Теорема об изменении момента количества движения

Теорема моментов

Введем понятие момент количества движения материальной точки, по аналогии с векторным моментом силы (формула 1.13, раздел «Статика»): момент количества движения материальной точки есть векторное произведение радиус-вектора на вектор количества движения материальной точки.

.

(3.39)

Направление и величина момента количества движенияопределяется точно так же, как в случае оценки момента силы (параграф 1.2.2).

Одновременно определим (главный) момент количества движения как векторную сумму моментов количества движений точек рассматриваемой системы. Он имеет и второе название – кинетический момент:

 

.

(3.40)

 

Аналогично осевым моментам силы определяются и осевые кинетические моменты, как проекции главного момента количества движения на оси координат:

 

.

(3.41)

Найдем производную по времени выражения (3.40), используя правила дифференцирования произведения двух функций, а также то, что производная суммы равна сумме производных (т.е. знак суммы при дифференцировании можно перемещать как коэффициент):

.

Учтем очевидные кинематические равенства: . Тогда: . Используем среднее уравнение из формул (3.26) , а также то, что векторное произведение двух коллинеарных векторов ( и ) равно нулю, получим:

.

Применяя ко 2-му слагаемому свойство внутренних сил (3.36), получим выражение для теоремы об изменении главного момента количества движения механической системы:

 

.

(3.42)

 

Производная по времени от кинетического момента равна сумме моментов всех действующих в системе внешних сил.

 

Эту формулировку часто называют кратко: теорема моментов.

 

Необходимо заметить, что теорема моментов формулируется в неподвижной системе отсчета относительно некого неподвижного центра О. Если в качестве механической системы рассматривается твердое тело, то удобно выбрать центр О на оси вращения тела.

Следует отметить одно важное свойство теоремы моментов (приведем его без вывода). Теорема моментов выполняется и в движущейся поступательно системе отсчета, если в качестве ее центра выбран центр масс (т. С) тела (механической системы):

.

(3.43)

 

Проецируя обе части равенства (3.42) на неподвижные оси Oxyz, получим теорему моментов применительно к осевым кинетическим моментам:

 

(3.44)

 

Формулировка теоремы в этом случае практически сохраняется.

Следствие 1

Пусть правая часть выражения (3.42) равна нулю =0, - система изолирована. Тогда из уравнения (3.42) следует, что .

Для изолированной механической системы вектор кинетического момента системы со временем не меняется ни направлению, ни по величине.

Следствие 2

При равенстве нулю правой части какого либо из выражений (3.44), например, для оси Oz: =0 (частично изолированная система), то из уравнений (3.44) следует: =const.

Следовательно, если сумма моментов внешних сил относительно какой либо оси равна нулю, то осевой кинетический момент системы по этой оси со временем не меняется.

Приведенные выше в следствиях формулировки есть выражения закона сохранение момента количества движения в изолированных системах.

Кинетический момент твердого тела

Рассмотрим частный случай – вращение твердого тела вокруг оси Oz (рис.3.4).

 

Рис.3.4

 

Точка тела, отстоящая от оси вращения на расстояние h _k , вращается в плоскости, параллельной Oxy со скоростью . В соответствии с определением осевого момента используем выражение (1.19), заменив проекцию F _XY силы на эту плоскость количеством движения точки . Оценим осевой кинетический момент тела:

 

(3.45)

 

Введем определение величины осевого момента инерции.

Момент инерции тела относительно оси (осевой момент инерции) есть сумма произведений масс точек тел на квадраты расстояний от этих точек до оси.

 

(3.46)

 

По теореме Пифагора , поэтому (3.46) можно записать так:

 

(3.47)

 

Тогда выражение (3.45) приобретет вид:

 

(3.48)

 

Если воспользоваться законом сохранения кинетического момента для частично изолированной системы (следствие 2) применительно к твердому телу (3.48), получим . В этом случае можно рассмотреть два варианта:

• Система неизменяема (геометрия тела неизменна: ). Тело вращается с постоянной угловой скоростью ;
• Система изменяема (геометрия тела при вращении меняется). Угловая скорость меняется по обратной пропорции от момента инерции . Пример: при исполнении фигуристкой вращения по мере группирования ее тела вблизи вертикальной оси скорость вращения возрастает.

 

ВОПРОСЫ ДЛЯ САМОКОНТРОЛЯ

 

1. Как определяется кинетический момент вращающегося твердого тела?

2. Чем отличается осевой момент инерции от осевого кинетического момента?

3. Как меняется со временем скорость вращения твердого тела при отсутствии внешних сил?

 

Осевой момент инерции твердого тела

Как мы убедимся впоследствии, осевой момент инерции тела имеет для вращательного движения тела такое же значение, как масса тела при его поступательном движении. Эта одна из важнейших характеристик тела, определяющая инерцию тела при его вращении. Как видно из определения (3.45), эта положительная скалярная величина, которая зависит от масс точек системы, но в большей мере от удаленности точек от оси вращения.

Для сплошных однородных тел простых форм величину осевого момента инерции, как и в случае оценки положения центра масс(3.8), считают методом интегрирования, используя вместо дискретной массы массу элементарного объема dm=ρdV:

(3.49)

 

Приведем для справки значения моментов инерции для некоторых простых тел:

 

 

· Момент инерции тонкого однородного стержня массой m и длиной l относительно оси, проходящей перпендикулярно стержню через его середину (рис.3.5).

 

 

 

Рис.3.5

· Момент инерции тонкого однородного стержня массой m и длиной l относительно оси, проходящей перпендикулярно стержню через его торец (рис.3.6).

 

 

 

Рис.3.6

· Момент инерции тонкого однородного кольца массой m и радиусом R относительно оси, проходящей через его центр перпендикулярно плоскости кольца (рис.3.7).

 

 

Рис.3.7

· Момент инерции тонкого однородного диска массой m и радиусом R относительно оси, проходящей через его центр перпендикулярно плоскости диска (рис.3.7).

 

 

 

Рис.3.8

 

· Момент инерции тела произвольной формы.

Для тел произвольной формы момент инерции пишут в такой форме:

 

,

где ρ – т.н. радиус инерции тела, или радиус некого условного кольца массой m, осевой момент инерции которого равен моменту инерции данного тела.

 

Теорема Гюйгенса – Штейнера

Рис.3.9

 

Свяжем с телом две параллельные системы координат. Первая Cx'y'z', с началом координат в центре масс, называется центральной[6], и вторая Oxyz, с центром О, лежащей на оси Cx' на расстоянии СО = d (рис.3.9). Легко установить связи координат точек тела у этих систем:

В соответствии с формулой (3.47), момент инерции тела относительно оси Oz:

 

Здесь постоянные для всех членов 2-й и 3-й сумм правой части сомножители 2 d и d вынесены из соответствующих сумм. Сумма масс в третьем слагаемом – это масса тела . Вторая сумма, в соответствии с (3.7), определяет координату центра масс С на оси Cx' (), причем очевидно равенство: . Учтя, что 1-е слагаемое, по определению, является моментом инерции тела относительно центральной оси Cz' (или Z_C) , получим формулировку теоремы Гюйгенса - Штейнера:

(3.50)

 

Момент инерции тела относительно некой оси равен сумме момента инерции тела относительно параллельной центральной оси и произведения массы тела на квадрат расстояния между этими осями.

 

ВОПРОСЫ ДЛЯ САМОКОНТРОЛЯ

 

1. Приведите формулы для осевых моментов инерции стержня, кольца, диска.

2. Найдите радиус инерции круглого сплошного цилиндра относительно его центральной оси.

3. Используя формулу для центрального момента инерции стержня , выведите с помощью теоремы Гюйгенса – Штейнера значение момента инерции относительно параллельной оси, проходящей через его торец.

 

Уравнение динамики вращательного движения твердого тела

 

Применим теорему моментов для случая вращения тела (3.48) вокруг оси Oz. Тогда третье уравнение из (3.44) примет вид: . Учитывая определение углового ускорения (2.42), получим 3 варианта уравнения динамики вращательного движения:

 

(3.51)

 

Первое уравнение – скалярное, второе и третье – дифференциальные уравнения первого и второго порядка, соответственно. На их основе формулируют первую и вторую задачи динамики вращательного движения тела.

Используя формулировку теоремы моментов относительно центра масс механической системы (3.43), можно получить уравнения динамики вращательного движения относительно (перемещающейся) центральной оси:

 

(3.52)

 

Заметим, что уравнения (3.51), (3.52) весьма схожи с уравнениями движения точки (3.18) и (3.19), либо движения центра масс тела (3.31). Таким образом, существуют аналогии в характеристиках поступательного и вращательного движений. В кинематике они известны: линейные перемещение – угол поворота, скорость – угловая скорость, ускорение – угловое ускорение. Сформулируем динамических аналогии: силовые факторы (сила – момент силы) и характеристики инертности (масса – момент инерции) в этих движениях.

 

ВОПРОСЫ ДЛЯ САМОКОНТРОЛЯ

 

1. Сформулируйте в скалярной и дифференциальной форме уравнение динамики вращения твердого тела.