Короткі теоретичні відомості. Короткі теоретичні відомості

Короткі теоретичні відомості

Під час вивчення перехідних процесів систем керування характер динаміки можна оцінювати величиною визначеного інтегралу. Наприклад, для одномірних об’єктів:

(1.1)

де y = y(t), - траєкторії координати виходу та її першої похідної за часом.

Технічна задача оптимізації динаміки об’єкта приводиться до математичної задачі знаходження екстремуму функціоналу (1.1). При цьому шукана функція повинна задовольняти крайові умови: y(t₀) = y₀; y(t_к) = y_k, де y₀, y_k – задані числа.

Обмеження на координати та обмеження на стан системи відсутні.

Така задача називається варіаційною задачею із закріпленими граничними точками (із закріпленими кінцями) (рис. 1.1).

Умова екстремуму інтегралу (1.1) за фіксованих граничних значень і відсутності обмежень на координати записується у вигляді рівняння Ейлера:

(1.2)

Криві, на яких реалізується екстремум функціоналу, є інтегральними кривими цього рівняння і називаються екстремалями.

У задачах оптимізації динаміки об’єктів у загальному випадку функціонал (1.1) може містити похідні вищих порядків. Необхідну умову наявності екстремуму такого функціоналу визначає рівняння Ейлера-Пуассона (за фіксованих граничних умов і відсутності обмежень на координати):

(1.3)

Слід зазначити, що рівняння (1.2) і (1.3) застосовують для знаходження екстремумів відповідних функціоналів тільки тоді, коли координати y(t) є безперервними гладкими функціями і не мають обмежень типу нерівностей.

Ці рівняння виражають першу необхідну умову екстремуму. Однак, залишається незрозумілим, є отримані екстремалі максимумом чи мінімумом функціоналу. Відповідь на це запитання дає теорема Лежандра, яка виражає другу необхідну умову екстремуму:

Для того, щоб функціонал (1.1) у задачі із закріпленими кінцями досягав на кривій мінімуму (максимуму), необхідно, щоб уздовж цієї кривої виконувалась умова:

Завдання до задачі

Знайти функцію y(t), яка за граничних умов y(t₁)=y₁ і y(t₂)=y₂ мінімізує функціонал:

. (1.5)

Побудувати графік функції (екстремаль). Граничні умови наведені у таблиці 1.1 Знайти функцію y(t), яка за граничних умов y(1)=2 і y(3)=0 мінімізує функціонал:

. (1.6)

Алгоритм методу містить такі етапи:

- запис виразу під інтегралом у вигляді функції F(y, y¢);

- визначення часткових похідних функції F(y, y¢) за аргументами y і y¢;

- складання рівняння Ейлера (1.2);

- знаходження розв’язку рівняння Ейлера;

- побудова графіка функції y(t).

У даному випадку граничні умови: t₀=1, t_к=3, y(t₀) = y₀=2; y(t_к) = y_k=0.

Функція F(y,y¢) має вигляд:

F(y,y¢) = y² + k²y¢², де к=5.

Часткові похідні функції F(y,y¢):

, . (1.7)

Рівняння Ейлера:

2y – 2k²y¢¢ = 0 або y¢¢- y/k² = 0 (1.8)

Розв’язок цього рівняння записуємо у вигляді:

(1.9)

Враховуючи граничні умови, знаходимо С₁ і С₂:

(1.10)

Тоді С₁ = -1,34; С₂= 4,43.

Розв’язок рівняння Ейлера в остаточному вигляді:

. (1.11)

Результати обчислень наведено у таблиці 1.2, графік функції - на рис. 1.2.

Таблиця 1.2

 

№ вар.	t1,c	t2,c	y1	y2
	2.0	3.0	3.2	2.0

 

Результати обчислень функції y(t)

t,c	1,0	1,2	1,4	1,6	1,8	2,0	2,2	2,4	2,6	2,8	3,0
y(t)	2,0	1,78	1,57	1,37	1,17	0,97	0,77	0,57	0,38	0,18

 

 

Відповідно до (1.4) маємо:

значить, на кривій (1.11) функціонал (1.6) досягає мінімуму.

 

Висновок

Якщо у задачі оптимізації крім критерію оптимальності (функціоналу І) задані тільки граничні умови y(t₀) = y₀, y(t_к) = y_k, обмеження на координати та обмеження на стан системи відсутні, будь-які додаткові умови також відсутні, таку задачу оптимізації розв’язують за допомогою рівняння Ейлера (1.2), або рівняння Ейлера-Пуассона (1.3). Отриманий розв’язок є рівнянням екстремалі, на якій реалізується екстремум заданого функціоналу І.

 

Задача 2 Розв’язування задачі варіаційного числення за методом Лагранжа (задача на умовний екстремум)

 

Короткі теоретичні відомості

Задачі синтезу алгоритмів оптимального керування об’єктами у динаміці при вибраному функціоналі критерію якості мають додаткові (умовні) обмеження у вигляді рівнянь математичної моделі динаміки об’єкта. Екстремум функціоналу, що визначається за додаткових умов (функціональних обмежень), називають умовним екстремумом. Задачі на умовний екстремум при визначенні оптимальних керувань об’єктом у динаміці зумовлені тим, що траєкторія виходу y(t) є наслідком зміни координати керування і залежить від виду диференціального рівняння об’єкта.

Таким чином, задача оптимізації об’єкта керування у динаміці, яку розв’язують класичним варіаційним численням, має таке формулювання:

- математична модель об’єкта задана у формі рівняння:

(2.1)

- задані граничні умови: y(t₀) = y₀; y(t_к) = y_k;

- необхідно визначити оптимальне керування u°(t), що забезпечує мінімум функціоналу:

(2.2)

Ця задача називається задачею Лагранжа.

Розв’язувати задачу на умовний екстремум можна методом множників Лагранжа. Для цього введемо до розгляду новий функціонал:

(2.3)

де l - множник Лагранжа;

- функція Лагранжа;

- функція зв’язку.

За допомогою множників Лагранжа задача про умовний екстремум функціоналу (2.2) приводиться до задачі на безумовний екстремум функціоналу (1.1). Рівняння Ейлера при цьому складають для функції Лагранжа:

(2.4)

Ці рівняння називають рівняннями Ейлера-Лагранжа. Вони характеризують умову стаціонарності функціоналу (2.2). У результаті розв’язування цих рівнянь з урахуванням математичної моделі об’єкта і граничних умов отримаємо оптимальне керування u^*(t) об’єктом у динаміці.

Завдання до задачі

Задача 2.1 Знайти мінімум нелінійної функції f(x₁,x₂)=(x₁-a)² + (x₂-b)² за обмежень j(x₁, x₂) = x₁² + x₂² – R² = 0. Значення a, b, R наведені у таблиці 2.1.

Таблиця 2.1

№ вар.	a	b	R
			5.5

 

Навести геометричну інтерпретацію задачі.

Знайти мінімум функції f(x₁, x₂) = 2x₁² + x₂² за умов:

j(x₁, x₂) = (x₁- 2)² + x₂ = 0.

Алгоритм методу містить такі етапи:

- складання функції Лагранжа: F(x₁, x₂, l) = f(x₁, x₂) + lj(x₁, x₂);

- визначення необхідних умов екстремуму функції F(x₁, x₂, l);

- розв’язування системи рівнянь і знаходження координат точок екстремуму функції F(x₁, x₂, l);

- визначення екстремального значення функції f(x₁, x₂);

- наведення геометричної інтерпретації розв’язку задачі.

Функція Лагранжа:

(2.5)

Часткові похідні за аргументами функції F:

(2.6)

Необхідні умови екстремуму функції F:

(2.7)

Розв’язуємо цю систему й знаходимо: x₁=1; x₂= -1; l= 2.

Мінімальне значення функції дорівнює: f(x₁, x₂) = 2x₁² + x₂² = 3.

Наведемо геометричну інтерпретацію задачі. Графік функції f(x₁, x₂) являє собою еліпс з центром у початку координат. Його рівняння після перетворень запишемо у вигляді:

(2.8)

 

Графік функції j(x₁, x₂) – це парабола. Графіки обох функцій наведено на рис 2.1. Координати точки торкання А (1; -1) визначають мінімум функції f.

Задача 2.2 Визначити оптимальне керування об’єктом, що заданий рівнянням:

, (2.9)

у процесі переходу об’єкта з фіксованого початкового стану до кінцевого стану: y(0) = y₀; y(¥) = 0, за умови мінімуму функціоналу

(2.10)

Значення Т, k, q, c, y₀ наведені у таблиці 2.2.

Таблиця 2.2

№ вар.	q	c	T	k	y0
			1,4

Визначити оптимальне керування об’єктом, що заданий рівнянням (2.9) у процесі переходу об’єкта з фіксованого початкового стану до кінцевого стану: y(0) = y₀; y(¥) = 0, за умови мінімуму функціоналу

(2.11)

Запишемо рівняння об’єкта (об’єкт описується аперіодичною ланкою першого порядку) у вигляді:

де а = -1/Т; b = k/T.

Складаємо функцію Лагранжа:

(2.12)

Тобто допоміжний функціонал має вигляд:

(2.13)

З урахуванням того, що

записуємо рівняння Ейлера-Лагранжа (2.4):

(2.14)

З другого рівняння маємо: u=lb/2, тоді можна записати систему двох рівнянь:

або (2.15)

З другого рівняння , тоді отримуємо рівняння другого порядку:

або

(2.16)

Розв’язок цього рівняння має вигляд:

де

Умови стійкості та вимоги y(¥) = 0 задовольняє тільки від’ємний корінь, тому маємо:

(2.17)

З урахуванням граничних умов С₁=y(0)=y₀.

Далі знаходимо:

;

Тоді: де

Шукане оптимальне керування: або з урахуванням (2.17):

(2.18)

де

(2.19)

Рівняння (2.18) визначає структуру оптимального регулятора для заданого об’єкта керування і вибраного функціоналу (2.11). Мінімум цього функціоналу гарантує мінімальні відхилення y(t) і u(t) у період перехідного процесу. Вираз (2.19) визначає оптимальне значення коефіцієнта k₀.

 

Висновок

Якщо у задачі оптимізації крім критерію оптимальності (функціоналу І), граничних умов y(t₀) = y₀, y(t_к) = y_k задані також додаткові обмеження (рівняння об’єкта керування), таку задачу оптимізації можна розв’язати за допомогою методу множників Лагранжа, причому кількість множників Лагранжа дорівнює кількості обмежень.