Ожидания при известной дисперсии

Пусть случайная величина распределена по нормальному закону, известна, доверительная вероятность (надежность) задана.

Доверительный интервал для есть

(9)

где определяется из уравнения т.е. при заданном по таблице функции Лапласа находим аргумент

Пример 6: Произведено 5 независимых наблюдений над случайной величиной , Результаты наблюдений таковы: Найти оценку для а также построить для него 95%-й доверительный интервал.

Решение: Находим сначала т.е. . Учитывая, что и получаем По таблице приложения выясняем, что Тогда Доверительный интервал для таков т.е. ·

Пример 7: Дан доверительный интервал (-0,28; 1,42) для оценки математического ожидания нормально распределенного количественного признака. Тогда при уменьшении надежности (доверительной вероятности) оценки доверительный интервал может принять вид …. (ответ (-0,14; 1,28)).

Решение: Доверительный интервал для оценки математического ожидания нормально распределенного количественного признака можно представить в виде симметричного интервала где точечная оценка математического ожидания а точность оценки В случае уменьшения надежности точность оценки улучшается, то есть значение будет меньше 0,85.

Пример 7*: Дан доверительный интервал (12,02; 16,28) для оценки математического ожидания нормально распределенного количественного признака. Тогда при уменьшении объема выборки этот доверительный интервал может принять вид …. (ответ (11,71; 16,59)).

Решение: Доверительный интервал для оценки математического ожидания нормально распределенного количественного признака можно представить в виде симметричного интервала где точечная оценка математического ожидания а точность оценки В случае уменьшения объема выборки точность оценки ухудшается, то есть значение будет больше 2,13.

Доверительный интервал для математического

Ожидания при неизвестной дисперсии

Пусть случайная величина распределена по нормальному закону, неизвестна, задана.

Интервал

(10)

покрывает с вероятностью , т.е. является доверительным интервалом для неизвестного математического ожидания случайной величины. Пользуясь таблицей квантилей распределения Стьюдента (см. приложение) находим значение и числа степеней свободы

Пример 8: По условию примера 6, считая, что случайная величина распределена по нормальному закону, построить для неизвестного доверительный интервал. Считать

Решение: Оценку для уже знаем: Находим значение По таблице для и находим Следовательно, Доверительный интервал таков: