Давление под искривленной поверхностью жидкости

Если поверхность жидкости не плоская, а искривленная, то она оказывает на жидкость избыточное (добавочное) давление. Это давление, обусловленное силами поверхностного натяжения, для выпуклой поверхности положительно, а для вогнутой поверхности – отрицательно.

Для расчета избыточного давления предположим, что свободная поверхность жидкости имеет форму сферы радиуса R (Рис.10.3),от которой отсечен шаровой сегмент, опирающийся на окружность радиуса r=R sin α.

Рис.10.3. На каждый бесконечно малый элемент длины Δ l этого контура действует сила поверхностного натяжения Δ F = σ Δ l, касательная к поверхности сферы. Разложив Δ F на два компонента (Δ F ₁ и Δ F ₂), видим, что геометрическая сумма сил Δ F₂ равна нулю, так как эти силы на противоположных сторонах контура направлены в обратные стороны и взаимно уравновешиваются. Поэтому равнодействующая сил поверхностного натяжения, действующих на вырезанный сегмент, направлена перпендикулярно плоскости сечения внутрь жидкости и равна алгебраической сумме составляющих Δ F ₁:

F=∑ Δ F ₁= ∑ Δ F sin α = ∑σ Δ l r/R= ∑ Δ l = σr/R 2πr.

Разделив эту силу на площадь основания сегмента πr ², вычислим избыточное (добавочное) давление на жидкость, создаваемое силами поверхностного натяжения и обусловленное кривизной поверхности:

Δ р =F/S= 2 σ πr ²/ R πr ²=2 σ / R. (10.4)

Если поверхность жидкости вогнутая, то можно доказать, что результирующая сила поверхностного натяжения направлена из жидкости и равна

Δ р= -2 σ/R.

Следовательно, давление внутри жидкости под вогнутой поверхностью меньше, чем в газе, на величину Δ р.

Формулы являются частным случаем формулы Лапласа, определяющей избыточное давление для произвольной поверхности жидкости двоякой кривизны:

Δ р =σ(1/ R ₁+1/ R ₂), (10.5)

где R ₁ и R ₂ — радиусы кривизны двух любых взаимно-перпендикулярных нормальных сечений поверхности жидкости в данной точке. Радиус кривизны положителен, если центр кривизны соответствующего сечения находится внутри жидкости, и отрицателен, если центр кривизны находится вне жидкости.

Для сферической искривленной поверхности (R ₁= R ₂= R) выражение (10.5) переходит в записанное ранее (10.4), для цилиндрической (R ₁= R и R ₂=∞) - избыточное давление

Δ p = σ/R.

Для плоской поверхности (R ₁= R ₂=∞) силы поверхностного натяжения избыточного давления не создают.

 

Капиллярные явления

Если поместить узкую трубку(капилляр)одним концом в жидкость, налитую в широкий сосуд, то вследствие смачивания или несмачивания жидкостью стенок капилляра кривизна поверхности жидкости в капилляре становится значительной. Если жидкость смачивает материал трубки, то внутри ее поверхность жидкости мениск имеет вогнутую форму, если не смачивает – выпуклую.

Под вогнутой поверхностью жидкости появится отрицательное избыточное давление, определяемое по выше приведенной формуле. Наличие этого давления приводит к тому, что жидкость в капилляре поднимается, так как под плоской поверхностью жидкости в широком сосуде избыточного давления нет. Если же жидкость не смачивает стенки капилляра, то положительное избыточное давление приведет к опусканию жидкости в капилляре. Явление изменения высоты уровня жидкости в капиллярах называется капиллярностью. Жидкость в капилляре поднимается или опускается на такую высоту h, при которой давление столба жидкости (гидростатическое давление) ρgh уравновешивается избыточным давлением Δ p, т.е.

2 σ/R=ρgh, (10.6)

где ρ — плотность жидкости, g — ускорение свободного падения

Если r - радиус капилляра, θ — краевой угол, то из рис.10.3 следует, что (2 σ cos θ)/ r = ρgh, откуда

h= (2 σ cos θ) / (ρgr). (10.7)

В соответствии с тем, что смачивающая жидкость по капилляру поднимается, а несмачивающая – опускается, из последней формулы при θ <π/2 (cos θ >0) получим положительные значения h, а при θ > π/2

Рис.10.3. (cosθ<0) - отрицательные. Из этого выражения видно также, что высота поднятия (опускания) жидкости в капилляре обратно пропорциональна его радиусу.

В тонких капиллярах жидкость поднимается достаточно высоко. Так, при полном смачивании (θ =0) вода (ρ=1000 кг/м³, σ =0,073 Н/м) в капилляре диаметром 10 мкм поднимается на высоту h =3м.

Капиллярные явления играют большую роль в технике, в частности, в строительстве. Например, влагообмен в почве и пористых строительных материалах осуществляется за счет поднятия воды по тончайшим капиллярам. Поэтому важно принять специальные меры по гидроизоляции строительных конструкций в местах с высоким стоянием грунтовых вод. На капиллярности основано впитывание влаги деревянными элементами, поэтому их предварительно пропитывают влагостойкими жидкостями (олифа, эпоксидные смолы, продукты нефтепереработки), покрывают красками и лаками.