Характеристика основных типов детерминированных прогнозирующих математических моделей

Составляющие детерминированных временных рядов

Детерминированные прогнозирующие математические модели применяются для представления стандартной составляющей или тренда анализируемого процесса. Рассматривая стандартную составляющую как временной ряд, в ней выделяют:

- устойчивую долговременно изменяющуюся составляющую , представляющую собой плавное изменение процесса во времени;

- сезонную составляющую , связанную с наличием факторов, действующих циклически с заранее известной периодичностью (недельная, месячная, сезонная и т.п. цикличность);

- циклическую составляющую , описывающую длительные периоды относительного подъема и спада и состоящую из циклов переменной длительности и амплитуды (технологические факторы, истощение ресурсов, погодные условия и т.п.).

В зависимости от доминирования во временном ряде анализируемого процесса той или иной составляющей тренда используются для моделирования различные математические модели.

Присутствие в моделируемом процессе детерминированной составляющей , помимо случайной стационарной , в статистическом смысле определяют с помощью следующих критериев: серий, восходящих и нисходящих серий, знаков и т.п.[8, 9].

Проведем краткое описание детерминированных моделей, используемых для краткосрочного и оперативного прогноза, перечисленных на рис. 2.2.

Полиномиальные модели

Моделирование устойчивой долговременно изменяющейся составляющей зачастую осуществляют с помощью полиномиальных моделей, линейных по параметрам, вида [10, 11, 12, 13]

, (4.1)

где значения степени k полинома не превышает 5 (k =2,3). При этом, как правило, используются полиномы в форме Лагранжа, Ньютона [14] или полученные путем экспоненциального сглаживания [12] или на основе МНК [14]. Так, в [80] для моделирования используется полином второго порядка с независимой переменной – временем t, кроме того, в этой же работе полином второго порядка вида (4.1) используется для моделирования зависимости от температуры T окружающего воздуха. Во втором случае в качестве независимой переменной выступает температура T. В работе [16] для моделирования всего тренда в краткосрочном диапазоне используется кубическая интерполяция часовых нагрузок, с учетом влияния температуры.

В [8, 17] полиномиальные модели (4.1) первого и второго порядков используются для прогнозирования получасовой и часовой электрической потребляемой мощности предприятием. Расчет коэффициентов (4.1) при этом осуществляется на основе МНК по предыстории процесса, включающей N предыдущих значений [18].

При прогнозировании с помощью полиномиальных моделей используют элементы статистического моделирования определяют доверительный интервал прогноза на l шагов вперед и для случая k =1 получают [156]

;

где – значение t -критерия Стьюдента при принятом уровне значимости α.

Подобная формула имеется и для случая k =2, однако недостаток этих формул состоит в том, что предполагают нормальный закон распределения прогнозируемой величины [18].

Моделирование стандартной составляющей анализируемой реализации процесса осуществляется кусочно-полиномиально, т.е. вся реализация разбивается на 4 равных интервала, в каждом из которых используется по 12 отсчетов и реализуется свой полином для моделирования. Кусочные полиномы представляют собой полиномы степени 3 вида (4.1), подобранные по МНК и определяемые, например, с помощью семейства ортогональных многочленов по формуле

,

где – коэффициенты модели, определяемые по ординатам реализации процесса.

Развитием предыдущего подхода является использование для моделирования реализации на отдельных интервалах в качестве интерполирующих полиномов – параболических или кубических сплайнов [18, 154]:

,

удовлетворяющих условиям непрерывности:

; ,

где – коэффициенты сплайна.

Преимуществами сплайнов по сравнению с использованием кусочно-полиномиального подхода являются гладкость получаемой составляющей и учет общей повторяемости реализации. Однако оба этих подхода обладают существенным недостатком. При построении динамических моделей изменения на их основе достаточно сложно, не наглядно и не всегда оправдано связывать изменчивость формы реализации от действия внешних факторов с изменением коэффициентов кусочных полиномов или сплайнов.

В случае идентификации прогнозирующего полинома типа (4.1) по точкам временного ряда удобно использовать алгоритм экспоненциального сглаживания [10, 12], который позволяет недавним точкам графика придавать в некотором смысле больший вес в модели (4.1), а наблюдениям, относящимся к далекому прошлому, – меньший, снижающийся вес, так как для прогноза они имеют меньшую ценность. Однако применение этого алгоритма затрудняется за счет, того, что имеются выведенные формулы только для полиномов (4.1) низких степеней k =1,2 [12, 13, 20, 21, 22, 23].