Квадрат Ло Шу (так называют этот магический квадрат китайцы)

 

Данный магический квадрат был известен ещё в древнем Китае, первое изображение на черепаховом панцире датируется 2200 г. до новой эры. Такой магический квадрат был у древних китайцев символом огромного значения. Цифра 5 в середине означала землю, а вокруг неё в строгом равновесии располагались огонь (2 и 7), вода (1 и 6), дерево (3 и 8), металл (4 и 9).

Квадрат, найденный в Кхаджурахо, (Индия).

Самый ранний уникальный магический квадрат обнаружен в надписи XI века в индийском городе Кхаджурахо. Это первый магический квадрат, относящийся к разновидности так называемых «дьявольских» квадратов.

Магический квадрат Ян Хуэя (Китай).

В XIII веке математик Ян Хуэй занялся проблемой методов построения магических квадратов. Его исследования были потом продолжены другими китайскими математиками. Ян Хуэй рассматривал магические квадраты не только третьего порядка, но и больших порядков. Некоторые из его квадратов были достаточно сложны, однако он всегда давал правила их построения. Он сумел построить магический квадрат 6-го порядка.

Квадрат Альбрехта Дюрера.

Магический квадрат 4х4, изображённый на гравюре Альбрехта Дюрера «Меланхолия», считается самым ранним в европейском искусстве. (приложение 2). Два средних числа в нижнем ряду указывают дату создания картины – 1514 год. Сумма чисел на любой горизонтали, вертикали и диагонали равна 34. Эта сумма также встречается во всех угловых квадратах 2х2, в центральном квадрате, в квадрате из угловых клеток, в квадратах, построенных «ходом коня», в прямоугольниках, образованных парами средних клеток на противоположных сторонах.

10+11+6+7=34; 16+13+4+1=34; 2+8+9+15=34 и 3+5+12+14=34; 3+2+15+14=34 и 5+8+9+12=34.

Квадраты Генри Э. Дьюдени и Аллана У. Джонсона.

Квадрат Дьюдени Квадрат Джонсона

 

 

Если в квадратную таблицу n x n заносится не строго натуральный ряд чисел, то данный магический квадрат – нетрадиционный. Эти два квадрата заполнены в основном простыми числами. Первый имеет порядок 3, второй – 4. Оба они были разработаны в начале двадцатого столетия.

Дьявольский магический квадрат

Это такой магический квадрат, в котором кроме строк, столбцов, основных диагоналей совпадают суммы чисел по ломаным диагоналям в обоих направлениях. Такие квадраты называют ещё пандиагональными. Существует 3 существенно различных квадрата:

 

Однако было доказано, что из последнего третьего варианта простейшими перестановками чисел получаются первые два квадрата. То есть третий вариант – это базовый дьявольский квадрат, из которого различными преобразованиями можно построить все остальные.

 

 

Глава III

Некоторые способы построения магических квадратов

1 ) Способ Баше (террас).

При помощи этого способа составляют магические квадраты из нечетного числа клеток: 3х3, 5х5, 7х7 и т. п. Прием этот предложен в XVII веке французским математиком Баше. Опишем способ построения 9-ти клеточного квадрата. (рис.1) Начертив квадрат из 9-ти клеток, пишем по порядку числа от 1 до 9, располагая их косыми рядами по 3 в ряд. Числа, стоящие вне квадрата, вписываем внутрь его так, чтобы они

примкнули к противолежащим сторонам квадрата, оставаясь в тех же столбцах или строках, что и раньше. В результате получаем квадрат:

Применим правило Баше к составлению квадрата из 5х5. Начинаем с расположения (рис.2). Остается только числа, оказавшиеся за рамками квадрата, ввести внутрь его. Для этого нужно фигуры, образованные числами, стоящими вне квадрата (террасы), мысленно вдвинуть в квадрат так, чтобы эти фигуры примкнули к противолежащим сторонам квадрата. Получится магический квадрат:

 

Индийский способ.

Этот способ придуман, как полагают, в Индии еще до начала нашего летоисчисления. Его суть заключается в 6-ти правилах. Приведём пример построения 49-ти клеточного квадрата.

1. В середине верхней строки пишут 1, а в самом низу соседнего справа столбца – 2.

2. Следующие числа пишут по порядку в диагональном направлении вправо вверх.

3. Дойдя до правого края квадрата, переходят к крайней левой клетке ближайшей вышележащей строки.

4. Дойдя до верхнего края квадрата, переходят к самой нижней клетке соседнего справа столбца. Дойдя до правой верхней угловой клетки, переходят к левой нижней.

5. Дойдя до уже занятой клетки, переходят к клетке, лежащей непосредственно под последней заполненной клеткой.

6. Если последняя заполненная клетка находится в нижнем ряду квадрата, переходят к самой верхней клетке в том же столбце.

 

 

Из полученного квадрата путём поворотов и отражений можно составить еще несколько магических квадратов. (приложение 5)