Постулаты Бора. Теория атома водорода по Бору. Расчет энергетических состояний атома водорода с точки зрения теории Бора.

Первый постулат Бора: Атомы могут длительное время находиться только в определенных, так называемых стационарных состояниях, в которых атом не излучает и не поглощает энергию. Энергии стационарных состояний …образуют дискретный спектр. (2) Момент импульса электрона в этих состояниях должен быть целым кратным от постоянной Планка.

Второй постулат Бора: При переходе атома из одного начального стационарного состояния с энергией в другое конечное состояние с энергией происходит излучение кванта света, причем . (3),

–условие орбит

–условие частот

Электроны в атомах совершают орбитальное движение вокруг ядра под действием кулоновских сил. Но орбитами могут быть только стационарные, определяемые условиями квантования. Действует 2-ой закон Ньютона: (4).

Совместное решение (2) и (3) дает:

Зная и можно найти: ,

, можно найти полную энергию электрона в атоме водорода:

(5).

Спектральные линии возникают при переходе электронов с одного уровня на другой (более низкий), а энергия, испускаемая квантом, равна разности энергий этих двух уровней:

(6),

, здесь h - постоянная Планка, равная 6,625 *10^-34 Дж.с. Из (6) и (13) следует, что длины волн спектральных линий атома водорода описываются формулой, аналогичной (1): (7).

Cравнивая (1) и (7), можно вычислить постоянную Ридберга: (8), где e - заряд электрона, m - его масса, - электрическая постоянная, равная 8,85*10^-12 Ф/м.

Расчет энергетических состояний атома водорода: эВ

Физический смысл спектральных линий – монохроматические излучения, возникающие в результате перехода атома в данное состояние из всех возможных возбужденных состояний, расположенных выше. На рис. изображены уровни энергии атома водорода, а стрелками обозначены переходы между уровнями, соответствующие спектральным линиям. Из рисунка видно, что линии в спектре водорода можно разложить по сериям: для всех линий серии, значение остается постоянным, а m может принимать значения любые от m = n +1 до .

 

 

 

В спектр испускания атома водорода входит несколько серий, расположенных в различных областях спектра:

а) серия Лаймана - крайняя ультрафиолетовая область ,где n =1, m =2,3,..... ;

б) серия Бальмера - видимая и близкая ультрафиолетовая область

, где n =2, m =3,4,5,.... ;

в) серия Пашена - инфракрасная область спектра , где n =3, m =4,5,6.... ;

г) серия Брэккета - инфракрасная область спектра , где n =4, m =5,6,7,.... ;

д) серия Пфунда - инфракрасная область спектра , где n =5, m =6,7,... ;

Как видно из рисунка, головными линиями каждой серии являются линии, длины волн которых могут быть рассчитаны по формуле: (9)

Переходы, обозначенные жирными линиями, соответствуют головным линиям серии и определяются формулой (9): переходы на заштрихованные уровни соответствуют границе серии и определяются формулой (7), если в ней m = , то их длины волн выразятся формулой: (10) Особый интерес представляет граница серии Лаймана. Зная частоту граничной серии Лаймана, можно определить энергию, необходимую для отрыва электрона от атома водорода, находящегося в нормальном или основном состоянии с n =1. Эта энергия называется энергией ионизации и вычисляется по формуле:

Метод квантования: орбиты электронов, соответствующие стационарным состояниям атомов, являются одними из возможных по классической механике орбит. Метод отбора орбит, соответствующих стационарным состояниям и называется методом квантования. Условие для круговых орбит: . Движение по эллипсу более сложное. Метод был обобщен Зоммерфильдом. Он показал, что квантовых условий должно быть столько, сколько степеней свободы имеет рассматриваемый тип движения. Под действием внешних воздействий эллиптическая орбита прецессирует и движение имеет три степени свободы. Зоммерфильд ввел еще два квантовых числа: l – орбитальное и m – магнитное квантовое число. l - орбитальное квантовое число, которое при заданном принимает значения l=0, 1,..., n- 1, т.е. всего n значений, и определяет момент импульса электрона в атоме и определяет форму орбиты. Главное квантовое число n определяет энергетические уровни электрона в атоме и может принять любые целочисленные значения, начиная с единицы: n= 1,2,3,... - магнитное квантовое число, которое при заданном может принимать значения , т.е. всего 2 значений. Оно определяет проекцию момента импульса электрона на заданное направление, причем вектор момента импульса электрона в атоме может иметь в пространстве 2l+ 1 ориентаций.

 

44. Пользуясь соотношением неопределённости Гейзенберга, оценить минимальную энергию электрона в атоме водорода.

 

В соответствии с принципом неопределённости неопределённость координаты электрона связана с неопределённостью импульса следующим соотношением:

Формально энергия была бы минимальной при r=0 и p=0. Поэтому положим и Подставив эти значения в 1 получим соотношение:

(поскольку наши расчёты могут претендовать лишь на определение поряков вычисляемых величин, то мы половину в правой части опустили)

Энергия в атоме водорода равна:

(*)

Найдём значение r, при котором Е минимальна. Продиффиренцировав последнее выражение по r и приравняв производную к нулю, получим уравнение

Подставим полученное нами значение для r в (*) получим выражение для минимальной энергии:

Квантовомеханическая теория атома водорода. Собственное значения и собственные функции для стационарных состояний атома водорода. Орбитальный момент электрона по квантовой теории. Гиромагнитное отношение.

Атом водорода – простейшая система для которой были получены точные решения уравнений квантовой механики.

Уравнение Шредингера , где , - волновая функция. В сферических координатах . Решить уравнение Шредингера это значит найти собственные значения энергии и собственные функции . Все уравнения отличаются только значением . - потенциальная энергия квантовой системы. - для атома водорода и водородоподобных систем.

Поскольку потенциальная энергия сферически симметрична, то оператор Лапласа в уравнении Шредингера лучше взять в сферических координатах. , где .

По этой причине , где - радиальная функция, - угловая функция, .

Уравнение Шредингера в следствии сферической симметрии разлаживается на 3 уравнения, каждое из которых зависит только от одной переменной.

На накладываются следующие условия:

она должна быть однозначной

должна быть непрерывной

должна быть конечной.

Так как - квадрат определяет вероятность найти данную частицу в единице объема с коэффициентами x, y, z. Т. е. Квадрат этой функции – плотность вероятности. Исходя из физического смысла , т. к. это достоверное событие и это уравнение называется уравнением нормировки.

Так как энергия сферически симметрична, а также из условия однозначности волновой функции следует, что функции являются функциями целочисленного аргумента m который может принимать значения и так далее.

Функция непрерывная и однозначная является спец. Функцией – присоединенные функции Лежандра. Они имеют однозначные и конечные решения только при целочисленных значениях l, которые иногда могут быть отрицательными и связано с m: m=-l,…,0,…l.

Функции должны быть непрерывными, однозначными и конечными исходя из физического смысла – а именно вероятность не может быть >1 или бесконечной.

Угловая функция зависит от l m, и при решении уравнения Шредингера она определяет момент импульса и проекцию момента импульса на выделенное направление , а с точки зрения графического решения она определяет форму электронного облака и его ориентацию.

Решение радиального уравнения приводит к специальной функции – полином Лагерра и квадрат этой функции определяет вероятность обнаружения электрона на определенном расстоянии от ядра.

, где z – порядковый номер элемента, - полином Лагерра, - боровский первый радиус .

Имеется соответствие

атом водорода в квантовой механике решается абсолютно точно

квантовые числа n, l и m получаются как следствия решения этого уравнения.

В то же время результаты квантовой механики и результаты Бора совпадают, а именно: уравнение Шредингера дает максимум вероятности на боровских орбитах.

Гиромагнитное отношение – отношение модуля магнитного момента в единицах , иначе , где - безразмерное число гиромагнитное отношение – характеризует соотношение между магнитным и механическим моментами системы.