Основные предпосылки модели парной линейной регрессии

1. Связь между переменными х, у является линейной.

2. Независимая переменная х может быть использована для прогноза у.

3. Остатки (то есть ошибки) нормально распределены.

4. Для всех данных х математическое ожидание ошибки равно нулю и дисперсия ошибки постоянна.

5. Ошибки независимы.

Задача № 1. Изучается зависимость себестоимости единицы изделия (y, тыс. руб.) от величины выпуска продукции (x, тыс. шт.) по группам предприятий за отчетный период. Экономист обследовал n = 5 предприятий и получил следующие результаты (2-й и 3-й столбцы). Полагая, что между переменными x, y имеет место линейная зависимость, определим выборочное уравнение линейной регрессии. Заполним таблицу.

Номер	Выпуск продукции (тыс. шт.) x	Себестоимость единицы изделия ( тыс. руб.) y	x²	ху
		1,9		3,8
		1,7		5,1
		1,8		7,2
		1,6
		1,4		8,4
Сумма		8,4		32,5

Поясним, как заполняется таблица. В 4-м столбце указаны квадраты соответствующих чисел 2-го столбца. Каждое число 2-го столбца умножаем на соответствующее число 3-го столбца и результат пишем в 5-м столбце. В последней строке указана сумма чисел соответствующего столбца.

Замечание. Вместо вычислений коэффициентов a и b по формулам можно воспользоваться соответственно статистическими функциями ОТРЕЗОК (изв_знач_ y; изв_знач_ x) и НАКЛОН (изв_знач_ y; изв_знач_ x) мастера функций f_x пакета Excel. Здесь изв_знач_ y и изв_знач_ x – это ссылки на ячейки, содержащие значения переменных y и x соответственно.

Обозначим через и средние значения переменных y и x соответственно.

Задача № 2. Найдем остатки e_i, коэффициент корреляции Пирсона и коэффициент детерминации в примере 1.

y = 2,12 – 0,11 x. Заполним таблицу.

Номер	Выпуск продукции (тыс. шт.) x	Себестоимость единицы изделия ( тыс. руб.) y	y²	ỹ =2,12 – 0,11x	е = у – ỹ
		1,9	3,61	1,90	0,00
		1,7	2,89	1,79	-0,09
		1,8	3,24	1,68	0,12
		1,6	2,56	1,57	0,03
		1,4	1,96	1,46	-0,06
Сумма		8,4	14,26

Поясним, как заполняется таблица. В 4-м столбце указаны квадраты соответствующих чисел 3-го столбца. Каждое число 2-го столбца подставляем в выражение 2,12 – 0,11 x: и результат пишем в 5-м столбце. В 6-м столбце указана разность чисел 3-го и 5-го столбцов. В последней строке указана сумма чисел соответствующего столбца.

Это значение близко k –1, что свидетельствует об очень сильной отрицательной связи (с ростом х значения у убывают). Знаки b = –0,11 и r = –0,904 совпадают.

Коэффициент детерминации r² = (–0,904)² ≈ 0,817, то есть 81,7% общей вариации себестоимости y зависит от выпуска продукции х.

Наша модель не объясняет 18,3% вариации себестоимости. Эта часть вариации объясняется факторами, не включенными в модель.

Замечание. Для вычисления коэффициента корреляции Пирсона можно воспользоваться статистическими функциями ПИРСОН (массив 1; массив 2) или КОРРЕЛ (массив 1; массив 2) мастера функций f_x пакета Excel. Массив 1 (х) и массив 2 (у) – это ссылки на ячейки, содержащие значения переменных. Для вычисления коэффициента детерминации можно воспользоваться статистической функцией КВПИРСОН (изв_знач_ y; изв_знач_ x).

Задача № 3. Найдем ожидаемое значение себестоимости y при выпуске продукции x = 5,5 тыс. шт.

y = 2,12 – 0,11 x.

Тогда y (5,5) = 2,12 – 0,11 ∙ 5,5 = 1,515 тыс. руб.

Замечание. Для прогноза значений переменной у можно воспользоваться статистической функцией ТЕНДЕНЦИЯ (изв_знач_ y; изв_знач_ x; нов_знач_ х; константа) мастера функций f_x пакета Ехсе1. Нов_знач_ х – это ссылка на ячейки, содержащие значения переменной x, для которых ищется прогноз. Если необязательный аргумент константа = 0, то коэффициент a = 0. По известным значениям переменных x, y функция сама подбирает уравнение прямой линии и дает прогноз. Функцию ТЕНДЕНЦИЯ можно использовать и в случае множественной линейной регрессии. Для парной линейной регрессии можно воспользоваться и статистической функцией ПРЕДСКАЗ (х;изв_знач_y; изв_знач_ x), где x – это значение переменной x, для которого ищется прогноз.