Геометрический смысл производной: f '(x₀) = tgα = к	Уравнение касательной:
Таблица производных

Исследование функции методами дифференциального исчисления.

Признак возрастания и убывания функции • Если f ‘(x)>0 в каждой точке интервала I, то функция f возрастает на I. • Если f ‘(х) <0 в каждой точке интервала I, то функция f убывает на I.

Определение: Внутренние точки области опре­деления функции, в которых ее производная равна нулю или не существует, называются критическими точками этой функ­ции.

 

Признак максимума и минимума функции Если в точке Х0 производная меняет знак с – на +, то т.Х0-т.минимума Если в точке Х0 производная меняет знак с + на -, то т.Х0-т.миксимума Необходимое условие экстремума Если точка Х0 является точкой экстремума функции f и в этой точке существует произ­водная f, то она равна нулю: f ‘(Х0) = О.