Тақырып. жұмыс, энергия, қуат

денелердің қозғалыс пен өзара әрекеттесуінің әртүрлі формасының өлшемі –энергия. өзара әрекеттесу кезінде энергия алмасуды сипаттай-тын шама - күш жұмысы. түзу сызықты қозғалған денеге тұрақты күші орын ауыстыру бағытына бұрышпен әсер етсе, жұмыс күштің орын ауыстыру бағытына проекциясы мен орын ауыстыруының көбейтіндісіне тең

(10-сурет) болады: . (31)

жалпы жағдайда күштің шамасының да, бағытының да өзгеруі мүмкін екендігін ескерсек, бұл өрнек кез келген жағдайда қолдануға келмейді. алайда, элементар орын ауыстыруда күші тұрақты және оның түскен нүктесі түзу сызықты қозғалады деп қарастыруға болады:

. (32)

10-сурет 11-сурет

 

мұндағы –күш векторы мен элементар орын ауыстыру векторы арасындағы бұрыш, –элементар жол, -күштің элементар жұмысы (11-сурет). траекторияның 1 және 2 нүктелерінің арасында күштің жұмысы жолдың шексіз кішкене бөліктеріндегі элементар жұмыстардың алгебралық қосындысымен анықталады:

. (33)

бұл интегралды есептеу үшін күштің жолдан тәуелділігін білу керек.

егер болатындай болса, күші қозғалтушы, ал болатындай болса, күші тежеуші (кедергі) күш деп аталады.

ілгерілемелі түзу сызықты қозғалыстағы денеге тұрақты күш тұрақты бұрышпен ( және ) әсер еткенде:

. (34)

уақыт бірлігінде атқарылған жұмысқа тең шама қуат деп аталады:

. (35)

дененің механикалық қозғалысының энергиясы кинетикалық энергия деп аталады. дененің элементар орын ауыстырғандағы кинетикалық энергиясының өсімшесі атқарылған элементар жұмысқа тең болады:

(36)

ньютонның екінші заңының негізінде:

.

осыдан:

. (37)

дене жүйенің нақты екі нүкте арасында орын ауыстырғанда:

.

атқарылған жұмыс қозғалыс траекториясының пішінінен тәуелсіз, тек дененің бастапқы және соңғы орындарына байланысты анықталса, әсер етуші күш консервативті, күштің өрісі потенциалды деп аталады. тұйық траекториямен қозғалған денеге әсер етуші консервативті күш жұмыс атқармайды. күштің жұмысы дененің орын ауыстыру траекто-риясына тәуелді болса, әсер етуші күш диссипативті деп аталады.

жүйедегі денелердің өзара орналасуымен және өзара әсерлесу күшінің сипатымен анықталатын механикалық энергия потенциалдық деп аталады. күштердің потенциалдық өрісінде орналасқан дененің потенциалдық энергиясы болады. жүйе конфигурациясының элементар өзгерісінде консервативті күштің жұмысы потенциалдық энергияның кемуі есебінен орындалады:

. (38)

(32) формулаға сәйкес элементар жұмыс мәнін ауыстырғанда:

.

демек, егер функциясы белгілі болса, күшті модулі және бағыты бойынша анықтауға болады. осы өрнектен потенциалдық энергия:

.

мұндағы - интегралдау тұрақтысы, потенциалдық энергия қандай да бір еркін тұрақты мәнге дейінгі дәлдікпен есептелінеді.

потенциалдық өрістегі материялық нүктеге әсер етуші консервативті күш пен нүктенің потенциалдық энергиясының арасындағы байланыс:

, , ,

немесе векторлық түрде: . (39)

мұндағы

. (40)

-координат осьтерінің бірлік векторлары. консервативті күш век-торы потенциалдық энергияның теріс градиентіне тең. белгісі-мен қатар белгілеуі де қолданылады. («набла») гамильтон операторы немесе набла-оператор деп аталатын символдық вектор:

. (41)

потенциалдық энергияның нақты өрнегі күштік өрістің сипатына қарай жазылады. мысалы, жер бетінен биіктікте орналасқан массасы m дененің потенциалдық энергиясы: .

cерпімді дене үшін потенциалдық ішкі күштер (серпімділік күштері) деформацияға тура пропорционал. ньютонның ш заңы бойынша дефор-мациялау күші серпімділік күшіне бағыты қарсы, модулі бойынша тең: шексіз аз деформацияда күштің элементар жұмысы: , ал толық жұмысы серіппенің потенциалдық энергиясын арттырады: . осыдан, серпімді деформацияланған дененің потенциалдық энергиясы: .

жүйенің потенциалдық энергиясы жүйе күйінің функциясы болады және тек жүйенің конфигурациясы мен оның сыртқы денелерге қатысты орналасуына тәуелді анықталады.

жүйенің толық механикалық энергиясы кинетикалық және потенциалдық энергиялар қосындысына тең:

.

массалары , сәйкесінше жылдамдықтары мате-риалдық нүктелердің механикалық жүйесінде – нүктелердің әрқайсына әсер ететін сыртқы тең әсерлі консервативті, ал - осы нүктелердің әрқайсына әсер ететін ішкі консервативті күштердің тең әсерлісі болсын. сонымен қатар, әр нүктеге сыртқы консервативті емес күштер әсер етеді деп, сәйкесінше олардың тең әсерлі күштерін деп белгілейік.

жүйенің әр нүктесі үшін ньютонның екінші заңына сәйкес:

, ,........., .

нүктелер өте аз уақыт бөлігінде күштердің әсерінен орын ауыстырады. әр теңдеуді сәйкес орын ауыстыруға скалярлық көбейтіп, болатынын ескергенде:

,

,

.....

.

 

теңдеулерді мүшелеп қосқанда:

. (42)

теңдеудің сол жағындағы бірінші қосылғыш

жүйенің кинетикалық энергиясының өсімшесі. екінші қосылғыш – ішкі және сыртқы консервативті күштердің минус таңбалы элементар жұмысы (жүйенің потенциалдық энергиясының элементар өсімшесі):

.

(42) теңдеудің оң жағы жүйеге әсер етуші консервативті емес сыртқы күштердің жұмысына тең. сонымен:

. (43)

жүйе 1-ші күйден қандай да бір 2-ші күйге ауысқанда жүйенің толық механикалық энергиясының өзгерісі консервативті емес сыртқы күштер-дің жұмысына тең болады.

егер консервативті емес сыртқы күштер болмаса:

, осыдан: , (44)

 

яғни, араларында тек консервативті күштер ғана әсер ететін денелердің тұйық жүйесінде толық механикалық энергия тұрақты болады (механикалық энергияның сақталу заңы).

энергияның сақталу заңы уақыттың біртектілігімен байланысты.