Параметричні методи порівняння результатів дослідження

Використовуються для значень, отриманих у результаті вимірювання інтервальними шкалами. Ґрунтуються на порівнянні різних параметрів досліджуваних вибірок (середніх значень, дисперсій та ін.).

Вибір формули обчислення t-критерію, що служить для порівняння двох вибірок, залежить від того чи подібні ці дві групи за F-критерієм. Отже, починати порівнювати дві вибірки слід з обчислення F_emp за формулою:

 

{Формула 2.5}

 

де σ₁ – дисперсія першої сукупності,

σ₂ – дисперсія другої сукупності,

причому σ₁ > σ₂

Дисперсія – показник, що характеризує розсіяння значень елементів сукупності (вибірки) навколо її середнього арифметичного значення. Дисперсію обчислюють за формулою:

{Формула 2.6}

 

Корінь з дисперсії називають середньоквадратичним або стандартним відхиленням

{Формула 2.7}

 

де x _i – значення окремих елементів сукупності;

f –їх, частота;

– середнє арифметичне сукупності;

N – об’єм вибірки (кількість членів сукупності).

Наприклад, встановимо, чи подібні два класи учнів (7-А і 7-Б) за їх успішністю з біології за F-критерієм. Для цього спочатку обчислимо дисперсію (σ₁²) для першого класу (7-А кл.) і дані занесемо до табл. 2.7, потім обчислимо дисперсію (σ₂²) для 7-Б класу (табл. 2.8) і знайдемо F_emp.

 

Таблиця 2.7

Обчислення дисперсії для 7-А кл.

Кількість правильно виконаних тестових завдань з біології, хі	Частота оцінок, f	хі –	(хі – )2	f· (хі – )2
		-2,81	7,70	15,4
		-1,81	3,28	13,12
		-0,81	0,66	4,62
		0,19	0,04	0,32
		1,19	1,42	8,52
		2,19	4,80	14,4
		3,19	10,18	10,18
N = 31	= 7,81	Σ = 98,24
σ12 = 3,17

Таблиця2.8

Обчислення дисперсії для 7-Б кл.

Кількість правильно виконаних завдань з біології, хі	Частота оцінок, f	хі –	(хі – )2	f· (хі – )2
		-2,69	7,24	7,24
		-1,69	2,86	11,44
		-0,69	0,48	2,40
		0,31	0,10	0,90
		1,31	1,72	12,04
		2,31	5,34	10,68
		3,31	11,00	11,00
N = 29	= 7,69	Σ = 55,7
σ22 = 1,92

 

 

Потім знаходимо в F-таблиці (табл. 2.9), значення F_krit. В головці таблиці шукають значення сукупності з більшою дисперсією (σ₁²), а в боковику – з меншою дисперсією (σ₂²). Якщо F_emp > F_krit, то вибірки суттєво різняться, якщо F_emp ≤ F_krit, то вибірки схожі за даною ознакою.

У нашому прикладі F_emp < F_krit (1,65 < 1,70), отже, 7-А і 7-Б класи істотно не відрізняються за своєю успішністю з біології. Вірогідність того, що ці класи, подібні складає 95%.

Таблиця 2.9

Таблиця F-критерію (достовірність 95%)

Знаменник N2 – 1	Чисельник N1 – 1
					∞
	6,4	6,3	6,2	5,9	5,8	5,6
	5,2	5,1	5,0	4,7	4,5	4,4
	4,5	4,4	4,3	4,0	3,8	3,7
	4,1	4,0	3,9	3,6	3,4	3,2
	3,8	3,7	3,6	3,3	3,1	2,9
	3,6	3,5	3,4	3,1	2,9	2,7
	3,5	3,3	3,2	2,9	2,7	2,5
	3,4	3,2	3,1	2,8	2,6	2,4
	3,3	3,1	3,0	2,7	2,5	2,3
	3,2	3,0	2,9	2,6	2,4	2,2
	3,1	3,0	2,9	2,5	2,3	2,1
	3,1	2,9	2,8	2,5	2,3	2,1
	3,0	2,9	2,7	2,4	2,2	2,0
	3,0	2,8	2,7	2,4	2,2	2,0
	2,9	2,8	2,7	2,3	2,1	1,9
	2,9	2,7	2,6	2,3	2,1	1,9
	2,9	2,7	2,6	2,3	2,1	1,8
	2,8	2,7	2,6	2,2	2,0	1,8
	2,8	2,6	2,5	2,2	2,0	1,7
	2,7	2,6	2,5	2,2	2,0	1,7
	2,7	2,6	2,4	2,1	1,9	1,7
	2,7	2,5	2,4	2,1	1,9	1,6
	2,6	2,5	2,3	2,0	1,8	1,5
	2,5	2,4	2,3	1,9	1,7	1,4
	2,5	2,3	2,2	1,8	1,6	1,3
∞	2,4	2,2	2,1	1,8	1,5	1,0

 

N₁ – кількість членів І сукупності.

N₂ – кількість членів ІІ сукупності.

 

Якщо F_emp > F_krit, то для більш точної перевірки і встановлення достовірності різниці класів використовується t-критерій, що обчислюється за формулою:

{Формула 2.8}

 

 

де – середнє, арифметичне першої сукупності;

 

– середнє арифметичне другої сукупності;

N₁ – об’єм першої вибірки (кількість членів першої сукупності);

N₂ – об’єм другої вибірки (кількість членів другої сукупності);

σ₁² – дисперсія першої сукупності;

σ₂² – дисперсія другої сукупності.

 

Після знаходження t_emp його порівнюють з t_krit, взятим з таблиці 2.10.

 

Таблиця 2.10

Таблиця t – критерію

N 1 + N 2 – 2	Достовірність
95%	99%
	12,71	63,66
	4,30	9,93
	3,19	5,84
	2,78	4,60
	2,57	4,03
	2,30	3,36
	2,23	3,17
	2,18	3,06
	2,15	2,98
	2,12	2,92
	2,10	2,88
	2,09	2,85
	2,07	2,82
	2,06	2,80
	2,05	2,78
	2,05	2,76
	2,04	2,75
	2,02	2,70
	2,00	2,66
	1,98	2,62
∞	1,96	2,58

 

N₁ – кількість членів І сукупності.

N₂ – кількість членів ІІ сукупності.

 

Якщо t_emp > t_krit, то сукупності різняться за досліджуваною ознакою, вони не однакові (з 95% ймовірністю), якщо t_emp ≤ t_krit, то відмінності цих вибірок не достовірні, тобто досліджувані групи подібні за певною ознакою і можуть бути використані для подальшого експерименту у ролі контрольних та експериментальних груп.

 

Непараметричний метод порівняння результатів дослідження – метод χ²

 

Використовується для обчислення значень, отриманих в результаті вимірювання порядковими та інтервальними шкалами, якщо необхідно встановити чи існує істотна відмінність між рядами показників двох сукупностей. Ґрунтується метод χ² на порівнянні частот, що характеризують розподіл значень. Метод χ² або критерій К.Пірсона інакше називають критерієм злагоди.

Для початку слід розбити ряд упорядкованих значень на інтервали. Наприклад, ряд значень семестрових оцінок із біології учнів 6-го класу (табл.2.11) перегрупуємо в інтервали (табл.2.12). При чому, для обчислення χ²-критерію слід перегрупувати інтервали так, щоб сума частот в них була не менше, ніж 4-5 (тобто слід додати інтервали з малими частотами). Нові перегруповані дані заносимо до робочої таблиці обчислення χ²-критерію (табл. 2.12). χ² обчислюють за формулою:

 

{Формула 2.9}

 

 

де f^/_E – відносна частота інтервалу одного ряду (наприклад, експериментального класу);

f^/_K – відносна частота інтервалу другого ряду (контрольного класу).

 

Якщо об’єми досліджуваних вибірок однакові (однакова кількість учнів у контрольній та експериментальній групі), то можна не вираховувати відносні частоти. В іншому випадку слід використовувати відносні частоти (у %). Наприклад, в кінці першого семестру 6-А і 6-Б класів з біології розподілились так (див. табл. 2.12).

Таблиця 2.11