Тема № 3. Логика предикатов

Понятие предиката. Множество определения и множество истинности предиката. Кванторы общности и существования. Операции над предикатами: отрицание, конъюнкция, дизъюнкция, импликация, эквиваленция. Их множества истинности. Необходимые и достаточные условия.

Литература: [1] с. 51-65; [2] с. 29-50; [3] с. 65-81; [4] с. 43-51; [5] с. 33-60; [6] с. 45-50; [7] с. 57-77.

ЛОГИКА ПРЕДИКАТОВ (задания I уровня)

 

1А. Определите, какие из данных предложений являются высказываниями, а какие – предикатами и объясните, почему:

а) студент ….. является старостой группы;

б) озеро х находится в Сибири;

в) слово у отвечает на вопрос «как»;

г) разность чисел 5 и 2 равна 2;

д) при х=2 выполняется 2х=4;

е) число 5 больше 0.

 

1Б. Среди данных записей выделите высказывания, числовые выражения, предикаты:

а) 2+5<12; б) 1/2 = 3/6; в) 10:2+3-5·6;

г) 30 – 4·7=28+40:8; д) 2х –12<22; е) 16х/2=24.

 

2А. Определите, какие из данных предложений являются высказываниями, а какие – предикатами и объясните, почему:

а) число ….. отрицательное;

б) город Брест находится в Беларуси;

в) абитуриент ….. зачислен на 1 курс университета;

г) х=3 является корнем уравнения 2х+1=7;

д) слова а и в – синонимы;

е) сумма чисел 2 и 7 равна 9.

 

2Б. Среди предложенных записей выделите высказывания, предикаты, выражения с переменной:

а) 2+у<10; б) 3х–4у+9; в) 3х>9;

г) 2∙12+40>–11; д) х²+6х–5; е) 3+2≠5.

 

3А. Определите, какие из данных предложений являются высказываниями, а какие – предикатами и объясните, почему:

а) город х стоит на берегу Волги;

б) разность чисел х и 2 больше 5;

в) треугольник является геометрической фигурой;

г) в группе 20 студентов;

д) сумма двух слагаемых;

е) число х – корень уравнения х+2=17.

 

3Б. Запишите следующие предложения с помощью математических знаков, укажите среди них высказывания и предикаты, объясните свое решение:

а) сумма чисел 3 и 9 равна 11;

б) число 7 увеличить в 2 раза;

в) разность чисел х и 2 равна 7;

г) число 0 больше числа –5.

 

4А. Среди следующих предложений выделите высказывания и предикаты, ответ обоснуйте:

а) число у является делителем числа 16;

б) звук ….. – гласный;

в) ни один человек не весит более 500 кг;

г) хотя бы одно из чисел 1, 2, 3, 4, 5 является решением уравнения

х²–1=0;

д) множества пересекаются;

е) число 12 имеет конечное число делителей.

 

4Б. Запишите следующие предложения с помощью математических знаков, укажите среди них высказывания и предикаты, объясните свое решение:

а) число х больше ½;

б) разность чисел 42 и 11 равна 18;

в) число х уменьшить в 10 раз;

г) произведение чисел 5 и х равно 25.

 

5А. Среди следующих предложений выделите высказывания и предикаты, ответ обоснуйте:

а) слово ….. является наречием;

б) простое число имеет только два делителя;

в) для любого натурального числа n верно 3n+2>0;

г) график функции у=х² симметричен относительно оси ординат;

д) прямые параллельны;

е) число х – простое.

 

5Б. Запишите следующие предложения с помощью математических знаков, укажите среди них высказывания и предикаты, объясните свое решение:

а) сумма чисел 2х и 11;

б) число 6 равно числу 11;

в) число х меньше 0;

г) из суммы чисел 3 и 7 вычесть 4.

 

0А. Среди следующих предложений выделите высказывания и предикаты, ответ обоснуйте:

а) слово ….. обозначает признак предмета;

б) число х делится без остатка на 3;

в) город ….. находится в Беларуси;

г) неправда, что подснежники появляются весной не первыми;

д) высказывания ложны;

е) 25 при делении на 6 дает в остатке 1.

Решение:

а) Это предложение является предикатом, поскольку оно превращается в высказывание (истинное или ложное) при подстановке вместо пропущенного конкретных слов. Например, «слово «стол» обозначает признак предмета» - ложно; «слово «красный» обозначает признак предмета» - истинно.

б) Это предложение является предикатом, который при, например, х=9 обращается в истинное высказывание, а при х=4 в ложное.

в) Это предложение является предикатом, который при, например, подстановке города Бреста обращается в истинное высказывание, а при подстановке города Парижа – ложное высказывание.

г) Это предложение является высказыванием, поскольку можно сказать, что оно истинно.

д) Это предложение является высказыванием, поскольку можно сказать, что оно ложно (т.к. кроме ложных есть и истинные высказывания).

е) Это предложение является истинным высказыванием, поскольку, действительно, 25=6× 4+1.

0Б. Среди следующих предложений выделите высказывания, предикаты, числовые выражения:

а) 15х–11; б) 2х+5≤6: в) 2+3>13;

г) 2∙8+11–13; д) 5/12-1/2= – 1/12; е) 7х=х²+6х+1.

Решение:

в, д – высказывания, т.к. это числовые выражения, соединенные знаками >,=, из которых д - истинно, в - ложно.

б, е – предикаты, т.к. это высказывания, содержащие переменные. При подстановке числовых значений вместо х мы получим высказывания.

г – числовое выражение.

а – не является ни высказыванием, ни предикатом, ни числовым выражение, это выражение с переменной.

 

 

ЛОГИКА ПРЕДИКАТОВ (задания II уровня)

 

1А. На множестве геометрических фигур задан предикат Р(х): «Фигура х - многоугольник». Прочитайте следующие высказывания и определите их значения истинности:

а) А (∆); б) А (трапеция); в) А (квадрат);

г) А (семиугольник); д) А (окружность); е) А (луч).

 

1Б. На множестве х={х||х|≤4, хÎZ} дан предикат С(х): «х²+3х–4=0». Какие из значений переменной х=2, х=1, х=0, х=–4 принадлежат множеству истинности предиката С(х)?

 

2А. На множестве целых чисел задан предикат В(х,у): «х кратно у». Прочитайте следующие высказывания и определите их значения истинности: а) В(3, 4); б) В(12, 6); в) В(17, 17); г) В(0, 8); д) В(7, 0); е) В(2, 4).

 

2Б. На множестве Д={1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13} задан предикат Р(х): «х – делитель числа 24». Прочитай высказывания и определите их значения истинности: а) Р(2); б) Р(3); в) Р(5); г) Р(9); д) Р(10). Запишите множество истинности предиката Р(х).

 

3А. На множестве натуральных чисел задан предикат А(х): «х – нечетное число». Найдите значения истинности следующих высказываний: а) А(1); б) А(2); в) А(17); г) А(0); д) А(½); е) А(14);

 

3Б. На множестве целых неотрицательных чисел, меньших 30, задан предикат S(х): «Число х при делении на 7 дает в остатке 1 или 2». Какие из значений переменной х=11, х=15, х=23, х=22 принадлежат множеству истинности предиката S(х)? Запишите, из каких чисел состоит множество истинности.

 

4А. На множестве слов русского языка задан предикат В(х): «Слово х - глагол». Запишите следующие высказывания и определите их значения истинности: а) В(идешь); б) В(нести); в) В(решенный); г) В(ответ); д) В(заниматься); е) В(спешка).

 

4Б. На множестве целых чисел задан предикат V(х): «2х²–8≤0». Какие из значений переменной х=4, х=–4, х=0, х=–1 принадлежат множеству истинности предиката V(х)? Запишите, из каких чисел состоит его множество истинности.

 

5А. На множестве животных задан предикат R(х): «Животное х – домашнее». Запишите следующие высказывания и определите их значения истинности: а) R(заяц); б) R(крыса); в) R(курица); г) R(крот); д) R(лошадь); е) R(корова).

 

5Б. На множестве натуральных чисел, не превосходящих 20, задан предикат К(х): «Число х делится на 4 нацело». Прочитайте высказывания и определите их значения истинности: а) К(6); б) К(8); в) К(9); г) К(16). Запишите множество истинности предиката К(х).

 

0А. На множестве фигур плоскости задан предикат Q(х): «Фигура х имеет ось симметрии». Прочитайте следующие высказывания и определите их значения истинности: а) Q(прямоугольник); б) Q(ромб); в) Q(трапеция); г) Q(окружность); д) Q(равнобокая трапеция).

Решение:

а) «Прямоугольник имеет ось симметрии» - это высказывание истинно, т.к. прямоугольник имеет оси симметрии:

 

 

б) «Ромб имеет ось симметрии» - это высказывание истинно, т.к. ромб имеет 2 оси симметрии:

в) «Любая трапеция имеет ось симметрии» – это высказывание ложно, т.к. не любая трапеция имеет ось симметрии, а только равнобокая трапеция.

г) «Окружность имеет ось симметрии» – это высказывание истинно, т.к. окружность имеет бесконечное множество осей симметрии:

д) «Равнобокая трапеция имеет ось симметрии» – это высказывание истинно, т.к. равнобокая трапеция имеет ось симметрии:

0Б. На множестве целых чисел задан предикат G(х): «-х²+5х+6≥0». Какие из значений переменной принадлежат множеству истинности предиката G(х): х=0, х=2, х=4? Запишите множество истинности предиката G(х).

Решение:

Дан предикат G(х): «-х²+5х+6≥0». Найдем множество истинности предиката G(х) (т.е. множество значений переменной, обращающих предикат в истинное высказывание).

-х²+5х+6≥0

-х²+5х+6=0

Д=25-4× 6(-1)=49≥0 х₁= = –1 х₂ = = 6

– + –

хÎ[–1;6]

Предикат G(х)задан на множестве целых чисел, значит, Т _G(х)={-1; 0; 1; 2; 3; 4; 5; 6}. х=0, х=2, х=4 принадлежат Т _G(х).

Ответ: 0 ÎТ _G(х), 2Î Т _G(х), 4Î Т _G(х).

Т _G(х)={-1; 0; 1; 2; 3; 4; 5; 6}.

ЛОГИКА ПРЕДИКАТОВ (задания III уровня)

 

1А. На множестве N натуральных чисел заданы предикаты Р(х): «Число х четно» и Q(х): «Число х делится на 4». Переведите на обычный язык высказывания, записанные языком символов, и укажите среди них истинные: а) (∀хÎN) Р(х)∨Q(х); б) (ƎхÎN) Q(х)∧Р(х); в) (ƎхÎN) ∨Q(х); г) (∀хÎN) Р(х) ÞQ(х).

 

1Б. Из предиката Р(х): «Диагонали четырехугольника х не равны», заданного на множестве Х всех четырехугольников, образованы высказывания: а) ("хÎХ) Р(х); б) ($хÎХ) Р(х). Переведите их на обычный язык и постройте отрицания этих высказываний двумя способами.

 

2А. На множестве Х четырехугольников заданы предикаты: А(х): «Фигура х - параллелограмм», С(х): «Фигура х - ромб». Переведите на обычный язык следующие высказывания, записанные символически: а) ("хÎХ) А(х)ÚС(х); б) ("хÎХ) С(х)ÞА(х); в) ($хÎХ) С(х)ÞА(х); г) ("хÎХ) Þ . Какие из них истинны?

 

2Б. Из предиката А(х): «Насекомое х - вредитель», заданного на множестве Х всех насекомых, образованы высказывания: а) ("хÎХ) А(х); б) ($хÎХ) А(х). Переведите их на обычный язык и постройте отрицания этих высказываний двумя способами.

 

3А. На множестве Х треугольников заданы предикаты Р(х): «Треугольник х - равносторонний»; Q(х): «Треугольник х -равнобедренный» и R(х): «Треугольник х – прямоугольный». Сформулируйте высказывания и установите их значение истинности: а) (∀хÎХ) Р(х)∧R(х); б) (ƎхÎХ) Q(х)∧R(х); в) (∀хÎХ) Р(х)Þ Q (х); г) (∀хÎХ) .

 

3Б. Из предиката Т(х): «Треугольник х - остроугольный», заданного на множестве Х всех треугольников, образованы высказывания: а) ("хÎХ) Т(х); б) ($хÎХ) Т(х). Переведите их на обычный язык и постройте отрицания этих высказываний двумя способами.

 

4А. На множестве N натуральных чисел заданы предикаты: L(х): «Число х кратно 3»; D(х): «Число х кратно 5»; К(х): «Число х кратно 15». Сформулируйте высказывания и установите их значения истинности: а) (∀хÎN) L(х) ÞК(х); б) (ƎхÎN) L(х)∧Д(х); в) (ƎхÎN) L(х)∧Д(х)ÞК(х); г) (∀хÎN) К(х).

 

4Б. Из предиката М(х): «В треугольнике х все стороны равны», заданного на множестве всех треугольников, образованы высказывания: а) ("хÎХ) М(х); б) ($хÎХ) М(х). Переведите их на обычный язык и постройте отрицания этих высказываний двумя способами.

 

5А. На множестве действительных чисел заданы предикаты: N(х): «Число х – натуральное; Z(х): «Число х – целое; Q(Х): «Число х -рациональное». Сформулируйте высказывания и определите их значения истинности: а) (∀х) Z(х)ÞQ(х); б) (Ǝх) N(х)∧Z (х); в) (∀х) ; г) (Ǝх) .

 

5Б. Из предиката L(х): «Трапеция х - равнобокая», заданного на множестве Х трапеций, образованы высказывания: а) (∀хÎХ) L(х); б) (ƎхÎХ) L(х). Переведите их на обычный язык и постройте отрицания этих высказываний двумя способами.

 

0А. На множестве Х четырехугольников заданы предикаты: А(х): «Фигура х - параллелограмм»; Е(х): «Фигура х имеет центр симметрии»; D(х): "Фигура х имеет ось симметрии". Сформулируйте высказывания и определите, какие из них истинны: а) (ƎхÎХ) А(х)∧Д(х); б) (∀хÎХ) Е(х)∨Д(х); в) (∀хÎХ) А(х)ÞЕ(х); г) (ƎхÎХ) ÞЕ(х).

Решение:

а) «Существует параллелограмм, который имеет ось симметрии» – истинно, т.к. ось симметрии имеет прямоугольник, а прямоугольник является параллелограммом.

 

 

б) «Любой четырехугольник имеет центр симметрии или ось симметрии» - ложно, т.к. не любой четырехугольник имеет центр симметрии или ось симметрии. Например,

в) «Любой четырехугольник, являющийся параллелограммом, имеет центр симметрии» - истинно, т.к. любой параллелограмм имеет центр симметрии – это точка пересечения его диагоналей.

г) «Некоторые четырехугольники, которые имеют ось симметрии, имеют и центр симметрии» - истинно, т.к. некоторые четырехугольники, имеющие ось симметрии, имеют и центр симметрии (например, прямоугольник).

А некоторые четырехугольники, которые имеют ось симметрии, не имеют центра симметрии (например, равнобокая трапеция).

 

 

0Б. Из предиката S(х): «Число х является натуральным», заданного на множестве действительных чисел R, образованы высказывания: а) ("хÎR) S(х); б) ($хÎR) S(х). Переведите их на обычный язык и постройте отрицания этих высказываний двумя способами.

Решение:

а) А: «Любое действительное число принадлежит множеству натуральных чисел» - Л.

Ā: «Неверно, что любое действительное число принадлежит множеству натуральных чисел» - И.

Ā: «Существует действительное число, которое не принадлежит множеству натуральных чисел» - И.

б) В: «Существуют действительные числа, которые принадлежат множеству натуральных чисел» - И.

: «Не верно, что существуют действительные числа, которые принадлежат множеству натуральных чисел» - Л.

: «Любое действительное число не принадлежит множеству натуральных чисел» - Л.

ЛОГИКА ПРЕДИКАТОВ (задания IV уровня)

 

1А. На множестве Х ={-3, -2, -1, 0, 1, 1, 2, 3, 4} заданы предикаты А(х): «Число х кратно 3» и В(х): «х–1>0». Найдите множества истинности предикатов А(х) и В(х). Сформулируйте предикаты и найдите их множества истинности: а) А(х)ÞВ(х); б) Þ ; в) А(х)ÚВ(х); г) ÙВ(х); д) А(х)ÛВ(х).

 

1Б. Даны предикаты А(х), В(х), С(х), области истинности которых Т_А, Т_В, Т_С. Изобразите штриховкой области истинности следующих предикатов: а) А(х)ÚВ(х); б) А(х)ÙВ(х)ÚС(х); в) А(х)ÞВ(х); г) ÞС(х).

Т_А

 

 

2А. На множестве Х={0, 1, 2,…20} заданы предикаты: А(х): «Число х кратно 6» и В(х): «Число х кратно 3». Сформулируйте конъюнкцию, дизъюнкцию, отрицание, импликацию и эквиваленцию этих предикатов и найдите их множества истинности.

 

2Б. На рисунке изображены множества истинности предикатов А(х), В(х), С(х). Заштрихуйте множества истинности следующих предикатов: а) А(х)Ù ; б) А(х)ÚВ(х)ÙС(х); в) ÞС(х); г) .

 

Т_А Т_В

 

Т_С

 

 

3А. На множестве Х={1, 2,…15} заданы предикаты: А(х): «Число х - четное» и В(х): «Число х кратно 3». Сформулируйте конъюнкцию, дизъюнкцию, импликацию этих предикатов, найдите множества истинности, а также множества истинности предикатов: а) ÞВ(х); б) ÙВ(х).

 

3Б. На рисунке изображены множества истинности предикатов Q(х), S(х), P(х). Найдите и заштрихуйте множества истинности следующих предикатов: а) Q(х)ÚР(х)ÚS(х); б) ÙS(х); в) P(х)Þ S(х); г) .

Т_R Т_S

Т_P

 

4А. На множестве Х={1, 2, 3…20} заданы предикаты: А(х): «Число х - простое», В(х): «Число х – четное». Сформулируйте конъюнкцию, дизъюнкцию, отрицание, импликацию, эквиваленцию предикатов А(х) и В(х), и найдите их множества истинности.

 

4Б. Даны предикаты М(х), N(х), К(х), области истинности которых Т_М, Т_N, Т_К. Найдите и изобразите штриховкой области истинности предикатов: а) М(х)ÚN(х)ÚК(х); б) ÞN(х); в) Ù ; г) М(х)ÙК(х)Þ .

Т_М

Т_N Т_К

 

5А. На множестве Х ={-2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10} заданы предикаты А(х): «2х–1<3» и В(х): «2х>0». Сформулируйте предикаты и найдите их множества истинности: а) А(х)ÚВ(х); б) А(х)ÞВ(х); в) Þ ; г) ÙВ(х); д) В(х)ÛА(х).

 

5Б. Даны предикаты А(х), В(х), С(х) с областями истинности Т_А, Т_В, Т_С. Найдите и изобразите штриховкой области истинности предикатов: а) А(х)Ù ; б) А(х)Ù ∧В(х); в) В(х)ÞС(х); г) А(х)ÙВ(х)Þ .

Т_А

Т_С

Т_В

 

 

ЛОГИКА ПРЕДИКАТОВ (задания V уровня)

 

1А. Каким: необходимым или достаточным является условие х>0 для того, чтобы: точка М(х,у) находилась: а) в I четверти; б) в IV четверти; в) в правой полуплоскости. Ответ обоснуйте.

 

1Б. Сформулируйте и выясните истинность теорем: обратной, противоположной, противоположной обратной для теорем:

а) если три стороны одного треугольника равны трем сторонам другого треугольника, то такие треугольники равны;

б) прямая, перпендикулярная радиусу окружности и проходящая через его конец, есть касательная к окружности.

 

2А. Каким: необходимым или достаточным является условие х>0, у>0 для того, чтобы: точка М(х,у) находилась: а) в верхней полуплоскости; б) в правой полуплоскости; в) в I четверти. Ответ обоснуйте.

 

2Б. Сформулируйте и выясните истинность теорем: обратной, противоположной, противоположной обратной для теорем:

а) около всякого правильного многоугольника можно описать окружность;

б) если прямая в плоскости, проходящая через основание наклонной, перпендикулярна ее проекции, то она перпендикулярна и наклонной.

3А. Каким: необходимым или достаточным является условие х=0, для того, чтобы: точка М (х,у) находилась: а) в начале координат; б) на оси ординат. Ответ обоснуйте.

 

3Б. Сформулируйте и выясните истинность теорем: обратной, противоположной, противоположной обратной для теорем:

а) если прямая, не принадлежащая плоскости, параллельна прямой, лежащей в плоскости, то она параллельна и самой плоскости;

б) если сумма противоположных углов четырехугольника равна 180^О, то около него можно описать окружность.

 

4А. Каким: необходимым или достаточным является условие у>0, для того, чтобы: точка М (х,у) находилась: а) в I четверти; б) во II четверти; в) в верхней полуплоскости. Ответ обоснуйте.

 

4Б. Сформулируйте и выясните истинность теорем: обратной, противоположной, противоположной обратной для теорем:

а) если хотя бы один из сомножителей делится на данное число, то и произведение делится на данное число;

б) диагонали ромба взаимно перпендикулярны.

 

5А. Каким: необходимым или достаточным является условие х<0, для того, чтобы: точка М (х,у) находилась: а) во II четверти; б) в III четверти; в) в левой полуплоскости. Ответ обоснуйте.

 

5Б. Сформулируйте и выясните истинность теорем: обратной, противоположной, противоположной обратной для теорем:

а) если сумма цифр числа делится на 3, то число делится на 3;

б) все точки, равноудаленные от концов отрезка, лежат на перпендикуляре, проходящем через середину данного отрезка.

 

 

ТЕМА № 4. КОМБИНАТОРИКА

 

Понятие о комбинаторной задаче. Правила суммы и произведения. Перестановки, размещения с повторениями и без повторений, сочетания. Формулы для подсчета числа этих комбинаций.

Литература: [1] с. 38-49; [2] с. 83-87; [3] с. 32-38; [4] с. 23-27; [5] с. 25-33; [6] с. 72-75; [7] с. 17-21.

 

 

КОМБИНАТОРИКА (задания I уровня)

 

1А. Укажите верные формулы:

а) Р_m=m·(m–1)·…·2·1; б) Р_m=m!; в)А = ; г) С = .

 

1Б. Размещения без повторений из n элементов по m это:

а) m -элементные подмножества n -элементного множества;

б) кортежи длины m из элементов n -элементного множества;

в) упорядоченные m -элементные подмножества n -элементного

множества.

 

2А. Укажите верные формулы:

а) С = ; б) С = ; в) С = .

 

2Б. Перестановки из n элементов – это:

а) различные упорядоченные n -элементные множества;

б) кортежи длины n;

в) m -элементные подмножества n -элементного множества.

 

3А. Укажите верные формулы: а) А =n^k; б); А =kⁿ в)А = .

3Б. Сочетания из n элементов по m это:

а) m -элементные подмножества n -элементного множества;

б) кортежи длины m из элементов n -элементного множества;

в) упорядоченные m -элементные подмножества n -элементного

множества.

 

4А. Даны множества А и В, причем n(А)=n₁, n(В)=n₂, АÇВ≠Æ, n(АÇВ)=n₃. Укажите верные равенства: а) n(АÈВ)=n₁+n₂+n₃; б) n(АÈВ)=n₁+n₂; в) n(АÈВ)=n₁+n₂–n₃; г) n(АÈВ)=n₁–n₂.

 

4Б. Разрешения с повторениями из n элементов по m – это:

а) кортежи длины m из элементов n -элементного множества;

б) упорядоченные m -элементные подмножества n -элементного

множества;

в) упорядоченные n -элементные подмножества m -элементного

множества.

 

5А. Даны множества Х и У, причем n(Х)=х₁, n(У)=х₂, ХÇУ≠Æ, n(ХÇУ)=х₃. Укажите верные равенства: а) n(Х×У)=х₁·х₂–х₃; б) n(Х×У)=х₁+х₂; в) n(Х×У)=х₁·х₂; г) n(Х×У)= .

 

5Б. Число различных перестановок элементов множества А={a,b,c,d} вычисляется по формуле:

а) С = ; б) Р =1·2·3·4; в) Р =m!

 

0А. Дано множество А={a, b, c, d}. Сколько существует способов упорядочить это множество: а) 4!; б) 3; в) 2⁴; г) .

+ а) 4! Решение: выбран ответ а, поскольку число

б) 3 способов упорядочения 4 - х элементного

в) 2⁴ множества – это число перестановок его

г) элементов Р₄= 4!

 

0Б. Число различных 3-элементных подмножеств множества Х={х₁, х₂, х₃, х₄, х₅} равно: а)2⁵; б) 2³; в) ; г) 10.

Решение: дано 5-элементное множество, построим всевозможные его 3-элементные подмножества. Неодинаковыми считаются только те, которые имеют неодинаковый состав элементов. Значит, всевозможные трехэлементные подмножества данного множества – это сочетания.

Ответы: в, г.

 

КОМБИНАТОРИКА (задания II уровня)

 

1А. В турнире участвует 6 человек. Сколькими способами могут между ними распределиться места?

 

1Б. Набирая номер телефона, абонент забыл последние две цифры и набрал их наугад, помня, что цифры разные. Сколькими способами он мог это сделать?

 

2А. Сколькими способами можно рассадить 12 гостей на 12 различных стульев?

 

2Б. Сколькими способами можно составить список из 5 учеников?

 

3А. Сколькими способами можно рассадить четырех учащихся на 25 местах?

 

3Б. В меню 4 вида соков и 3 вида нектаров. Сколько существует способов выбора одного напитка?

 

4А. В отделении 12 солдат. Сколькими способами можно составить наряд из трех человек?

 

4Б. Имеется 5 сортов конвертов без марок и 4 сорта марок. Сколькими способами можно выбрать конверт и марку для посылки письма?

 

5А. Из состава участников конференции, на которой присутствует 18 человек, надо избрать делегацию, состоящую из 4 человек. Сколькими способами это можно сделать?

 

5Б. В математической олимпиаде участвуют 14 команд. Сколько существует способов распределения призовых мест?

 

0А. Сколькими способами из 25 студентов можно выбрать делегацию из 5 человек?

 

Решение: Необходимо найти количество 5-элементных подмножеств 25-элементного множества А. Это число сочетаний .

53130

Ответ: делегацию можно выбрать 53130 способами.

 

0Б. В кафе предлагается на десерт 4 вида мороженого, 3 вида пирожных и 2 вида фруктов. Сколько существует способов выбора десерта из одного наименования?

 

Решение: Существует 9 способов выбора десерта из одного наименования, т.к. по правилу суммы 4+3+2=9. Ответ: 9.

 

 

КОМБИНАТОРИКА (задания III уровня)

 

1А. Студенту нужно сдать 4 экзамена за 9 дней. Сколькими способами он может это сделать, если известно, что последний экзамен он сдает на девятый день?

 

1Б. От двух спортивных обществ, в каждом из которых по 40 шахматистов, нужно выделить по 3 человека для участия в соревнованиях. Сколькими способами это можно сделать?

 

2А. Четверо студентов сдают экзамен. Сколькими способами им могут быть поставлены отметки, если известно, что ни один из студентов не получил неудовлетворительной оценки?

 

2Б. Сколько имеется различных шестизначных чисел, у которых первые 3 цифры четные, а следующие 3 – нечетные?

 

3А. Сколько чисел, меньших, чем миллион, можно записать с помощью цифр 9, 8, 7?

 

3Б. Сколькими способами можно разделить 15 яблок и 20 апельсинов между тремя мальчиками?

 

4А. Сколько четырехзначных чисел можно записать, не пользуясь цифрой 8?

 

4Б. На плоскости расположена 21 точка, причем никакие четыре из них не лежат на одной окружности. Сколько окружностей можно провести таким образом, чтобы каждая из них содержала по три из этих точек.

 

5А. Сколько шестизначных чисел, не кратных 5, можно образовать из цифр 1, 2, 3, 4, 5, 6 при условии, что каждая цифра входит в шестизначное число только один раз?

 

5Б. Сколькими способами можно расставить 12 белых и 12 черных шашек на 32 черных полях?

 

0А. Сколько разных комбинаций ответов можно дать на 8 вопросов, если на каждый вопрос отвечают «да» или «нет».

Решение: Необходимо составить кортежи длины 8 из 2-х элементов. Это размещение с повторением : =2 ⁸ =256 (комбинаций). Ответ: можно составить 256 комбинаций ответов.

 

0Б. Сколькими способами можно образовать из группы в 12 мужчин и 8 женщин комиссию, которая бы состояла из 3 мужчин и 4 женщин?

Решение: Из группы 12 мужчин трех мужчин можно выбрать способами, т.е. нужно найти число трехэлементных подмножеств 12 –элементного множества.

С женщинами аналогично,

Причем на каждый способ выбора мужчин существует способов выбора женщин. Тогда по правилу произведения общее число вариантов выбора комиссии будет равно: =220 × 70=15400

Ответ: 15400.

 

 

КОМБИНАТОРИКА (задания IV уровня)

 

1А. Из 7 гвоздик и 5 тюльпанов надо составить букет из пяти цветов. Сколькими способами это можно сделать, если в него должны входить не более трех тюльпанов?

 

1Б. Докажите, что: =(n–4)².

 

2А. Сколько нечетных четырехзначных чисел можно составить из цифр 1, 2, 3, 4, 5, если каждую цифру можно использовать несколько раз?

 

2Б. Докажите, что: А =n· А .

 

3А. Сколько четных чисел, меньших 500, можно составить из цифр 2, 3, 4, 5, 6 так, чтобы ни в одном числе не было повторяющихся цифр?

 

3Б. Докажите, что: А ·Р_10-n=10·Р₉.

 

4А. Сколько чисел, больших 100, можно записать с помощью цифр 1, 2, 3, 4, если в одном числе каждая цифра используется не более одного раза?

4Б. Докажите, что: С =С +С .

 

5А. Сколько существует различных шестизначных чисел, у которых 3 цифры четные и 3-нечетные.

 

5Б. Докажите, что: =1.

 

 

КОМБИНАТОРИКА (задания V уровня)

 

1. На собрании должны выступить четыре человека: А, В, С, Д. Сколькими способами их можно разместить в списке ораторов, если известно, что В не может выступить, пока не выступит А?

 

2. Для автомобильных номеров используют 10 цифр и 28 букв (кроме ё, й, ь, ъ, ы). Каждый номер состоит из 3 букв и 4 цифр (кроме сочетания цифр 00-00). Какое максимальное число машин получат номера при такой системе?

 

3. Из отряда в 40 человек, среди которых есть рядовой Иванов, назначается в караул 3 человека. Сколькими различными способами может быть составлен караул? В скольких случаях в число караульных попадет рядовой Иванов?

 

4. Восемь женщин и столько же мужчин садятся за круглый стол. Сколько существует способов их рассадки, если два человека одного пола не будут сидеть рядом?

 

5. Из числа трех инженеров и девяти экономистов составлена комиссия из 7 человек. Сколькими способами это можно сделать, если в комиссию должен входить хотя бы один инженер?