Уравнение волны. Энергия волн.

Понятие о волнах.

 

Тело, совершающее механические колебания, передает в окружающую среду за счет сил трения или сопротивления теплоту, что усиливает беспорядочное движение частиц среды. Однако во многих случаях за счет энергии колебательной системы возникает упорядоченное движение соседних частиц окружающей среды – они начинают совершать вынужденные колебания относительно своего исходного положения под действием упругих сил, связывающих частицы друг с другом. Объем пространства, в котором происходят эти колебания, возрастает с течением времени. Такой процесс распространения колебаний в среде называется волновым движением или просто в о л н о й. В общем случае наличие упругих свойств в среде не является обязательным для распространения в ней волн. Например, электромагнитные и гравитационные волны распространяются и в вакууме. Поэтому в физике в о л н а м и называют всякие распространяющиеся в пространстве возмущения состояния вещества или поля. Под возмущением понимают отклонение физических величин от их равновесных состояний.

В твердых телах под возмущением понимают периодически меняющуюся деформацию, порожденную действием периодической силы и вызывающую отклонение частиц среды от положения равновесия – их вынужденные колебания. При рассмотрении процессов распространения волн в телах обычно отвлекаются от молекулярного строения этих тел и рассматривают тела как сплошную среду, непрерывно распределенную в пространстве. Под частицей среды, совершающей вынужденные колебания, понимают малый элемент объема среды, размеры которого в то же время во много раз больше межмолекулярных расстояний. Вследствие действия упругих сил деформация будет распространяться в среде с определенной скоростью, называемой скоростью волны.

В газовой среде волны представляют собой чередующиеся области более высокого и более низкого давления и плотности, перемещающиеся в пространстве с течением времени. Под действием изменяющегося давления барабанная перепонка уха совершает вынужденные колебания, которые через уникальную сложную систему слухового аппарата вызывают биотоки, протекающие к мозгу.

Важно отметить, что частицы среды не увлекаются движущейся волной. Скорость их колебательного движения отличается от скорости волны. Траектория частиц представляет собой замкнутую кривую, а их суммарное отклонение за период равно нулю. Поэтому распространение волн не вызывает переноса вещества, хотя при этом переносится энергия от источника колебаний в окружающее пространство.

В зависимости от того, в каком направлении происходят колебания частиц, говорят о волнах продольной или поперечной поляризации.

Волны называются продольными, если смещение частиц среды происходит вдоль направления распространения волны (например, при периодическом упругом сжатии или растяжении тонкого стержня вдоль его оси). Продольные волны распространяются в средах, в которых силы упругости возникают при сжатии или растяжении (т. е. в твердых, жидких и газообразных).

Если частицы колеблются в направлении, перпендикулярном к направлению распространения волны, то волны называются поперечными. Они распространяются только в средах, в которых возможна деформация сдвига (только в твердых телах). Кроме того, поперечные волны распространяются на свободной поверхности жидкости (например, волны на поверхности воды) или на границе раздела двух несмешивающихся жидкостей (например, на границе пресной и соленой воды).

Теория упругих деформаций дает формулы для вычисления скоростей распространения поперечных и продольных волн в упругих средах.

Скорость распространения продольной волны

(1)

где Е - модуль Юнга среды (модуль упругости среды); ρ - плотность среды.

Скорость распространения поперечной волны

(2)

где G - модуль сдвига.

Звуковые волны в воздухе являются продольными. Для жидкостей и газов вместо модуля Юнга в формулу (1) входит отношение отклонения давления ΔΡ к относительному изменению объема

(3)

Знак минус означает, что увеличению давления (процессу сжатия среды) соответствует уменьшение объема и наоборот. Полагаяизменения объема и давления бесконечно малыми, можно записать

(4)

При распространении волн в газах давление и плотность периодически повышаются и понижаются (соответственно, при сжатии и разрежении), в результате чего происходит изменение температуры различных участков среды. Сжатие и разрежение происходят так быстро, что смежные участки не успевают обменяться энергией. Процессы, происходящие в системе без теплообмена с окружающей средой, называются адиабатическими. При адиабатическом процессе изменение состояния газа описывается уравнением Пуассона

(5)

Параметр γ называют показателем адиабаты. Он равен отношению молярных теплоемкостей газа при постоянном давлении C_p и постоянном объеме C_v:

.

Дифференцируя (5), получаем , откуда следует:

. (6)

Подставив (6) в (4), получим для модуля упругости газа

. (7)

Подставив (7) в (1), найдем скорость упругих волн в газах:

(8)

Из уравнения Менделеева-Клапейрона можно выразить плотность газа

(9)

где - молярная масса.

Подставляя (9) в (8), получим конечную формулу для нахождения скорости звука в газе:

(10)

где R - универсальная газовая постоянная, Т - температура газа.

Измерение скорости звука - один из наиболее точных методов определения показателя адиабаты.

Преобразуя формулу (10), получим:

(11)

Таким образом, для определения показателя адиабаты достаточно измерить температуру газа и скорость распространения звука.

Уравнение волны. Энергия волн.

 

Волновой поверхностью называют геометрическое место точек, колеблющихся в одинаковой фазе. В простейших случаях они имеет форму плоскости или сферы, а соответствующая волна называется плоской или сферической. Рассмотрим плоскую волну, распространяющуюся вдоль оси х. Пусть частицы среды, лежащие в плоскости x = 0, начинают в момент t=0 совершать колебания по гармоническому закону. Это значит, что смещение частиц изменяется во времени по закону синуса или косинуса, например:

y = A sinωt (12)

где у - смещение данных частиц от положения равновесия в момент времени t, А -максимальное значение смещения (амплитуда); ω - циклическая частота.

Пренебрегая затуханием в среде, получим уравнение колебания частиц, расположенных в плоскости, соответствующей произвольному значению x>0 (рис.1). Пусть волна распространяется в направлении возрастания х. Чтобы пройти путь от плоскости x=0 до указанной плоскости, волне требуется время

(13)

где v -скорость перемещения поверхности постоянной фазы (фазовая скорость).

Поэтому колебания частиц, лежащих в плоскости х, начнутся в момент t = τ будут происходить по такому же закону, что и в плоскости х=0, но с отставанием по времени на величину τ, а именно:

 

 

Рис. 1

 

(14)

Иначе говоря, смещение частиц, находившихся в момент t=0 в плоскости х, в момент t будут такими же, как в плоскости х=0, но в более ранний момент времени

t₁= (15)

Учитывая (13), получаем:

y = A sinω (16)

Уравнение (16) представляет собой уравнение плоской бегущей волны, распространяющейся вдоль положительного направления оси х. Из него можно определить отклонение частиц среды от равновесия в любой точке пространства с координатой х и в любой момент времени t при распространении указанной волны. Вместо синуса в (16) можно поставить косинус. Аргумент косинуса или синуса называют фазой колебания. Фаза определяет состояние колебательного процесса в данный момент времени (знак и абсолютную величину относительного отклонения частиц от их положения равновесия). Из (15) видно, что фаза колебаний частиц, расположенных в плоскости х, меньше соответствующей величины для частиц, расположенных в плоскости х=0, на величину, равную .

Если плоская волна распространяется в направлении убывания х (налево), то уравнение (16) преобразуется к виду:

У = A sinω (17)

Учитывая, что

,(18)

запишем (16) в виде:

у=A cos2π (19)

где Т - периодколебания, ν - частота.

Расстояние λ, на которое волна распространяется за период Т

λ=υT (20)

 

называется длиной волны.

Можно также определить длину волны и как расстояние между двумя ближайшими точками, фазы колебаний которых отличаются на 2π (рис.2).

 

 

Рис. 2

 

В дальнейшем более удобно использовать в уравнении волны косинус. Учитывая (19 и 20), уравнение бегущей волны можно представить в виде:

(21)

где - волновое число, показывающее, сколько длин волн укладывается на расстоянии, равном 2π метров.

Для бегущей волны, распространяющейся против положительного направления оси х, получим:

(21а)

 

При распространении волны происходит перенос энергии в пространстве. Плотность кинетической энергии w_k (равная кинетической энергии единицы объема) составляет

, где ρ - плотность среды, u -скорость колебательного движения частиц среды (не путать со скоростью распространения волны v). Поскольку u = dy/dt, то из (21) получим:

= (22)

В отличие от обычных локальных колебаний (математический маятник, груз на пружине и т.п.), потенциальная энергия бегущей волны определяется не смещением некоторого участка от положения равновесия, а его относительной деформацией dy/dx,(dx - длина участка в невозмущенном состоянии, dy –изменение длины участка при прохождении волны). Плот-ность потенциальной энергии (равная потенциальной энергии единицы объема) равна ,

где к₀ -

Дифференцируя (21) по х и подставляя значение учитывая (1), получим:

= (23)

Как видно из (22) и (23), для бегущей волны в любой момент времени выполняется равенство: w_k = w_p. Иначе говоря, кинетическая и потенциальная энергии колеблются в одной фазе (т.е. достигают своих максимальных или минимальных значений одновременно). Это является существенным отличием от локальных колебаний, для которых кинетическая и потенциальная энергии колеблются в противофазе.

Плотность колебательной энергии для бегущей волны

w = w_k + w_p.

С учетом (22,23) получим

= (24)

Эта величина колеблется во времени с частотой, вдвое большей частоты колебаний частиц среды. Среднее по времени значение плотности энергии волны для любой точки, через которую проходит волна, равно

(25).

Множитель 0.5 возникает за счет того, что среднее значение квадрата синуса за период как раз равно 0,5.

Таким образом, плотность колебательной энергии, переносимой волной, пропорциональна плотности среды и квадратам частоты и амплитуды.

Особую роль играют гармоническиеволны (см., например, уравнения (16) и (17)). Это связано с тем,чтолюбое распространяющееся колебание, какова бы ни была его форма, всегда можно рассматривать как результат суперпозиции (сложения) гармонических волн с соответственно подобранными частотами, амплитудами и фазами.

 

 

Стоячие волны.

Особый интерес представляет собой результат интерференции двух волн с одинаковой амплитудой и частотой, распространяющихся навстречу друг другу. На опыте это можно осуществить, если на пути бегущей волны перпендикулярно к направлению распространения поставить хорошо отражающую преграду. В результате сложения (интерференции) падающей и отраженной волн возникнет так называемая стоячая волна. Пусть падающая волна описывается уравнением (16), а отраженная – уравнением (17).

Сложениеэтих двух волн дает

y = 2A cosωt cos (26)

Это уравнение, называемое уравнением стоячей волны, удобно в дальнейшем анализировать в виде:

y = 2A cosωt, (27)

где множитель

A₀ = (28)

является амплитудой стоячей волны. Как видноиз выражения (28), амплитуда стоячей волны зависит от координаты точки, но не зависит от времени. У бегущей плоской волны амплитуда не зависит ни от координаты, ни от времени (при отсутствии затухания).

Множитель cosωt показывает, что в точках среды возникает колебание с той же частотой, что и колебания встречных волн. Так как функция может принимать значения от 0 до I, то амплитуда стоячей волны в зависимости от координаты точки может принимать значения от А₀ = 0 до А₀= 2.

Точки стоячей волны, в которых амплитуда колебаний равна нулю, называют узлами, а точки, в которых она максимальна, называют пучностями. Координаты пучностей стоячей волны можно определитьизравенства

или

 

тогда (29)

где k = 0, 1, 2,....

Координаты узлов определяютсяиз равенства

откуда следует

x= (30)

Из выражений (29) и (30) следует, что расстояние между соседними узлами (или между соседними пучностями) равно , а расстояние между ближайшими узлом и пучностью равно (рис.3). Уравнение (27) показывает, что все точки среды, расположенные между двумя соседними узлами, колеблются в одной фазе, причем значение фазы определяется только временем. Для бегущей волны как следует из (16), фаза определяется как временем, так и пространственной координатой. В этом еще одно отличие между данными волнами. При переходе через узел фаза стоячей волны скачкообразно изменяется на 180^о. Кривые 1 и 5, приведенные на рис.3, соответствуют максимальному отклонению частиц от положения равновесия в моменты времени, отличающиеся на половину периода. В другие моменты времени кривая отклонения частиц будет располагаться между этими двумя.

 

 

Рис. 3

 

При отражении волн на границе двух сред возникает либо узел, либо пучность (в зависимости от так называемых акустических сопротивлений сред). Акустическим сопротивлением среды называют величину . Если среда, от которой отражается волна, обладает более высоким акустическим сопротивлением, чем та, в которой эта волна возбуждается, то на границе раздела образуется узел. В этом случае фаза волны при отражении меняется на противоположную (на 180°). При отражении волны от среды с меньшим акустическим сопротивлением изменение фазы колебаний не происходит.

В отличие от бегущей волны, которая переносит энергию, в стоячей волне никакого переноса.энергии нет. Бегущая волна может двигаться вправо или влево, а у стоячей волны нет направления распространения. Под термином "стоячая волна" нужно понимать особое колебательное состояние среды, образованное интерферирующими волнами.

В момент, когда частицы среды проходят положение равновесия, полная энергия частиц, захваченных колебанием, равна кинетической. Она сосредоточена в окрестностях пучностей. Напротив, в момент, когда отклонение частиц от положения равновесия максимально, их полная энергия является уже потенциальной. Она сосредоточена вблизи узлов. Таким образом, два раза за период происходит переход энергии от пучностей к соседним узлам и наоборот. В результате средний по времени поток энергии в любом сечении стоячей волны равен нулю.

Стоячие волны различной природы (упругие, электромагнитные) проявляются во многих физических явлениях (например, колебания струн музыкальных инструментов, камертонов, колебания электрического тока в вибраторах антенн, голография).

Если плоская звуковая волна распространяется вдоль оси цилиндра в столбе воздуха, ограниченном его стенками и поршнем (рис.4), то в результате сложения падающей и отраженной от поршня волн образуется стоячая волна. Вследствие разности акустических сопротивлений поршня и воздуха на границе с поршнем будет находиться узел стоячей волны. На открытом же конце цилиндра будет находиться пучность.

 

 

Рис.4.

В этом случае в цилиндре могут установиться лишь такие колебания, при которых на длине столба L укладывается нечетное число четвертей длин волн, т.е. выполняется условие:

(31)

где n - любое целое число, большее нуля.

Из этого условия можно выразить длину волны

,(32)

или частоту колебаний

(33)

Возникающие колебания частотами, удовлетворяющими условию (33), называются собственными колебаниями системы. Колебания с наименьшей частотой называют основным тоном, а остальные, с частотами 3 _o, 5 _o, 7 _o, … - обертонами.

Если частота фиксирована, то устойчивых колебаний можно добиться, изменяя L путем перемещения поршня и добиваясь таким образом выполнения условия (30). Расстояние между двумя соседними положениями поршня, при которых возникают устойчивые колебания, равно . На эту величину отличаются и соответствующие длины столбов воздуха в трубе.