Методика выполнения типовых задач. Рассмотрим методику выборочного метода на конкретных примерах.

 

Рассмотрим методику выборочного метода на конкретных примерах.

Пример 5.1 Для изучения оснащения заводов основными производственными фондами было проведено 10%-ное выборочное обследование методом случайной выборки, в результате которого получены следующие данные о распределении заводов по стоимости основных производственных фондов:

Среднегодовая стоимость основных производственных фондов, млн. руб.	До 2	2 – 4	4 – 6	Свыше 6	Итого
Число заводов

Требуется определить:

1) с вероятностью 0,997 предельную ошибку выборочной средней и границы, в которых будет находиться среднегодовая стоимость основных производственных фондов всех заводов генеральной совокупности;

2) с вероятностью 0,954 предельную ошибку выборки при определении доли и границы, в которых будет находиться удельный вес заводов со стоимостью основных производственных фондов свыше 4 млн. руб.;

3) объем выборочной совокупности при условии, что предельная ошибка выборки при определении среднегодовой стоимости основных производственных фондов (с вероятностью 0,997) была бы не более 0,5 млн. руб.;

4) то же при вероятности 0,954;

5) предельная ошибка доли (с вероятностью 0, 954) была бы не более 15%.

Решение:

1) Для определения границ генеральной средней необходимо исчислить среднюю выборочную () и дисперсию (), техника расчета которых приведена в таблице:

Среднегодовая стоимость основных производственных зондов, млн. руб., (х)	Число заводов, (f)	Середина интервала (х)
До 2		I		-3,52	12,39	61,95
2 – 4				-1,52	2,31	27,72
4 – 6				0,48	0,23	5,29
Свыше 6				2,48	6,15	61,50
Итого						156,46

Тогда ;

Средняя ошибка выборки при определении среднегодовой стоимости основных фондов составит:

а) при повторном отборе

б) при бесповторном отборе

Следовательно, при определении среднегодовой стоимости основных производственных фондов в среднем мы могли допустить среднюю ошибку репрезентативности в 0,25 млн. руб. при повторном и 0,24 млн. руб. при бесповторном отборе в ту или иную сторону от среднегодовой стоимости основных производственных фондов, приходящейся на один завод в выборочной совокупности. Исчисленные данные показывают, что при бесповторной выборке средняя ошибка репрезентативности (0,24) меньше, чем при тех же условиях при повторном отборе (0,25).

В нашем примере Р = 0,997, следовательно, t = 3.

Исчислим предельную ошибку выборочной средней ():

(при повторном отборе);

(при бесповторном отборе).

Порядок установления пределов, в которых находится средняя величина изучаемого показателя в генеральной совокупности в общем виде, может быть представлен следующим образом:

или

Для нашего примера среднегодовая стоимость основных производственных фондов в среднем на один завод генеральной совокупности будет находиться в следующих пределах:

а) при повторном отборе

б) при бесповторном отборе

Эти границы можно гарантировать е вероятностью 0,997.

2) Вычисление пределов при установлении доли осуществляется аналогично нахождению пределов для средней величины. В общем виде расчет можно представить следу­ющим образом:

или

где Р – доля единиц, обладающих данным признаком в генеральной совокупности.

Доля заводов в выборочной совокупности со стоимостью основных производственных фондов свыше 4 млн. руб. составляет:

Определяем предельную ошибку для доли. По условию задачи известно, что N = 500; n = 50; w = 0,66; Р = 0,964; t=2.

Исчислим предельную ошибку доли:

а) при повторном отборе

б) при бесповторном отборе

= ±0,27 или 12,7%.

Следовательно, с вероятностью 0,954 доля заводов со стоимостью основных производственных фондов свыше 4 млн. руб. в генеральной совокупности будет находиться в пределах:

Р = 66%±13,4%, или 52,6% ≤ Р≤ 79,4% при повторном отборе;

Р = 66%±12,7%, или 53,3% ≤ Р ≤ 78,7% при бесповторном отборе.

Расчеты убеждают в том, что при бесповторном отборе ошибка выборки меньше, чем при тех же условиях при повторной выборке.

3) Найдем объем выборки для расчета ошибки средней:

а) при повторном отборе

б) при бесповторном отборе

4) Найдем объем выборки для расчета ошибки средней:

а) при повторном отборе

б) при бесповторном отборе

5) Объем выборки для расчета ошибки доли будет:

а) при повторном отборе

б) при бесповторном отборе

Выводы: 1) численность выборки увеличится, если при прочих равных условиях уменьшить предельную ошибку; 2) численность выборки уменьшится, если при прочих равных условиях уменьшить вероятность, с которой требуется гарантировать результат выборочного обследования; 3) численность выборки уменьшится, если при прочих равных условиях увеличить предельную ошибку.

 

Вопросы и задания для проверки и закрепления знаний

 

1) Что такое выборочное наблюдение и какова практика его применения?

2) В чем преимущества выборочного метода в сравнении с другими видами статистического наблюдения?

3)Что означают генеральная и выборочная совокупности и каковы их характеристики?

4) Что такое «ошибка репрезентативности»? Каковы факторы ее возникновения при использовании выборочного метода?

5) В чем отличия между способами повторного и бесповторного отбора единиц изучаемой статистической совокупности в выборку?

6) В чем отличия показателей «средней» и «предельной» ошибки выборки, значение «коэффициента доверия»? Каковы особенности его применения в определении доверительных интервалов?

7) Каким образом выборочные данные распространяются на генеральную совокупность?

8) Охарактеризуйте наиболее распространенные способы отбора выборочной совокупности?

9) Для определения срока службы металлорежущих станков было проведено 10%-ное выборочное обследование по методу случайного бесповторного отбора, в результате которого получены следующие данные:

Срок службы станков, лет	Число станков, шт.
вариант 1-й	вариант 2-й	вариант 3-й	вариант 4-й	вариант 5-й
До 4
4 – 6				4 32
6 – 8
8 – 10
Свыше 10
Итого

Определите для каждого варианта: 1) с вероятностью 0,997 предельную ошибку выборки и пределы, в которых ожидается средний срок службы металлорежущих станков; 2) с вероятностью 0,954 предельную ошибку репрезентативности для доли и пределы удельного веса станков со сроком службы свыше 8 лет.

10) С целью изучения выполнения норм выработки 5000 рабочими машиностроительного завода было отобрано в случайном порядке 1000 рабочих. Из числа обследованных 80% рабочих выполняют норму выработки на 100% и выше. Определите с вероятностью 0,997 ошибку выборки и возможные пределы доли рабочих завода, выполняющих и перевыполняющих норму выработки.

11) Из партии в 1 млн. шт. мелкокалиберных патронов путем случайного отбора взято для определения дальнобойности боя 1000 шт. Результаты испытаний представлены в следующей таблице:

Дальность боя, м							Итого
Число патронов, шт.						ПО

С вероятностью 0,954 определите среднюю дальность боя по выборке, ошибку выборки и возможные пределы средней дальности боя для всей партии патронов.

12) В порядке механической выборки обследован возраст 100 студентов вуза из общего числа 2000 человек. Результаты обработки материалов наблюдения приведены в таблице:

Возраст, лет
Число студентов, чел.

Установите: а) средний возраст студентов вуза по выборке; б) величину ошибки при определении возраста студентов на основе выборки; в) вероятные пределы колебания возраста для всех студентов при вероятности 0,997.

13) В процессе технического контроля из партии готовой продукции методом случайного бесповторного отбора было проверено 70 изделий, из которых 4 оказались бракованными. Можно ли с вероятностью 0,954 утверждать, что доля бракованных изделий во всей партии не превышает 7%, если процент отбора равен 10?