Вывод расчетной формулы напряжения рассеяния

Напряжение рассеяния определяется по основной формуле напряжения трансформатора

U_р = 4,44fωФ_р•10^-4 в,

где Ф_р — общий поток рассеяния, проходящий вдоль обмоток и сцепленный с одним витком обмотки.

Индукция В_р в любой точке магнитного поля пропорциональна намагничивающей силе (ампер-виткам), охватывающей эту точку или, для трансформатора, цилиндрическую поверхность, проведенную через какую-либо магнитную линию потока рассеяния.

На рис. 5.3 изображены в разрезе обе обмотки и диаграмма распределения магнитной индукции, поясняющие вывод формулы напряжения рассеяния.

Как было сказано выше, первичная и вторичная намагничивающие силы равны между собой и направлены противоположно, т. е.

I₁ω₁+ I₂ω₂ = 0.

По краям зоны обмоток (точки О₁ и О₂) индукция равна нулю, так как нет ампер-витков, охватывающих силовые линии, находящиеся на крайних поверхностях обмоток. В толще катушек индукция будет увеличиваться по направлению от края катушки к главному каналу,

потому что поток создается теми ампер-витками, которые охватывают данную магнитную линию или с которыми сцеплена магнитная линия.

Наибольшая индукция потока рассеяния будет в главном канале и она будет одинаковой по всей ширине канала. Обычно предполагается, чтобы не усложнять хода рассуждений, что ампер-витки по сечению обмотки распределены с равномерной плотностью. Тогда распределение ампер-витков, а следовательно, и индукции В_р в радиальном направлении зоны обмоток может быть изображено диаграммой в виде трапеции, называемой трапецией Каппа, как это показано на рис. 5.2 и 5.3.

Произведение ωФ_р= ωB_РF называется потокосцеплением. Так как значения ω и В_Р являются величинами переменными, то общее потокосцепление определяется как сумма элементарных потокосцеплений

ωФ_р=Σ ω_ХB_ХdF_X

Рис. 5.3. Эскиз, поясняющий вывод формулы напряжения рассеяния

Для облегчения расчет производится раздельно по каждому из трех отдельных участков зоны обмоток с радиальными размерами а₁, а и а₂, для которых находится значение потокосцепления.

На среднем участке а (главного канала) ампер-витки и поток постоянны по величине, так как ω и В_р не меняют своих значений, поэтому потокосцепление на этом участке будет

(ωФ_р)_a = ωB_РF_a = ωB_Рπ D_cpa,

где F_a= πD_cpa — площадь сечения участка а, см²;

D_cp — средний диаметр главного канала рассеяния, см.

Любая магнитная линия участка а будет сцеплена со всеми витками либо первичной обмотки I, либо вторичной обмотки II.

Расчет потокосцепления на участке a₁ производится путем интегрирования элементарных потокосцеплений на этом участке.

Выделим в обмотке I элементарную зону в виде силовой трубки (цилиндра) с толщиной стенки dx, на расстоянии х от точки O₁, находящейся на крайней поверхности обмотки I, которая будет являться началом координат.

Магнитный поток этой трубки

dФ_x = B_xdF_x = В_p (х/а₁)π (D₁— a₁ + 2x) dx.

где D₁ — средний диаметр обмотки I, см.

Этот магнитный поток сцеплен с витками ω_x= ω₁(х/а₁), расположенными на рис. 5.3 влево от зоны dx.

Следовательно, общее потокосцепление на участке a₁

Для удобства интегрирования полученный интеграл разбивается на два интеграла. В первый интеграл из членов, заключенных в скобки, войдут члены D₁—a₁, а во второй — 2х.

После вынесения постоянных величин за знак интеграла получим:

1)

2)

Отсюда потокосцепление на участке а_х будет равно сумме полученных результатов, т. е.

Аналогичным образом определяется общее потокосцепление на участке а2 (приводится без вывода)

где D₂ — средний диаметр обмотки II, см.

Число витков ω₂ обмотки II приведено к числу витков да, обмотки I через обычную формулу приведения

ω'₂ = ω₂ E₁/E₂ = ω₁.

Таким образом, общее потокосцепление всей зоны обмоток будет равно сумме потокосцеплений трех участков, т. е.

ωФ_р = (ωФ_р)_а + (ωФ_р)_а1 + (ωФ_р)_а2 = ω₁В_pπ[(D_СРа +(D₁+a₁/2)(a₁/3) +(D₂ - a₂/2)(a₂/3)]

У силовых трансформаторов, класс напряжения которых не превышает 35 кв, радиальные размеры обмоток ВН и НН мало отличаются друг от друга, поэтому с достаточной для практических расчетов точностью можно положить, что a₁≈a₂. Это сильно упростит полученное выражение для потокосцепления.

Раскрыв круглые скобки и заменив D₁ и D₂ соответственно через D_cp—а—а₁ и D_cp+a+a₂, будем иметь:

ωФ_р = ω₁В_pπ[(D_СРа +(D_СР –a - a₁/2)(a₁/3) +(D_СР +a + a₂/2)(a₂/3)]=

ω₁В_pπD_СР [(a+ (a₁+a₂)/3)) + (a/3)(a₂ – a₁)+ (a²₂ - a²₁) /6]

Легко видеть, что при a₁≈a₂, т. е. а₂ - a₁≈0, два последних члена малы, и поэтому ими можно пренебречь. Благодаря этому выражение в квадратных скобках значительно упрощается:

ωФ_р = ω₁В_pπD_СР (a+ (a₁+a₂)/3)= ω₁В_pπD_СРΔ

где Δ= a+ (a₁+a₂)/3 называется приведенным, или редуцированным каналом рассеяния.

В тех же случаях, когда размеры a₁ и a₂значительно отличаются друг от друга, как, например, в высоковольтных трансформаторах, необходимо выражение в квадратных скобках вычислять точно, без указанного упрощения.

Для воздушной (т. е. немагнитной) среды справедлива следующая формула зависимости индукции от намагничивающей силы (ампер-витков) и длины магнитного пути:

В_p=(0,4π√2Iω)/l_P

После подстановки этого выражения формула потокосцепления примет вид

_

ωФ_р =(0,4π²√2I₁ω²₁D_СРΔ)/ l_P

Это выражение следует подставить в формулу напряжения

U_P=4,44fωФ_р10^-4 =(4,44f0,4 π²√2 I₁ω²₁D_СРΔ•10^-4)/ l_P , в

Сделав замену l_p = H₀/K₀ и 4,44 = π²√2 и выразив напряжение

рассеяния в % от номинального напряжения (умножив на 100), получим

U_P=100/U₁= (0,8π³f I₁ω²₁D_СРΔK_p•10^-4)/H₀=(2480f I₁ω²₁D_СРΔK_p•10^-4)/H₀•U₁, %

И, наконец, сделав последнюю подстановку f = 50 гц и U₁/ω₁ =e_ω в/виток, окончательно получим практическую формулу для расчета напряжения рассеяни

U_P= IωD_СРΔK_p/806e_ωH₀, %

При расчете трансформатора обычно бывает необходимо получить заданное значение напряжения рассеяния.

Рассмотрение полученной формулы показывает, что при необходимости изменения расчетного значения U_р наиболее целесообразно в первую очередь изменять размер а — ширину главного канала рассеяния. Если это почему-либо сделать нельзя (например, по изоляционным соображениям или если размер а надо слишком намного увеличивать), то следует либо изменять высоту обмотки Н_о, либо изменять число витков w, хотя это требует уже полного перерасчета трансформатора.