Давление под изогнутой поверхностью жидкости. Формула Лапласа

Рис. 145. Краевые углы смачивающей (1) и несмачивающей (2) жидкостей.

Известно, что поверхность жидкости около стенок сосуда искривляется. Свободная поверхность жидкости, искривлённая около стенок сосуда, называется мениском (рис. 145).

Рассмотрим тонкую жидкую плёнку, толщиной которой можно пренебречь. Стремясь минимизировать свою свободную энергию, плёнка создаёт разность давления с разных сторон. Из-за действия сил поверхностного натяжения в каплях жидкости и внутри мыльных пузырей возникает добавочное давление (плёнка сжимается до тех пор, пока давление внутри пузыря не будет превышать атмосферное на величину добавочного давления плёнки ).

Рис. 146.

Рассмотрим поверхность жидкости, опирающуюся на некоторый плоский контур (рис.146, а). Если поверхность жидкости не плоская, то стремление ее к сокращению и приведет к возникновению давления , дополнительного к тому, которое испытывает жидкость с плоской поверхностью. В случае выпуклой поверхности это дополнительное давление положительно (рис. 146, б), в случае вогнутой поверхности – отрицательно (рис. 146, в). В последнем случае поверхностный слой, стремясь сократиться, растягивает жидкость.

Величина добавочного давления, очевидно, должна возрастать с увеличением коэффициента поверхностного натяжения и кривизны поверхности .

Рис. 147.

Вычислим добавочное давление для сферической поверхности жидкости. Для этого рассечем мысленно сферическую каплю жидкости диаметральной плоскостью на два полушария (рис. 147). Из-за поверхностного натяжения оба полушария притягиваются друг к другу с силой, равной:

.

Эта сила прижимает друг к другу оба полушария по поверхности и, следовательно, обусловливает дополнительное давление:

Кривизна сферической поверхности всюду одинакова и определяется радиусом сферы . Очевидно, что чем меньше , тем больше кривизна сферической поверхности.

Избыточное давление внутри мыльного пузыря в два раза больше, так как пленка имеет две поверхности:

Добавочное давление обусловливает изменение уровня жидкости в узких трубках (капиллярах), вследствие чего называется иногда капиллярным давлением.

Кривизну произвольной поверхности принято характеризовать так называемой средней кривизной , которая может оказаться различной для разных точек поверхности[53].

Величина дает кривизну сферы. В геометрии доказывается, что полусумма обратных радиусов кривизны для любой пары взаимно перпендикулярных нормальных сечений имеет одно и то же значение:

. (1)

Эта величина и есть средняя кривизна поверхности в данной точке. В этой формуле радиусы – алгебраические величины. Если центр кривизны нормального сечения находится под данной поверхностью, соответствующий радиус кривизны положителен; если центр кривизны лежит над поверхностью, радиус кривизны отрицателен (рис.148).

Рис. 148.

Таким образом, неплоская поверхность может иметь среднюю кривизну, равную нулю. Для этого нужно, чтобы радиусы кривизны были одинаковы по величине и противоположны по знаку.

Например, для сферы центры кривизны в любой точке поверхности совпадают с центром сферы, поэтому и . Для случая поверхности кругового цилиндра радиуса имеем: , и .

Можно доказать, что для поверхности любой формы справедливо соотношение:

. (2)

Подставив в формулу (2) выражение (1), получим формулу добавочного давления под произвольной поверхностью, называемую формулой Лапласа (рис. 148):

. (3)

Радиусы и в формуле (3) – алгебраические величины. Если центр кривизны нормального сечения находится под данной поверхностью, соответствующий радиус кривизны положителен; если центр кривизны лежит над поверхностью, радиус кривизны отрицателен.

Пример. Если в жидкости имеется пузырек газа, то поверхность пузырька, стремясь сократиться, будет оказывать на газ дополнительное давление . Найдем радиус пузырька в воде, при котором добавочное давление равно1 aтм. .Коэффициент поверхностного натяжения воды при равен . Следовательно, для получается следующее значение: .